一.什么是差分进化算法？

背景：

差分进化算法(Differential Evolution，DE)是一种新兴的进化计算算法，来源于1995年Storn等人为了求解切比雪夫多项式而提出。主要用于求解实数优化问题。

用途：

差分进化算法是一种随机的并行直接搜索算法，可以对非线性、可微、连续空间函数进行最小化，以其易用性、稳健性和强大的全局寻优能力在多个领域取得成功。

基本实现步骤：

首先在问题范围随机初始化种群操作，接着进行变异操作，交叉操作，选择操作后产生下一代种群，重复后面三个步骤，直到满足了停止条件（找到最优解或者达到迭代次数）。如以下流程图所示：

优点：

和其他进化算法相比，在非凸，多峰，非线性，连续不可微函数优化问题上表现出极强的稳定性，收敛速度快，在求解多维函数优化问题上有优势，容易实现。

缺陷：

算法后期收敛速度慢，容易陷入局部最优。过多次迭代才能搜索到全局最优。变异策略，缩放因子和交叉因子对算法的性能有着重要影响。

改进方向：

收敛速度上，不同问题使用不同变异策略/控制参数上等等。

二.DE的具体步骤

1.种群初始化

1.1个体：

是指种群中的单个元素，简单理解可以看做一个解向量。每个种群可以包含多个个体。

1.2种群：

来自遗传算法(GA)中的名词，是指用DE求解问题时，初始给定的多个解的集合。遗传算法的求解过程是从这个子集开始的。

1.3种群初始化步骤：

首先在问题的解空间中随机并且均匀地产生NP个个体，每个个体都是m维决策变量。例如第0代种群有NP个个体，表示为：

第0代种群中第i个个体，每个个体有m维，表示为：

...... 由此可知，第t代种群的第i个个体表示为：

例如表格所示第0代种群各个个体：

初始化步骤：在m维空间中随机产生满足约束条件的NP个个体，所以第i个个体的第j维分量的取值为:

下标i=1,2,3,...,m ；下标j=1,2,3,...,NP

2.变异操作

种群变异操作有多种方法，这里采用DE/Rand/1方法进行详细介绍。当种群正进行第t次的迭代时，从当前的种群中随机的选取三个个体 ,而且需要使选取的三个个体下标与变异个体Vi下标互不相等，r1,r2,r3是从[1,NP]中随机选取互不相等的整数，即。变异公式如下：

其中参数F为缩放因子，考虑到两个随机个体(如r1, r2和r3)之间的差分或方向信息。

是差分向量，差分向量越小，表示扰动值就越小，所以在算法的初始阶段，各个个体随机选取，彼此之间相差较大，所以扰动较大，差分向量大，生成变异个体的可变范围大，算法在一个较大的范围进行搜索；当算法的后期，各个个体之间都在最优个体周围，扰动值小，差分向量小，生成变异个体的可变范围小，算法在较小范围搜索。

变异方法表示DE/q/p，其中q表示被变异个体的选择方式，p 表示差分向量的个数。其他的变异方法有：

DE/rand/1:

DE/best/1:

DE/current to best/1 :

DE/best/2:

DE/rand/2:

需要注意的是，Vi的各个维度范围可能会超出搜索范围，所以需要判断解的有效性，变异后个体每个维度是否都在各维度的上下边界之中，如果没有则重新生成那个维度的值，这里有三种重新生成方法：

第一种方法：当变异个体的某维度数值大于其最大范围或者小于最小范围时，利用下面公式重新赋值：

第二种方法：如果变异个体的某维度数值大于其最大范围，则重新赋值为最大值;如果小于最小范围时,则重新赋值为最小值，即将其保留在相应的边界内。

第三种方法：当变异个体的某维度数值大于其最大范围或者小于最小范围时，利用下面公式重新赋值：

3. 交叉操作

交叉操作可以增加种群的多样性，试验向量U的赋值公式为：

j是维度，属于1到m的正整数，jrand是在区间[1,m]随机选取的整数是随机获取[0,1]之间的数；Cr为交叉概率，属于[0,1]范围。此交叉式保证了试验向量Ui至少要从变异向量Vi中获得一个值（当j=jrand时），这样可以保证Ui与Vi和xi都不完全相同，从而保证种群多样性，避免种群个体之间的无效交叉。

4.选择操作

DE使用贪婪选择方法来执行选择操作，体现了大自然界物竞天择，优胜劣汰的思想。根据适应值从Xi(t)和试验向量Ui(t+1)中一对一地贪婪选择出更好的个体成为下一代的向量xi(t+1)。例如,对于最小优化问题，根据目标函数f选择Ui(t+1)或Xi(t)作为Xi(t+1)：

5.小结

DE算符的搜索性能取决于算法全局探索和局部开发能力的平衡，而这在很大程度上依赖于算法的控制参数的选取，包括种群规模NP、缩放因子F和交叉概率Cr等。种群规模NP：一般介于5m与10m之间，但不能少于4，否则变异算子无法进行；缩放因子F:一般在[0,2]之间选择，通常取0.5；交叉概率Cr:般在[0,1]之间选择，比较好的选择应在0.3左右。 Cr取值偏大，收敛速度会加快，但易过早收敛。伪代码如下：

三.应用------在Matlab用DE实现求解多元函数最值

实现代码：

matlab 复制代码

clear;
clc;
N=200;%N种群数
T=500;%T迭代次数
m=30;%m维度
F=0.5;%F收缩因子
Cr=0.5;%Cr交叉概率
L=-200;%下界范围
U=200;%上界范围
t=1;%迭代次数初始化

%种群初始化操作
initgroup=rand(N,m)*(U-L)+L;
%计算种群初代适应值
for i =1:N
fx(i)=sum(initgroup(i,:).^2);
end
%计算初代种群中N个个体的最优解
trace(t)=min(fx);



%迭代
for t=1:T
%第一代N个个体循环
for p=1:N
%取四个1到N的随机排列的数组成的向量返回给num;

num=randperm(N,4);

if num(1)==p
 num(1)=num(4);
elseif num(2)==p
 num(2)=num(4);
elseif num(3)==p
 num(3)=num(4); %遵循num(1)不等于num(2)不等于num(3)不等于个体号p
end

 

%变异操作

v(p,:)=initgroup(num(1),:)+F*(initgroup(num(2),:)-initgroup(num(3),:));

%判断变异后的变异向量v中的每一维度是否越界

for j=1:m%维度m

 if v(p,j)<L
 x1=2*L-v(p,j);
 v(p,j)=min(U,x1);
 elseif v(p,j)>U
 x2=2*U-v(p,j);
 v(p,j)=max(L,x2);
 end
end

%另一种对越界的变异向量v重新赋值的方法

% for j = 1:m
% if v(p,j)<L||v(p,j)>U
% v(p,j)=rand*(U-L)+L;
% end
% end

 

 

%交叉操作

rRand=randi([1,m],1,1); %从1到m中随机取一行一列个数=随机取一个

for r=1:m %维度j循环
if (rand<=Cr || r==rRand)
u(p,r)=v(p,r);
else
u(p,r)=initgroup(p,r);
end
end 

 

%计算u个体的适应值

fu(p)=sum(u(p,:).^2);

end

%N个变异完成

 

%选择操作

% 选择父代和试验向量适应值好的作为下一代

for e=1:N
if fu(e)<=fx(e)
initgroup(e,:)=u(e,:);
end
end

%种群更新完成，重新计算f(x)适应值

for i=1:N
fx(i)=sum(initgroup(i,:).^2);
end

%记录每一代种群最优适应值
trace(t)=min(fx);

end

 

 

figure(1);
plot(trace);
xlabel('进化代数');
ylabel('适应值');