一、目标函数

目标函数中的非线性项为：

\ $Max\\quad{\\sum_{t\\in{T}}}\\sum_{z\\in{Z}}\[P\^t_{bz}\\sum_{w\\in{Z}}(S\^t_{bwz}+S\^t_{ewz})+P\^t_{ez}\\sum_{w\\in{Z}}(O\^t_{bwz}+O\^t_{ewz})$ \]

引入决策变量：

\ $Y\^t_{bzi}=\\begin{cases} 1,\\quad\\quad{if\\,在t时期z区域渠道b对应的是第i个价格}\\\\0,\\quad\\quad{else}\\end{cases} \\$

\ $Y\^t_{ezi}=\\begin{cases} 1,\\quad\\quad{if\\,在t时期z区域渠道e对应的是第i个价格}\\\\0,\\quad\\quad{else}\\end{cases} \\$

此时应加入下面约束条件，即式(A.13)~式(A.14) 和式(A.28)~式(A.29)：

\ $\\sum_{i\\in{I_{bzi}\^t}}Y\^t_{bzi}=1 \\$

\ $\\sum_{i\\in{I_{ezi}\^t}}Y\^t_{ezi}=1 \\$

\ $Y\^t_{bzi},Y\^t_{ezi}\\in{\\{0,1\\}} \\$
引入价格集合（已知量），其中$I^t_{bz}、I^t_{ez}$为对应渠道的可选择价格数量，$i={1,2,...,I^t_{bz}}或i={1,2,...,I^t_{ez}}$：

\ $\\Omega\^t_{bz}=\\{P\^t_{bzi}\\}_{i\\in{I\^t_{bz}}} \\$

\ $\\Omega\^t_{ez}=\\{P\^t_{ezi}\\}_{i\\in{I\^t_{ez}}} \\$

那么有：$P^t_{bz}=\sum_{i\in{I^t_{bz}}}P^t_{bzi}Y^t_{bzi}$、$P^t_{ez}=\sum_{i\in{I^t_{ez}}}P^t_{ezi}Y^t_{ezi}$
此时，目标函数变为：

\ $Max\\quad{\\sum_{t\\in{T}}}\\sum_{z\\in{Z}}\[\\sum_{i\\in{I\^t_{bz}}}P\^t_{bzi}Y\^t_{bzi}\\sum_{w\\in{Z}}(S\^t_{bwz}+S\^t_{ewz})+\\sum_{i\\in{I\^t_{ez}}}P\^t_{ezi}Y\^t_{ezi}\\sum_{w\\in{Z}}(O\^t_{bwz}+O\^t_{ewz})$ \]

目标函数中仍存在非线性项$Y^t_{bzi}\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})$和$Y^t_{ezi}\sum_{w\in{Z}}(O^t_{bwz}+O^t_{ewz})$

所以需要再引入下面决策变量，也就是式(A.6)~式(A.7)：

\ $V\^t_{bzi}=Y\^t_{bzi}\\sum_{w\\in{Z}}(S\^t_{bwz}+S\^t_{ewz}) \\$

\ $V\^t_{ezi}=Y\^t_{ezi}\\sum_{w\\in{Z}}(O\^t_{bwz}+O\^t_{ewz}) \\$

此时目标函数变为下式，也就是式(A.8) 的由来：

\ $Max\\quad{\\sum_{t\\in{T}}}\\sum_{z\\in{Z}}\[(\\sum_{i\\in{I\^t_{bz}}}P\^t_{bzi}V\^t_{bzi})+(\\sum_{i\\in{I\^t_{ez}}}P\^t_{ezi}V\^t_{ezi})$ \]

设$\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})$的上限为$a$，$\sum_{w\in{Z}}(O^t_{bwz}+O^t_{ewz})$的上限为$b$，要彻底转换目标函数变为线性，需要增加新的约束如下，包含了式(A.15)-式(A.18) 、式(A.33)-式(A.34)：

\ $V\^t_{bzi}\\leq{a}Y\^t_{bzi} \\$

\ $V\^t_{ezi}\\leq{b}Y\^t_{ezi} \\$

\ $V\^t_{bzi}\\leq{\\sum_{w\\in{Z}}(S\^t_{bwz}+S\^t_{ewz})} \\$

\ $V\^t_{ezi}\\leq{\\sum_{w\\in{Z}}(O\^t_{bwz}+O\^t_{ewz})} \\$

\ $V\^t_{bzi}\\geq\[{\\sum_{w\\in{Z}}(S\^t_{bwz}+S\^t_{ewz})}$ -a(1-Y^t_{bzi}) \]

\ $V\^t_{ezi}\\geq\[{\\sum_{w\\in{Z}}(O\^t_{bwz}+O\^t_{ewz})}$ -b(1-Y^t_{ezi}) \]

\ $V\^t_{bzi},V\^t_{ezi}\\geq{0} \\$

\ $\\sum_{i\\in{I\^t_{bzi}}}V\^t_{bzi}={\\sum_{w\\in{Z}}(S\^t_{bwz}+S\^t_{ewz})} \\$

\ $\\sum_{i\\in{I\^t_{ezi}}}V\^t_{ezi}=\\sum_{w\\in{Z}}(O\^t_{bwz}+O\^t_{ewz}) \\$

二、约束条件

非线性项为$D^t_{bz}(P^t_{z})$和$D^t_{ez}(P^t_{z})$
经过上面的转换，有：
- $e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{bz}}=e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}\sum_{i\in{I^t_{bz}}}(P^t_{bzi}Y^t_{bzi})}$其中，$Y^t_{bzi}$是一个0-1变量，所以又可以写成：$e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{bz}}=\sum_{i\in{I^t_{bz}}}Y^t_{bzi}e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{bzi}}$.
- 同理，$e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{ez}}=\sum_{i\in{I^t_{ez}}}Y^t_{ezi}e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{ezi}}$
令

\ $r\^t_{bzi}=e\^{\\beta_{0z}+\\beta_{1z}P\^t_{bzi}} \\$

\ $r\^t_{ezi}=e\^{\\beta_{0z}+\\beta_{1z}P\^t_{ezi}} \\$

即式(A.1)~式(A.2)，那么有：

\ $D\^t_{bz}(P\^t_z)=n\^t_z×\\frac{\\sum_{i\\in{I\^t_{bz}}}Y\^t_{bzi}r\^t_{bzi}}{\\sum_{i\\in{I\^t_{bz}}}Y\^t_{bzi}r\^t_{bzi}+\\sum_{i\\in{I\^t_{ez}}}Y\^t_{ezi}r\^t_{ezi}+1} \\$

\ $D\^t_{ez}(P\^t_z)=n\^t_z×\\frac{\\sum_{i\\in{I\^t_{ez}}}Y\^t_{ezi}r\^t_{ezi}}{\\sum_{i\\in{I\^t_{bz}}}Y\^t_{bzi}r\^t_{bzi}+\\sum_{i\\in{I\^t_{ez}}}Y\^t_{ezi}r\^t_{ezi}+1} \\$
为了将$D^t_{bz}(P^t_{z})$和$D^t_{ez}(P^t_{z})$化为线性，令：

\ $R\^t_z=\\frac{1}{\\sum_{i\\in{I\^t_{bz}}}Y\^t_{bzi}r\^t_{bzi}+\\sum_{i\\in{I\^t_{ez}}}Y\^t_{ezi}r\^t_{ezi}+1} \\$

即式(A.3) 。那么$D^t_{bz}(P^t_{z})=n^t_zR^t_z\sum_{i\in{I^t_{bz}}}Y^t_{bzi}r^t_{bzi}$，$D^t_{ez}(P^t_{z})=n^t_zR^t_z\sum_{i\in{I^t_{ez}}}Y^t_{ezi}r^t_{ezi}$，需要明确的是：$\sum_{i\in{I^t_{bz}}}Y^t_{bzi}r^t_{bzi}+\sum_{i\in{I^t_{ez}}}Y^t_{ezi}r^t_{ezi}\geq{0}$，故$R^t_z\leq{1}$
此时仍存在非线性项$\sum_{i\in{I^t_{bz}}}R^t_zY^t_{bzi}r^t_{bzi}$和$\sum_{i\in{I^t_{ez}}}R^t_zY^t_{ezi}r^t_{ezi}$

令：

\ $U\^t_{bzi}=R\^t_zY\^t_{bzi} \\$

\ $U\^t_{ezi}=R\^t_zY\^t_{ezi} \\$

即式(A.4)-式(A.5) 。此时需要新增的约束条件如下，包含了式(A.21)-式(A.27) 、式(A.32)-式(A.34)：

\ $U\^t_{bzi},U\^t_{ezi}\\geq{0} \\$

\ $R\^t_z\\geq{0} \\$

\ $U\^t_{bzi}\\leq{Y\^t_{bzi}} \\$

\ $U\^t_{ezi}\\leq{Y\^t_{ezi}} \\$

\ $U\^t_{bzi}\\leq{R\^t_z} \\$

\ $U\^t_{ezi}\\leq{R\^t_z} \\$

\ $U\^t_{bzi}\\leq{R\^t_z}-(1-Y\^t_{bzi}) \\$

\ $U\^t_{ezi}\\leq{R\^t_z}-(1-Y\^t_{ezi}) \\$

\ $\\sum_{i\\in{I\^t_{bzi}}}U\^t_{bzi}=R\^t_z \\$

\ $\\sum_{i\\in{I\^t_{ezi}}}U\^t_{ezi}=R\^t_z \\$

\ $R\^t_z+\\sum_{i\\in{I\^t_{bz}}}U\^t_{bzi}r\^t_{bzi}+\\sum_{i\\in{I\^t_{ez}}}U\^t_{ezi}r\^t_{ezi}=1 \\$

此时约束条件(6)、(7)变为：

\ $\\sum_{w\\in{Z}}(S\^t_{bwz}+S\^t_{ewz})\\leq{n\^t_z\\sum_{i\\in{I\^t_{bz}}}U\^t_{bzi}r\^t_{bzi}} \\$

\ $\\sum_{w\\in{Z}}(O\^t_{bwz}+O\^t_{ewz})\\leq{n\^t_z\\sum_{i\\in{I\^t_{ez}}}U\^t_{ezi}r\^t_{ezi}} \\$

那么$a=n^t_z\sum_{i\in{I^t_{bz}}}U^t_{bzi}r^t_{bzi}$，$b=n^t_z\sum_{i\in{I^t_{ez}}}U^t_{ezi}r^t_{ezi}$。约束$V^t_{bzi}\leq{a}Y^t_{bzi}$和$V^t_{ezi}\leq{b}Y^t_{ezi}$分别变为：

\ $V\^t_{bzi}\\leq{(n\^t_z\\sum_{i\\in{I\^t_{bz}}}U\^t_{bzi}r\^t_{bzi}})Y\^t_{bzi}=n\^t_zU\^t_{bzi}\\sum_{i\\in{I\^t_{bz}}}r\^t_{bzi}Y\^t_{bzi} \\$

\ $V\^t_{ezi}\\leq{(n\^t_z\\sum_{i\\in{I\^t_{ez}}}U\^t_{ezi}r\^t_{ezi})}Y\^t_{ezi}=n\^t_zU\^t_{ezi}\\sum_{i\\in{I\^t_{ez}}}r\^t_{ezi}Y\^t_{ezi} \\$
- 已知$V^t_{bzi}\geq{0}$，当$Y^t_{bzi}=0$时，上面的第一条约束条件变为$V^t_{bzi}\leq{0}$，此时$V^t_{bzi}$应为0；当$Y^t_{ezi}=1$时，上面的约束条件变为$V^t_{bzi}\leq{n^t_zU^t_{bzi}r^t_{bzi}}$，此时$V^t_{bzi}$的取值应当为$0\leq{V^t_{bzi}}\leq{n^t_zU^t_{bzi}r^t_{bzi}}$。
  
  综上和同理，在约束$V^t_{bzi},V^t_{ezi}\geq{0}$下，式(A.19) 和式(A.20) 被推导出：
\ $V\^t_{bzi}\\leq{a}Y\^t_{bzi}\\quad{}→\\quad{}V\^t_{bzi}\\leq{n\^t_zU\^t_{bzi}r\^t_{bzi}} \\$

\ $V\^t_{ezi}\\leq{b}Y\^t_{ezi}\\quad{}→\\quad{}V\^t_{bzi}\\leq{n\^t_zU\^t_{bzi}r\^t_{bzi}} \\$
- 对于约束条件$V^t_{bzi}\geq ${\\sum_{w\\in{Z}}(S\^t_{bwz}+S\^t_{ewz})}$ -a(1-Y^t_{bzi})$和$V^t_{ezi}\geq ${\\sum_{w\\in{Z}}(O\^t_{bwz}+O\^t_{ewz})}$ -b(1-Y^t_{ezi})$，它们分别变为：
  
  \ $V\^t_{bzi}\\geq\[{\\sum_{w\\in{Z}}(S\^t_{bwz}+S\^t_{ewz})}$ -(n^t_z\sum_{i\in{I^t_{bz}}}U^t_{bzi}r^t_{bzi})(1-Y^t_{bzi}) \]
  
  \ $V\^t_{ezi}\\geq\[{\\sum_{w\\in{Z}}(O\^t_{bwz}+O\^t_{ewz})}$ -(n^t_z\sum_{i\in{I^t_{ez}}}U^t_{ezi}r^t_{ezi})(1-Y^t_{ezi}) \]
  
  当$Y^t_{bzi}=0$时，上面第一条约束条件变为$\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})\leq{n^t_z\sum_{i\in{I^t_{bz}}}U^t_{bzi}r^t_{bzi}}$这与文中式（6）相同；当$Y^t_{bzi}=1$时，它则变为$V^t_{bzi}=\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})$，而这又被约束条件$\sum_{i\in{I^t_{bzi}}}V^t_{bzi}={\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})}$包含。
  
  综上及同理，约束条件$V^t_{bzi}\geq ${\\sum_{w\\in{Z}}(S\^t_{bwz}+S\^t_{ewz})}$ -a(1-Y^t_{bzi})$和$V^t_{ezi}\geq ${\\sum_{w\\in{Z}}(O\^t_{bwz}+O\^t_{ewz})}$ -b(1-Y^t_{ezi})$均属于重复约束，可被消除。

由此，所有公式已全部被推出，但还多了两条约束：

对于约束条件$U^t_{bzi}\leq{R^t_z}-(1-Y^t_{bzi})$有：
- $Y^t_{bzi}=0$时，$R^t_z\geq{0}$，该约束已存在；$Y^t_z=1$时，$U^t_{bzi}=R^t_{z}$，该约束已被$\sum_{i\in{I^t_{bzi}}}U^t_{bzi}=R^t_z$所包含。
- 综上及同理，约束条件$U^t_{bzi}\leq{R^t_z}-(1-Y^t_{bzi})$和$U^t_{ezi}\leq{R^t_z}-(1-Y^t_{ezi})$属于重复约束，均可被删除。

以上就是这篇论文公式全部的推导，上面是所使用的非线性化线性的方法简例如下。

三、简例

(1) 带有0-1变量的非线性规划问题

\ $z=x_1x_2 \\$

其中决策变量$x_1\in{\{0,1\}}$,$0\leq{x_2}\leq{a}$

那么我们可以用下面的方法化为线性规划：

首先设一个新的决策变量$y=x_1x_2$，并将问题转化为：

\ $y\\leq{ax_1} \\$

\ $y\\leq{x_2} \\$

\ $y\\geq{x_2-a(1-x_1)} \\$

\ $y\\geq{0} \\$
由此，问题变为了线性问题

(2) 带分母变量的非线性规划问题

\ $min\\quad\\frac{x+2y+3}{4x+5y} \\$

$s.t.$

\ $6x+7y\\leq{8} \\$

\ $9x+10y\\geq{0} \\$

\ $x,y\\geq{0} \\$

令$z=\frac{1}{4x+5y}$，此时目标函数变为：$(x+2y)z+3z$，但仍含有非线性项，此时我们又令：$xz=u,yz=v$，那么可以得到：

\ $min\\quad{u+2v+3z} \\$

$s.t.$

\ $6u+7v\\leq{8z} \\$

\ $9u+10v\\geq{0} \\$

\ $u,v,z\\geq{0} \\$
解上面的线性规划问题，可得到$u,v,z$的精确解，之后可代入式子解方程，得到$x,y$的精确解。

基于TRE文章的非线性模型化线性方法

一、目标函数

二、约束条件

三、简例

(1) 带有0-1变量的非线性规划问题

(2) 带分母变量的非线性规划问题