F2 - Long Colorful Strip

很牛的题！

首先，我们可以将颜色相同的一段区间缩成一个点，那么每次加入一个新的颜色时，最多只能将其所覆盖的那个颜色所属的区间分成三部分（原本：00000000，加入1后\(\rightarrow\)0001111000），也就是增加了两个点，那么也就意味着最终所成的点的个数最多只有\(2*n-1\)个，这样的话，\(m\)看着很大，其实也就是\(O(N)\)级别的

对于这种区间覆盖的题，优先考虑区间\(dp\)

设\(dp[l][r]\)表示让区间\([l,r]\)合法的方案数，且满足\([l,r]\)中的颜色不会在\([l,r]\)外出现

设\(p\)为区间\([l,r]\)中最小的颜色，其出现的最早的位置为\(mn_p\)，最晚的位置为\(mx_p\)，那么显然有我们可以一开始就让\(p\)覆盖区间\([a,b]\)（\([mn_p,mx_p]\in[a,b]\)），那么就有转移式

\[dp[l][r]=\sum_{a\in[l,mn_p]}\sum_{b\in[mx_p,r]}dp[l][a-1]\times dp[a][b]\times dp[b+1][r] \]

其中，对于\(dp[a][b]\)，其实就是相当于对于\([a,b]\)的所有方案，直接在每种方案的第一个操作之前给\([a,b]\)覆盖上颜色\(p\)即可（总之就是让第一步变成用\(p\)覆盖\([a,b]\)，具体的，若原本的方案没有这一步，加上即可；否则，若其原本只用\(p\)覆盖\([s,t]\)（\([s,t]\in[a,b]\)，因为\(p\)也是\([a,b]\)中最小的值，所以原本的用\(p\)覆盖\([s,t]\)的这一步也一定是该方案中的第一步）将其补全成覆盖\([a,b]\)即可

但是可以发现，当\(a=l,b=r\)时，就转不了了，所以考虑将\(dp[a][b]\)拆开

因为\(p\)的最早出现位置为\(mn_p\)，最晚出现位置为\(mx_p\)，所以显然有所有处于\([mn_p,mx_p]\)中的颜色的出现区间范围也不会超过\([mn_p,mx_p]\)，这也意味这\([mn_p,mx_p]\)将\([a,b]\)分隔成了三个区间\([a,mn_p-1],[mn_p,mx_p],[mx_p+1,b]\)，这三个区间是"独立的"，即它们的颜色集合没有交集

证明的话可以从\(mn_p\)和\(mx_p\)这两个点下手，因为它们的颜色\(p\)是区间\([a,b]\)中最小的颜色，这就意味着区间\([a,b]\)中剩下的所有颜色都不会跨越它们，也就是没有颜色会覆盖上述三个区间中的任意两个，所以所有颜色只会待在对应的一个区间内

\[dp[a][b]=dp[a][mn_p-1]\times dp[mx_p+1][b]\times \sum_{[i,j]}dp[i][j] \]

其中\([i,j]\)表示所有不包含颜色\(p\)的、属于区间\([mn_p,mx_p]\)的极长区间，它实际上如何转移的和上文中\(对dp[a][b]\)的解释一致

所以我们就得到了最终的式子

\[dp[l][r]=\sum_{a\in[l,mn_p]}\sum_{b\in[mx_p,r]}dp[l][a-1]\times dp[a][mn_p-1]\times(\sum_{[i,j]}dp[i][j])\times dp[mx_p+1][b]\times dp[b+1][r] \]

复杂度\(O(N^3)\)

代码中，只要保证了当前区间\([l,r]\)的最小颜色\(p\)的范围属于当前区间，在转移时因为其他转移给\(dp[l][r]\)的\(dp[x][y]\)会保证属于\([x,y]\)的所有颜色只属于\([x,y]\)中，所以最终就一定能保证\([l,r]\)中的所有颜色只属于\([l,r]\)中

也就是归纳证明即可

c++ 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=505,M=1e6+5,MOD=998244353;
int n,m,col[M],dp[N<<1][N<<1],mn[N],mx[N];
void add(int &x,int y){ x+=y; if(x>=MOD) x-=MOD; }
int ad(int x,int y){ x+=y; if(x>=MOD) x-=MOD; return x; }
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		scanf("%d",&col[i]);
		if(col[i]==col[i-1]) --i,--m;
		else (!mn[col[i]])&&(mn[col[i]]=i),mx[col[i]]=i;
	}
	if(m>=(n<<1)) return puts("0"),0;
	for(int i=1;i<=m+1;++i) for(int j=0;j<i;++j) dp[i][j]=1;
	for(int len=1;len<=m;++len)
		for(int l=1,r,p,a,b;l+len-1<=m;++l){
			r=l+len-1,p=N,a=0,b=0;
			for(int k=l;k<=r;++k) p=min(p,col[k]);
			if(mn[p]<l||mx[p]>r) continue;
			for(int k=l-1;k<=mn[p]-1;++k) add(a,1ll*dp[l][k]*dp[k+1][mn[p]-1]%MOD);
			for(int k=mx[p];k<=r;++k) add(b,1ll*dp[mx[p]+1][k]*dp[k+1][r]%MOD);
			dp[l][r]=1ll*a*b%MOD;
			for(int i=mn[p]+1,j=mn[p];i<mx[p];i=(j+=2)){
				for(;col[j+1]!=p;++j) ;
				dp[l][r]=1ll*dp[l][r]*dp[i][j]%MOD;
			}
		}
	printf("%d",dp[1][m]);
	
	return 0;
}

[CF1178 F2] Long Colorful Strip

F2 - Long Colorful Strip