今天对字符串有了一点新的理解，遂再写一篇博客。
字符串取模
定义
可以参考 我之前写的博客。不再赘述。下文用长度表示。
运算
( S + c ) ≡ ( S m o d P ) + c ( m o d P ) (S+c) \equiv (S \bmod P) + c \pmod P (S+c)≡(SmodP)+c(modP)
KMP
定义 g o ( i , c ) go(i, c) go(i,c) 函数，表示 P P P 的 i i i 前缀添加字符 c c c 的字符串的模 P P P 值。定义失配函数（fail） f i f_i fi 表示 P P P 的 i i i 前缀时增加的字符 c c c 失配的模 P P P 值。
g o ( i , c ) = { i + 1 P i = c g o ( f i , c ) P i ≠ c go(i, c) = \begin{cases} i+1 & P_i =c\\ go(f_i,c) & P_i \ne c \end{cases} go(i,c)={i+1go(fi,c)Pi=cPi=c
cpp
int go(int i, char c)
{
if(P[i] == c) return i + 1;
if(i == 0) return 0;
return go(f[i], c);
}
...
for(int i=0; i<P.size(); i++)
f[i+1] = go(f[i], c); // 这里 fail 数组分析
关于 f i f_i fi，一方面从自动机角度考虑，即 π i \pi_i πi。
一方面从字符串取模的角度考虑， f i = P [ 1.. i ) f_i=P[1..i) fi=P[1..i) 模 P P P 值。那么 P [ 0... f i ) ≡ P [ 1... i ) ( m o d P ) P[0...f_i) \equiv P[1...i) \pmod P P[0...fi)≡P[1...i)(modP)，发现 f i f_i fi 同样满足 π i \pi_i πi 的性质。
复杂度分析
对于一般的 KMP 问题，设文本串长 n n n，模式串长 m m m。
cpp
int cur = 0;
for(int i=0; i<text.size(); i++)
{
cur = go(cur, text[i]);
...
}首先有 f i < i f_i < i fi<i。文本字符可能提供当前字符串模 P P P 后的长度，至多增加 n n n 次。因此复杂度是线性的。
无限猴子类技巧
问题形如出现某个模式串 P P P 的期望长度。
由于只关心匹配，考虑只关心模 P P P 的值，据此结合待定系数法做期望 dp 即可。
例题
清除模式类技巧
如题，清除字符串中的模式串 P P P。
逐位枚举，考虑当前字符串模 P P P 的值即可。