F2 - Long Colorful Strip

很牛的题！

首先，我们可以将颜色相同的一段区间缩成一个点，那么每次加入一个新的颜色时，最多只能将其所覆盖的那个颜色所属的区间分成三部分（原本：00000000，加入1后$\rightarrow$0001111000），也就是增加了两个点，那么也就意味着最终所成的点的个数最多只有$2*n-1$个，这样的话，$m$看着很大，其实也就是$O(N)$级别的

对于这种区间覆盖的题，优先考虑区间$dp$

设$dp $l$ $r$ $表示让区间$ $l,r$ $合法的方案数，且满足$ $l,r$ $中的颜色不会在$ $l,r$ $外出现

设$p$为区间$ $l,r$ $中最小的颜色，其出现的最早的位置为$mn_p$，最晚的位置为$mx_p$，那么显然有我们可以一开始就让$p$覆盖区间$ $a,b$ $（$ $mn_p,mx_p$ \in $a,b$ $），那么就有转移式

\ $dp\[l$ $r$ =\sum_{a\in $l,mn_p$ }\sum_{b\in $mx_p,r$ }dp $l$ $a-1$ \times dp $a$ $b$ \times dp $b+1$ $r$ \]

其中，对于$dp $a$ $b$ $，其实就是相当于对于$ $a,b$ $的所有方案，直接在每种方案的第一个操作之前给$ $a,b$ $覆盖上颜色$p$即可（总之就是让第一步变成用$p$覆盖$ $a,b$ $，具体的，若原本的方案没有这一步，加上即可；否则，若其原本只用$p$覆盖$ $s,t$ $（$ $s,t$ \in $a,b$ $，因为$p$也是$ $a,b$ $中最小的值，所以原本的用$p$覆盖$ $s,t$ $的这一步也一定是该方案中的第一步）将其补全成覆盖$ $a,b$ $即可

但是可以发现，当$a=l,b=r$时，就转不了了，所以考虑将$dp $a$ $b$ $拆开

因为$p$的最早出现位置为$mn_p$，最晚出现位置为$mx_p$，所以显然有所有处于$ $mn_p,mx_p$ $中的颜色的出现区间范围也不会超过$ $mn_p,mx_p$ $，这也意味这$ $mn_p,mx_p$ $将$ $a,b$ $分隔成了三个区间$ $a,mn_p-1$ , $mn_p,mx_p$ , $mx_p+1,b$ $，这三个区间是"独立的"，即它们的颜色集合没有交集

证明的话可以从$mn_p$和$mx_p$这两个点下手，因为它们的颜色$p$是区间$ $a,b$ $中最小的颜色，这就意味着区间$ $a,b$ $中剩下的所有颜色都不会跨越它们，也就是没有颜色会覆盖上述三个区间中的任意两个，所以所有颜色只会待在对应的一个区间内

\ $dp\[a$ $b$ =dp $a$ $mn_p-1$ \times dp $mx_p+1$ $b$ \times \sum_{ $i,j$ }dp $i$ $j$ \]

其中$ $i,j$ $表示所有不包含颜色$p$的、属于区间$ $mn_p,mx_p$ $的极长区间，它实际上如何转移的和上文中$对dp $a$ $b$ $的解释一致

所以我们就得到了最终的式子

\ $dp\[l$ $r$ =\sum_{a\in $l,mn_p$ }\sum_{b\in $mx_p,r$ }dp $l$ $a-1$ \times dp $a$ $mn_p-1$ \times(\sum_{ $i,j$ }dp $i$ $j$ )\times dp $mx_p+1$ $b$ \times dp $b+1$ $r$ \]

复杂度$O(N^3)$

代码中，只要保证了当前区间$ $l,r$ $的最小颜色$p$的范围属于当前区间，在转移时因为其他转移给$dp $l$ $r$ $的$dp $x$ $y$ $会保证属于$ $x,y$ $的所有颜色只属于$ $x,y$ $中，所以最终就一定能保证$ $l,r$ $中的所有颜色只属于$ $l,r$ $中

也就是归纳证明即可

c++ 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=505,M=1e6+5,MOD=998244353;
int n,m,col[M],dp[N<<1][N<<1],mn[N],mx[N];
void add(int &x,int y){ x+=y; if(x>=MOD) x-=MOD; }
int ad(int x,int y){ x+=y; if(x>=MOD) x-=MOD; return x; }
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		scanf("%d",&col[i]);
		if(col[i]==col[i-1]) --i,--m;
		else (!mn[col[i]])&&(mn[col[i]]=i),mx[col[i]]=i;
	}
	if(m>=(n<<1)) return puts("0"),0;
	for(int i=1;i<=m+1;++i) for(int j=0;j<i;++j) dp[i][j]=1;
	for(int len=1;len<=m;++len)
		for(int l=1,r,p,a,b;l+len-1<=m;++l){
			r=l+len-1,p=N,a=0,b=0;
			for(int k=l;k<=r;++k) p=min(p,col[k]);
			if(mn[p]<l||mx[p]>r) continue;
			for(int k=l-1;k<=mn[p]-1;++k) add(a,1ll*dp[l][k]*dp[k+1][mn[p]-1]%MOD);
			for(int k=mx[p];k<=r;++k) add(b,1ll*dp[mx[p]+1][k]*dp[k+1][r]%MOD);
			dp[l][r]=1ll*a*b%MOD;
			for(int i=mn[p]+1,j=mn[p];i<mx[p];i=(j+=2)){
				for(;col[j+1]!=p;++j) ;
				dp[l][r]=1ll*dp[l][r]*dp[i][j]%MOD;
			}
		}
	printf("%d",dp[1][m]);
	
	return 0;
}

[CF1178 F2] Long Colorful Strip

F2 - Long Colorful Strip