文章目录

[Ch7. 参数估计](#Ch7. 参数估计)
- [7.1 点估计](#7.1 点估计)
- [7.2 评价估计量优良性的标准](#7.2 评价估计量优良性的标准)
- [7.3 区间估计](#7.3 区间估计)
- - 1.置信区间、置信度
  - 2.求μ的置信区间
[Ch8. 假设检验](#Ch8. 假设检验)

Ch7. 参数估计

7.1 点估计

1.矩估计

p i ( θ ) p_i(θ) pi(θ)、 f ( x i , θ ) f(x_i,θ) f(xi,θ)，用矩估计法来估计未知参数θ

{ X ˉ = E ( X ) 1 n ∑ i = 1 n X i 2 = E ( X 2 ) \left\{\begin{aligned} \bar{X} = & E(X) \\ \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2 = & E(X^2) \end{aligned}\right. ⎩ ⎨ ⎧Xˉ=n1i=1∑nXi2=E(X)E(X2)

注意：

1.矩估计量：大写

矩估计值：小写

2.离散型和连续型随机变量

求矩估计的区别，只在于求期望的方法不一样。

而求最大似然估计，则是似然函数的求法不一样。

例题1：23李林六套卷(三)22.(2)

若θ为未知参数，利用总体Z的样本值 − 2 , 0 , 0 , 0 , 2 , 2 -2,0,0,0,2,2 −2,0,0,0,2,2求 θ θ θ的矩估计值。且Z的分布律为

Z Z Z	− 2 -2 −2	0 0 0	2 2 2
P k P_k Pk	θ θ θ	1 − 2 θ 1-2θ 1−2θ	θ θ θ

答案：

例题2：09年23(1)

分析：

①矩估计，求期望

②最大似然估计，求似然函数L(θ)，取对数lnL(θ)，令导数为0即令 d l n L ( θ ) d θ = 0 \frac{\rm dlnL(θ)}{\rm dθ}=0 dθdlnL(θ)=0

答案：

例题3：13年23.（难度：易）

2.最大似然估计

最大似然估计求的是，θ为多少时，使得L(θ)最大

(1)离散型

求离散型随机变量的最大似然估计量：
离散型的似然函数 L ( θ ) = ∏ i = 1 n p ( x i , θ ) L(θ)=\prod\limits_{i=1}^n{p(x_i,θ)} L(θ)=i=1∏np(xi,θ) = p ( x 1 , θ ) ⋅ p ( x 2 , θ ) ⋅ . . . ⋅ p ( x n , θ ) =p(x_1,θ)·p(x_2,θ)·...·p(x_n,θ) =p(x1,θ)⋅p(x2,θ)⋅...⋅p(xn,θ)

x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn为离散型样本值，根据样本来确定是哪些概率相乘。

(2)连续型

求连续型随机变量的最大似然估计量，连续型的似然函数L(θ)
L ( θ ) = L ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; θ ) = ∏ i = 1 n f ( x i ; θ ) ( x i > 0 , i = 1 , 2 , . . . n ) L(θ) = L(x_1,x_2,...,x_n;θ) = \prod_{i=1}^n f(x_i;θ) \qquad (x_i>0,i=1,2,...n) L(θ)=L(x1,x2,...,xn;θ)=i=1∏nf(xi;θ)(xi>0,i=1,2,...n)

1.求最大似然估计量/值的步骤：

①求似然函数 L(θ) (x~i~>0/θ,i=1,2,...n)

②取对数，求 lnL(θ)

③令 d l n L ( θ ) d θ = 0 \dfrac{\rm d lnL(θ)}{\rm dθ} = 0 dθdlnL(θ)=0，求出 θ ^ \hat{θ} θ^

④最大似然估计值为x~i~，最大似然估计量为X~i~

2.求导不为0，>0为增函数，<0为减函数。且一定有限制。
若 d l n L ( θ ) d θ ≠ 0 \dfrac{\rm d lnL(θ)}{\rm dθ} ≠ 0 dθdlnL(θ)=0 { d l n L ( θ ) d θ > 0 ， L ( θ ) 为增函数， θ 应取最大值 d l n L ( θ ) d θ < 0 ， L ( θ ) 为减函数， θ 应取最小值 \left\{\begin{aligned} \dfrac{\rm d lnL(θ)}{\rm dθ} > 0，&L(θ)为增函数，θ应取最大值\\ \dfrac{\rm d lnL(θ)}{\rm dθ} < 0，&L(θ)为减函数，θ应取最小值 \end{aligned}\right. ⎩ ⎨ ⎧dθdlnL(θ)>0，dθdlnL(θ)<0，L(θ)为增函数，θ应取最大值L(θ)为减函数，θ应取最小值
见2000年21.

3.均匀分布的最大似然估计

例题1：2002年20. 离散型的参数估计

答案：

例题2：2000年21. d l n L ( θ ) d θ ≠ 0 \dfrac{\rm d lnL(θ)}{\rm dθ} ≠ 0 dθdlnL(θ)=0

分析： d l n L ( θ ) d θ = 2 n > 0 \frac{\rm d lnL(θ)}{\rm dθ} =2n >0 dθdlnL(θ)=2n>0，∴L(θ)为关于θ的增函数，θ应取最大值

∴θ的最大似然估计值为 θ ^ = m i n { x 1 , x 2 , . . . , x n } \hat{θ}=min\{x_1,x_2,...,x_n\} θ^=min{x1,x2,...,xn}

例题3：19年23(2)

分析：

求σ^2^的最大似然函数：

①求似然函数L(σ^2^)

②取对数，lnL(σ^2^)

③令 d l n L ( σ 2 ) d σ 2 = 0 \frac{\rm d lnL(σ^2)}{\rm dσ^2} = 0 dσ2dlnL(σ2)=0

答案：

σ^2^的最大似然估计值为 σ ^ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 \hat{σ}^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-μ)^2 σ^2=n1i=1∑n(xi−μ)2

σ^2^的最大似然估计量为 σ ^ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 \hat{σ}^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-μ)^2 σ^2=n1i=1∑n(Xi−μ)2

例题3：18年23(2)

例题5：09年23(2)

习题1：23李林四(三)16.

分析：

答案： X ˉ \bar{X} Xˉ

习题2：23李林四(二)16.

分析：∵|x|≤θ ∴θ的最大似然估计量为 θ ^ \hat{θ} θ^=max{|X₁|,|X₂|,...,|X~n~|}

答案：max{|X₁|,|X₂|,...,|X~n~|}

习题3：23李林六套卷(六)16. 二维随机变量求θ的最大似然估计

分析：

答案： 1 2 n ∑ i = 1 n ( X i + Y i ) \dfrac{1}{2n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i+Y_i) 2n1i=1∑n(Xi+Yi)

习题4：22年22. 两个随机变量，求最大似然估计量

答案：

7.2 评价估计量优良性的标准

(1)无偏性 (无偏估计)

若参数θ的估计量 θ ^ = θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat{θ}=\hat{θ}(X_1,X_2,...,X_n) θ^=θ^(X1,X2,...,Xn)对一切n及θ∈I，有 E ( θ ^ ) = θ E(\hat{θ})=θ E(θ^)=θ，则称 θ ^ \hat{θ} θ^为 θ θ θ的无偏估计量

即若 θ ^ \hat{θ} θ^是θ的无偏估计量，则 E ( θ ^ ) = θ E(\hat{θ})=θ E(θ^)=θ

E ( X ˉ ) = μ = E ( X ) ， E ( S 2 ) = σ 2 = D ( X ) E(\bar X)=μ=E(X)，E(S^2)=σ²=D(X) E(Xˉ)=μ=E(X)，E(S2)=σ2=D(X)

(2)有效性

有效性(最小方差性)：都是无偏估计量的情况下，方差小 的更有效

(3)一致性

一致性(相合性)： θ ^ → P θ \hat{θ}\xrightarrow{P}θ θ^P θ，依概率收敛

例题1：14年14.

分析：

答案： 2 5 n \dfrac{2}{5n} 5n2

例题2：09年14. 无偏估计、二项分布的数字特征

分析： θ ^ \hat{θ} θ^是θ的无偏估计量： E ( θ ^ ) = θ E(\hat{θ})=θ E(θ^)=θ。 E ( X ˉ ) = μ = E ( X ) ， E ( S 2 ) = σ 2 = D ( X ) E(\bar X)=μ=E(X)，E(S^2)=σ²=D(X) E(Xˉ)=μ=E(X)，E(S2)=σ2=D(X)

则 E ( X ˉ + k S 2 ) = n p 2 E(\bar X+kS^2)=np^2 E(Xˉ+kS2)=np2，即 E ( X ˉ ) + k E ( S 2 ) = n p + k n p ( 1 − p ) = n p 2 E(\bar X)+kE(S^2)=np+knp(1-p)=np^2 E(Xˉ)+kE(S2)=np+knp(1−p)=np2，化简得 k=-1

答案：-1

例题3：16年23(2)

例题4：12年23(3)

7.3 区间估计

1.置信区间、置信度

P { θ 1 < θ < θ 2 } = 1 − α P\{θ_1<θ<θ_2\}=1-α P{θ1<θ<θ2}=1−α

1 − α 1-α 1−α称为置信度(置信水平) ， α α α称为显著性水平

区间 ( θ 1 , θ 2 ) (θ_1,θ_2) (θ1,θ2)称为参数θ的置信度为1-α的置信区间 。 θ 1 θ₁ θ1和 θ 2 θ₂ θ2分别称为置信度为 1 − α 1-α 1−α的置信区间的置信下限 和置信上限；

2.求μ的置信区间

正态总体均值μ的置信区间(置信水平为1-α)

待估参数	其他参数	枢轴量的分布	置信区间
μ	σ²已知	Z = X ‾ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) Z=\dfrac{\overline{X}-μ}{σ/\sqrt{n}}\sim N(0,1) Z=σ/n X−μ∼N(0,1)	( X ‾ − Z α 2 σ n , X ‾ + Z α 2 σ n ) (\overline{X}-Z_{\frac{α}{2}}\dfrac{σ}{\sqrt{n}},\overline{X}+Z_{\frac{α}{2}}\dfrac{σ}{\sqrt{n}}) (X−Z2αn σ,X+Z2αn σ)
μ	σ²未知	t = X ‾ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) t=\dfrac{\overline{X}-μ}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) t=S/n X−μ∼t(n−1)	( X ‾ − t α 2 ( n − 1 ) S n , X ‾ + t α 2 ( n − 1 ) S n ) (\overline{X}-t_{\frac{α}{2}}(n-1)\dfrac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{α}{2}}(n-1)\dfrac{S}{\sqrt{n}}) (X−t2α(n−1)n S,X+t2α(n−1)n S)