EM@直线的参数方程

文章目录

• • abstract
  • 直线参数方程
  • • 从运动轨迹的角度
    • 从普通方程转换导参数方程
    • 向量法
  • 参数方程间的转换
  • • 从第3型转化为第2型方程组
    • • 例

abstract

• 平面直线的参数方程的3种表示形式
• 直线参数方程间的转换

直线参数方程

• 以下从不同角度推导直线参数方程
• 分别记为第1,2,3形式参数方程

从运动轨迹的角度

• 直线可以看作是质点匀速运动的曲线
• 设质点从 M 0 ( x 0 , y 0 ) M_0(x_0,y_0) M0(x0,y0)出发,沿着与 x x x轴成 α \alpha α角的方向作匀速直线运动,其速录为 v 0 v_0 v0,把速度再 x , y x,y x,y轴上分解,大小分别为 v x = v 0 cos ⁡ α v_x=v_0\cos\alpha vx=v0cosα, v y = v 0 sin ⁡ α v_y=v_0\sin{\alpha} vy=v0sinα
• 设 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y)为 t t t时刻质点所在位置,则如下参数方程组(1) ( t ⩾ 0 ) (t\geqslant{0}) (t⩾0)
  • x = x 0 + v x t = x 0 + t v 0 cos ⁡ α x=x_0+v_x{t}=x_0+tv_0\cos\alpha x=x0+vxt=x0+tv0cosα;
  • y = y 0 + v y t = y 0 + t v 0 sin ⁡ α y=y_0+v_y{t}=y_0+tv_0\sin\alpha y=y0+vyt=y0+tv0sinα;
• 若不考虑物理意义,取参数 t ∈ ( − ∞ , + ∞ ) t\in(-\infin,+\infin) t∈(−∞,+∞),方程组(1)就是直线的一种参数方程,参数为 t t t

从普通方程转换导参数方程

• 设直线的点斜式方程为 y − y 0 = k ( x − x 0 ) y-y_0=k(x-x_0) y−y0=k(x−x0)
  • 其中 k = tan ⁡ α k=\tan{\alpha} k=tanα, α \alpha α为直线的倾斜角 ( α ∈ [ 0 , π ) \alpha\in[0,\pi) α∈[0,π));
  • 则 y − y 0 = tan ⁡ α ( x − x 0 ) y-y_0=\tan{\alpha}(x-x_0) y−y0=tanα(x−x0)= sin ⁡ α cos ⁡ α ( x − x 0 ) \frac{\sin{\alpha}}{\cos\alpha}(x-x_0) cosαsinα(x−x0), ( α ≠ π 2 ) (\alpha\neq{\frac{\pi}{2}}) (α=2π)
  • 即 x − x 0 cos ⁡ α \frac{x-x_0}{\cos{\alpha}} cosαx−x0= y − y 0 sin ⁡ α \frac{y-y_0}{\sin{\alpha}} sinαy−y0,令其比值为参数 t t t,即有
    • x − x 0 = t cos ⁡ α x-x_0=t\cos\alpha x−x0=tcosα, y − y 0 y-y_0 y−y0= t sin ⁡ α t\sin\alpha tsinα
    • 这里的参数 t t t有明显的几何意义: ∣ t ∣ |t| ∣t∣表示直线上的任一点 M M M到定点 M 0 M_0 M0的距离
  • 整理:得方程组(2)参数 t ∈ R t\in{\mathbb{R}} t∈R,
    • x = x 0 + t cos ⁡ α x=x_0+t\cos{\alpha} x=x0+tcosα;
    • y = y 0 + t sin ⁡ α y=y_0+t\sin\alpha y=y0+tsinα

向量法

• 设直线过点 M 0 ( x 0 , y 0 ) M_0(x_0,y_0) M0(x0,y0),且与平面向量 a = ( l , m ) \bold{a}=(l,m) a=(l,m)平行 ( l , m ≠ 0 ) (l,m\neq{0}) (l,m=0),

• 在直线上任取点 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y),则向量 M 0 M → / / a \overrightarrow{M_0M}//\bold{a} M0M //a, M 0 M → \overrightarrow{M_0M} M0M = ( x − x 0 , y − y 0 ) (x-x_0,y-y_0) (x−x0,y−y0)

• 两向量平行的充要条件是 x − x 0 l = y − y 0 m \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m} lx−x0=my−y0,记该比值式比值为 t t t,

• 整理得方程组(3)

  • x = x 0 + l t x=x_0+lt x=x0+lt,
  • y = y 0 + m t y=y_0+mt y=y0+mt,
  • 参数 t ∈ R t\in\mathbb{R} t∈R

参数方程间的转换

从第3型转化为第2型方程组

• 方法1:

  • 设(3)转换的第2型方程组为

    • x = x 0 + u cos ⁡ α x=x_0+u\cos\alpha x=x0+ucosα
    • y = y 0 + u sin ⁡ α y=y_0+u\sin\alpha y=y0+usinα

  • 和(3)比较可知, u cos ⁡ α = l t u\cos\alpha=lt ucosα=lt; u sin ⁡ α = m t u\sin\alpha=mt usinα=mt,则 tan ⁡ α = m l \tan{\alpha}=\frac{m}{l} tanα=lm

  • 只要求出 cos ⁡ α \cos\alpha cosα, sin ⁡ α \sin\alpha sinα关于 l , m l,m l,m的表示式即可:

    • cos ⁡ α \cos\alpha cosα= ± l m 2 + l 2 \pm{\frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}}} ±m2+l2 l

    • sin ⁡ α = ± m m 2 + l 2 \sin\alpha=\pm\frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}} sinα=±m2+l2 m

    • 根据 α \alpha α的来取定两个式子的符号:

    • cos ⁡ α = l m 2 + l 2 \cos\alpha=\frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}} cosα=m2+l2 l

    • sin ⁡ α = m m 2 + l 2 \sin\alpha=\frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}} sinα=m2+l2 m

• 方法2:

  • 由于2型方程中的 α \alpha α是直线的倾斜角,因此,根据直线某个同向方向向量 ( l , m ) (l,m) (l,m)可得
  • l 1 l_1 l1: cos ⁡ α = l m 2 + l 2 \cos\alpha=\frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}} cosα=m2+l2 l; sin ⁡ α = m m 2 + l 2 \sin\alpha=\frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}} sinα=m2+l2 m
  • l 2 l_2 l2: cos ⁡ α = − l m 2 + l 2 \cos\alpha=-\frac{l}{\sqrt{m^2+l^2}} cosα=−m2+l2 l; sin ⁡ α = − m m 2 + l 2 \sin\alpha=-\frac{m}{\sqrt{m^2+l^2}} sinα=−m2+l2 m
  • 两组都可以:验证:
    • l 1 l_1 l1: x = x 0 + t cos ⁡ α x=x_0+t\cos{\alpha} x=x0+tcosα; y = y 0 + t sin ⁡ α y=y_0+t\sin\alpha y=y0+tsinα
    • l 2 l_2 l2: x = x 0 − t cos ⁡ α x=x_0-t\cos{\alpha} x=x0−tcosα; y = y 0 − t sin ⁡ α y=y_0-t\sin\alpha y=y0−tsinα
    • 当 t = 1 t=1 t=1时 ( x 0 + cos ⁡ α , y 0 + sin ⁡ α ) (x_0+\cos\alpha,y_0+\sin\alpha) (x0+cosα,y0+sinα)和 t = − 1 t=-1 t=−1时 ( x 0 − cos ⁡ α , y 0 − sin ⁡ α ) (x_0-\cos\alpha,y_0-\sin\alpha) (x0−cosα,y0−sinα)都同时在 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2上,说明 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2是同一条直线
    • 或者分别将 l 1 l_1 l1, l 2 l_2 l2化为普通方程,可得相同的直角坐标方程: y − y 0 x − x 0 = tan ⁡ α \frac{y-y_0}{x-x_0}=\tan{\alpha} x−x0y−y0=tanα

例

• 设直线 x = 5 + 3 t x=5+3t x=5+3t; y = 10 − 4 t y=10-4t y=10−4t;将其表示为第2形式参数方程

• 从第3型转化为第2型:

  • cos ⁡ α = 3 3 2 + 4 2 \cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{3^2+4^2}} cosα=32+42 3= 3 5 \frac{3}{5} 53; sin ⁡ α \sin\alpha sinα= − 4 3 2 + 4 2 \frac{-4}{\sqrt{3^2+4^2}} 32+42 −4= − 4 5 -\frac{4}{5} −54
  • 另一组取值 cos ⁡ α = − 3 5 \cos\alpha=-\frac{3}{5} cosα=−53, sin ⁡ α = 4 5 \sin\alpha=\frac{4}{5} sinα=54也可以
  • 两组取值都有( tan ⁡ α = − 4 3 \tan\alpha=-\frac{4}{3} tanα=−34)
  • 所以
    • x = 5 + 3 5 u x=5+\frac{3}{5}u x=5+53u; y = 10 − 4 5 u y=10-\frac{4}{5}u y=10−54u
    • x = 5 − 3 5 u x=5-\frac{3}{5}u x=5−53u; y = 10 + 4 5 u y=10+\frac{4}{5}u y=10+54u