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学习数据结构与算法的关键在于掌握问题背后的算法思维框架,你的思考越抽象,它能覆盖的问题域就越广,理解难度也更复杂。在这个专栏里,小彭与你分享每场 LeetCode 周赛的解题报告,一起体会上分之旅。
本文是 LeetCode 上分之旅系列的第 46 篇文章,往期回顾请移步到文章末尾~
LeetCode 周赛 363
T1. 计算 K 置位下标对应元素的和(Easy)
- 标签:位运算
T2. 让所有学生保持开心的分组方法数(Medium)
- 标签:贪心、排序、计数排序
T3. 最大合金数(Medium)
- 标签:二分查找
T4. 完全子集的最大元素和(Hard)
- 标签:数学、质因素分解、散列表
T1. 计算 K 置位下标对应元素的和(Easy)
bash
https://leetcode.cn/problems/sum-of-values-at-indices-with-k-set-bits/description/
题解(模拟)
简单模拟题。
写法 1:
kotlin
class Solution {
fun sumIndicesWithKSetBits(nums: List<Int>, k: Int): Int {
var ret = 0
for (i in nums.indices) {
if (Integer.bitCount(i) == k) ret += nums[i]
}
return ret
}
}
写法 2:
kotlin
class Solution {
fun sumIndicesWithKSetBits(nums: List<Int>, k: Int): Int {
return nums.indices.fold(0) { acc, it -> if (Integer.bitCount(it) == k) acc + nums[it] else acc}
}
}
复杂度分析:
- 时间复杂度:O(n) Java
Integer#bitCount
的时间复杂度是 O(1) - 空间复杂度:O(1) 仅使用常数级别空间。
T2. 让所有学生保持开心的分组方法数(Medium)
bash
https://leetcode.cn/problems/happy-students/description/
问题分析
思考选哪个:
- 条件 1: 如果选中的学生 nums\[i\] 越小,那么越容易满足选中人数 > nums\[i\];
- 条件 2: 如果未选中的学生 nums\[i\] 越大,那么越容易满足选中人数 < nums\[i\];
因此,在合法的选择方案中,应该优先选择越小的学生。
题解(排序 + 贪心)
先对数组排序,再枚举分割点验证条件 1 与条件 2:
bash
6,0,3,3,6,7,2,7
排序 =>
0,2,3,3,6,6,7,7
|0,2,3,3,6,6,7,7
0|2,3,3,6,6,7,7
0,2|3,3,6,6,7,7
0,2,3|3,6,6,7,7
对于分割点 i 的要求是:
- 条件 1:i + 1 \> nums\[i\],利用有序性质只需要判断已选列表的最大值 nums\[i\];
- 条件 2:i + 1 \< nums\[i + 1\],利用有序性质只需要判断未选列表的最小值 nums\[i + 1\];
- 最后针对全选和都不选的情况特殊判断。
kotlin
class Solution {
fun countWays(nums: MutableList<Int>): Int {
nums.sort()
val n = nums.size
var ret = 0
// 都不选
if (nums[0] > 0) ret += 1
// 都选
if (nums[n - 1] < n) ret += 1
// 选一部分
for (i in 0 until n - 1) {
if (nums[i] < i + 1 && nums[i + 1] > i + 1) ret += 1
}
return ret
}
}
复杂度分析:
- 时间复杂度:O(nlgn) 瓶颈在排序;
- 空间复杂度:O(lgn) 排序递归栈空间。
T3. 最大合金数(Medium)
bash
https://leetcode.cn/problems/maximum-number-of-alloys/description/
问题分析
初步分析:
- 问题目标: 求在预算限制下最大可以制造的合金数量;
- 关键信息: 所有合金都需要由同一台机器制造,这样难度就降低很多了。
容易发现原问题的单调性:
- 如果合金数 x 可以制造,那么合金数 x - 1 一定可以制造;
- 如果合金数 x 不可制造,那么合金数 x + 1 一定不可制造。
因此,可以用二分答案来解决问题:
- 合金数的下界:0
- 合金数的上界:2 \* 10\^8,即金钱和初始金属的最大值;
现在需要思考的问题是: 「如何验证合金数 x 可以构造」
由于所有合金都需要由同一台机器制造,判断很简单,只需要先计算目标数量需要的每种金属的初始金属数是否足够,不足则花金钱购买。如果花费超过限制则不可制造。
题解(二分答案)
基于以上问下,我们枚举机器,使用二分查找寻找可以制造的合金数的上界:
kotlin
class Solution {
fun maxNumberOfAlloys(n: Int, k: Int, limit: Int, composition: List<List<Int>>, stock: List<Int>, cost: List<Int>): Int {
var ret = 0
// 枚举方案
for (com in composition) {
fun check(num: Int): Boolean {
// 计算需要的金属原料
var money = 0L
for (i in 0 until n) {
// 原料不足,需要购入
money += max(0L, 1L * com[i] * num - stock[i]) * cost[i] // 注意整型溢出
if (money > limit.toLong()) return false
}
return true
}
var left = 0
var right = 2*1e8.toInt()
while (left < right) {
val mid = (left + right + 1) ushr 1
if (check(mid)) {
left = mid
} else {
right = mid - 1
}
}
ret = max(ret, left)
}
return ret
}
}
复杂度分析:
- 时间复杂度:O(k·n·lgU) 其中 k 为机器数,n 为金属种类,U 为二分上界;
- 空间复杂度:O(1) 除结果数组外仅使用常量级别空间。
T4. 完全子集的最大元素和(Hard)
bash
https://leetcode.cn/problems/maximum-element-sum-of-a-complete-subset-of-indices/description/
问题分析
初步分析:
- 问题目标: 求解满足条件的目标子集的元素最大和;
- 目标子集: 子集元素的下标两两相乘的乘积是完全平方数,允许仅包含一个元素的子集;
观察测试用例 2:
- 对于下标 1 和下标 4:两个完全平方数的乘积自然是完全平方数;
- 对于下标 2 和下标 8:2 和 8 都包含质因子 2,2 的平方自然是完全平方数;
由此得出结论:
- 核心思路: 我们消除每个下标中的完全平方数因子,再对剩余的特征分组,能够构造目标子集的方案有且只能出现在相同的特征分组中(否则,子集中一定存在两两相乘不是完全平方数的情况)。
kotlin
{2 | 6} x 需要相同的因子
{6 | 6} ok
思考实现:
- 预处理: 预处理覆盖所有测试用例下标的特征值
- 质因素分解: 有 2 种基础算法:
朴素算法:枚举 \[2, \\sqrt{n}\] 将出现次数为奇数的质因子记录到特征值中,时间复杂度是 O(\\sqrt{n}):
kotlin
private val U = 1e4.toInt()
private val core = IntArray(U + 1)
init {
for (num in 1 .. U) {
// 质因素分解
var prime = 2
var x = num
var key = 1
while (prime * prime <= x) {
var cnt = 0
while (x % prime == 0) {
x /= prime
cnt ++
}
if (cnt % 2 == 1) key *= prime // 记录特征值
prime ++
}
if (x > 1) key *= x // 记录特征值
core[num] = key
}
}
筛法:枚举质因子,将记录质因子的整数倍的特征值。
kotlin
private val U = 1e4.toInt()
private val core = IntArray(U + 1) { 1 }
private val isMark = BooleanArray(U + 1)
init {
// 质因素分解
for (i in 2 .. U) {
// 检查是否为质数,这里不需要调用 isPrime() 函数判断是否质数,因为它没被小于它的数标记过,那么一定不是合数
if (isMark[i]) continue
for (num in i .. U step i) {
isMark[num] = true
var x = num
var cnt = 0
while (x % i == 0) {
x /= i
cnt ++
}
if (cnt % 2 != 0) core[num] *= i // 记录特征值
}
}
}
题解一(质因素分解 + 分桶)
组合以上技巧,枚举下标做质因数分解,将数值累加到分桶中,最后返回最大分桶元素和。
kotlin
class Solution {
companion object {
private val U = 1e4.toInt()
private val core = IntArray(U + 1)
init {
for (num in 1 .. U) {
// 质因素分解
var prime = 2
var x = num
var key = 1
while (prime * prime <= x) {
var cnt = 0
while (x % prime == 0) {
x /= prime
cnt ++
}
if (cnt % 2 == 1) key *= prime // 记录特征值
prime ++
}
if (x > 1) key *= x // 记录特征值
core[num] = key
}
}
}
fun maximumSum(nums: List<Int>): Long {
var ret = 0L
val buckets = HashMap<Int, Long>()
for (i in 1 .. nums.size) {
val key = core[i]
buckets[key] = buckets.getOrDefault(key, 0) + nums[i - 1]
ret = max(ret, buckets[key]!!)
}
return ret
}
}
复杂度分析:
- 时间复杂度:预处理时间为 O(U\\sqrt{U}),单次测试用例时间为 O(n);
- 空间复杂度:O(U) 预处理空间,单次测试用例空间比较松的上界为 O(n)。
题解二(找规律)
题解一的时间复杂度瓶颈在之因素分解。
继续挖掘数据特征,我们观察同一个分桶内的数据规律:
假设分桶中的最小值为 x,那么将分桶的所有元素排序后必然是以下序列的子序列:{x, 4 \* x, 9 \* x, 16 \* x...},由此发现规律:我们可以枚举分桶的最小值,再依次乘以完全平方数序列来计算,既可以快速定位分桶中的元素,而不需要预处理质因数分解。
那怎么度量此算法的时间复杂度呢?
显然,该算法一个比较松上界是 O(n·C),其中 C 为数据范围内的完全平方数个数,C = 100。严格证明参考羊神题解,该算法线性时间复杂度 O(n)。
kotlin
class Solution {
companion object {
// 预处理完全平方数序列
private val s = LinkedList<Int>()
init {
for (i in 1 .. 100) {
s.add(i * i)
}
}
}
fun maximumSum(nums: List<Int>): Long {
val n = nums.size
var ret = 0L
// 枚举分桶最小值
for (i in 1 .. n) {
var sum = 0L
for (k in s) {
if (k * i > n) break
sum += nums[k * i - 1]
}
ret = max(ret, sum)
}
return ret
}
}
复杂度分析:
- 时间复杂度:O(n) 线性算法;
- 空间复杂度:O(C) 预处理完全平方数序列空间,可以优化。
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