AM@多元函数复合函数偏导混合情形

文章目录

• • abstract
  • 基础复合情形
  • 多元函数复合函数偏导混合情形举例
  • • 中间变量和原变量混合
    • • 可靠的做法
  • 会造成混乱的写法
  • • [∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z, ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} ∂x∂f的比较](#∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z, ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} ∂x∂f的比较)
    • 例
  • 对称多项式和偏导
  • • 例
  • 多元复合函数高阶偏导和混合偏导

abstract

• 多元复合函数求导法则@混合情形

基础复合情形

• 另见:多元函数基础复合类型

多元函数复合函数偏导混合情形举例

• 例如 z = f ( u ( x , y ) , v ( y ) ) z=f(u(x,y),v(y)) z=f(u(x,y),v(y)),是第二类情形的特例

  • u x z v y

  • ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v 0 = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v d v d y \frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} +\frac{\partial{z}}{\partial{v}}0 \\=\boxed{\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}}= \boxed{ \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{y}} +\frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{d{v}}{d{y}} } ∂x∂z=∂u∂z∂x∂u+∂v∂z0=∂u∂z∂x∂u∂y∂z=∂u∂z∂y∂u+∂v∂zdydv

    • 其中中间变量 v v v是关于y的单元函数,因此将使用 d v d y \frac{dv}{dy} dydv的方式书写

中间变量和原变量混合

• z = f ( u ( x , y ) , x , y ) z=f(u(x,y),x,y) z=f(u(x,y),x,y)

• z u x y

可靠的做法

• 可行且可靠的做法是补齐: z = f ( u ( x , y ) , x ( x ) , y ( y ) ) z=f(u(x,y),x(x),y(y)) z=f(u(x,y),x(x),y(y)),这就成为了前一种的特殊情况(第二类情况)

  z u x y x y

会造成混乱的写法

• 如果复合函数写为 z = z ( u , x , y ) z=z(u,x,y) z=z(u,x,y)
  ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ y 除非您用 x = x ( x ) 区分中间变量 x 和自变量 x ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x ( x ) + ∂ z ∂ x \bcancel{ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} =\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} +\frac{\partial{z}}{\partial{x}} } \\ \bcancel{ \frac{\partial{z}}{\partial{y}}=\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{y}} +\frac{\partial{z}}{\partial{y}} }\\ 除非您用x=x(x)区分中间变量x和自变量x \\ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} =\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x(x)}} +\frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z=∂u∂z∂x∂u+∂x∂z ∂y∂z=∂u∂z∂y∂u+∂y∂z 除非您用x=x(x)区分中间变量x和自变量x∂x∂z=∂u∂z∂x(x)∂u+∂x∂z

  • 上述公式中左右两侧同时出现了 ∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z;这就导致了混淆

∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z, ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} ∂x∂f的比较

• 在求多元函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的偏导时,比如求其对 x x x的偏导数时,可以表示为 ∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z,或 ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} ∂x∂f都可以,而且含义相同不会引起混淆

• 但是对于某些多元复合函数求偏导问题中,要注意区分两种写法

• 例如,设 u = ϕ ( x , y ) u=\phi(x,y) u=ϕ(x,y)(0), z = f ( u , x , y ) z=f(u,x,y) z=f(u,x,y)(1)求复合函数 z z z= f ( ϕ ( x , y ) , x , y ) f(\phi(x,y),x,y) f(ϕ(x,y),x,y)(2)

  • 这里函数(1)的自变量为 u , x , y u,x,y u,x,y,其因变量为 z z z;
    • 函数(1)不是复合函数,只有代入函数(0),得到(2)才是复合函数,这时的复合关系为:函数 f f f复合了函数 ϕ \phi ϕ
  • 复合函数(2)的自变量为 x , y x,y x,y,因变量为 z z z
  • 计算函数(2)的偏导: ∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z, ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} ∂x∂f含义有所不同( ∂ z ∂ y \frac{\partial{z}}{\partial{y}} ∂y∂z, ∂ f ∂ y \frac{\partial{f}}{\partial{y}} ∂y∂f之间类似)
    • 计算前者时,将 y y y视为常数再对自变量 x x x求偏导
    • 而后者则把 u , y u,y u,y看作常数对 x x x的偏导

• 例如: z = f ( u , x , y ) = x y u z=f(u,x,y)=xyu z=f(u,x,y)=xyu(1), u = u ( x , y ) = x 2 + y 2 u=u(x,y)=x^2+y^2 u=u(x,y)=x2+y2(2)

  • 方法1: ∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z= ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} ∂u∂f∂x∂u+ ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} ∂x∂f= x y 2 x + y u xy2x+yu xy2x+yu= 3 x 2 y + y 3 3x^2y+y^3 3x2y+y3

    • ∂ z ∂ y \frac{\partial{z}}{\partial{y}} ∂y∂z= ∂ f ∂ y \frac{\partial{f}}{\partial{y}} ∂y∂f+ ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y \frac{\partial{f}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{y}} ∂u∂f∂y∂u= x u + x y 2 y xu+xy2y xu+xy2y= 3 x y 2 + x 3 3xy^2+x^3 3xy2+x3(也可以利用 u , v u,v u,v的对称性,调换 ∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z结果中的 x , y x,y x,y来直接得到答案)

    • ∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z可以由下式简化得到:
      ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ x + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ x + ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}}= \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{x}} +\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} +\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} ∂x∂z=∂x∂f∂x∂x+∂y∂f∂x∂y+∂u∂f∂x∂u
      ∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z= ∂ f ∂ x ⋅ 1 + ∂ f ∂ y 0 + ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot{1} +\frac{\partial{f}}{\partial{y}}0 +\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} ∂x∂f⋅1+∂y∂f0+∂u∂f∂x∂u= ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x = y u + x y ⋅ 2 x = 3 x 2 y + y 3 \frac{\partial{f}}{\partial{x}} +\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} =yu+xy\cdot{2x}=3x^2y+y^3 ∂x∂f+∂u∂f∂x∂u=yu+xy⋅2x=3x2y+y3

  • 方法2:扁平化(复合函数化为非复合函数)

    • 代入式(2)展开 z = z ( x , y ) = x y ( x 2 + y 2 ) z=z(x,y)=xy(x^2+y^2) z=z(x,y)=xy(x2+y2)可求

  • 对比:

    • ∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z= y ( 3 x 2 + y 2 ) = 3 x 2 y + y 3 y(3x^2+y^2)=3x^2y+y^3 y(3x2+y2)=3x2y+y3
    • ∂ f ∂ x = y u \frac{\partial{f}}{\partial{x}}=yu ∂x∂f=yu= y ( x 2 + y 2 ) = y x 2 + y 3 y(x^2+y^2)=yx^2+y^3 y(x2+y2)=yx2+y3

例

• 设 z = f ( x y + y x ) z=f(xy+\frac{y}{x}) z=f(xy+xy), f f f具有二阶连续导数,求 ∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z, ∂ z ∂ y \frac{\partial{z}}{\partial{y}} ∂y∂z, ∂ z ∂ x ∂ y \frac{\partial{z}}{\partial{x}\partial{y}} ∂x∂y∂z

  • 观察函数 f f f,是个一元函数,令 u = u ( x , y ) = x y + y x u=u(x,y)=xy+\frac{y}{x} u=u(x,y)=xy+xy,而 z = f ( u ) z=f(u) z=f(u)

    • 不应该令 u = x y u=xy u=xy, v = y x v=\frac{y}{x} v=xy, z = f ( u + v ) z=f(u+v) z=f(u+v),这不同于 f ( u , v ) f(u,v) f(u,v), f ( u + v ) f(u+v) f(u+v)不是真的二元函数

  • z u x y

  • z x z_{x} zx= z u ′ u x ′ z_{u}'u_{x}' zu′ux′= f ′ ( y + y ( − x − 2 ) ) f'(y+y(-x^{-2})) f′(y+y(−x−2))= y ( 1 − 1 x 2 ) f ′ y(1-\frac{1}{x^2})f' y(1−x21)f′,

    • 因为 f f f是个一元函数,即 f ( u ) f(u) f(u)它的导数 f ′ ( u ) f'(u) f′(u)可以直接写成 f ′ f' f′即可,不发生歧义
    • 也可以写作: z x = f u ′ u x ′ z_{x}=f_{u}'u_{x}' zx=fu′ux′= f ′ ( u ) u ′ ( x ) f'(u)u'(x) f′(u)u′(x)

  • z y z_{y} zy= z u ′ u y ′ z_{u}'u_{y}' zu′uy′= f ′ ( x + 1 x ) f'(x+\frac{1}{x}) f′(x+x1)

  • z x y z_{xy} zxy= ( y ( 1 − 1 x 2 ) f ′ ) y ′ (y(1-\frac{1}{x^2})f'){y}' (y(1−x21)f′)y′= ( 1 − 1 x 2 ) ( y f ′ ) y ′ (1-\frac{1}{x^2})(yf')'{y} (1−x21)(yf′)y′= ( 1 − 1 x 2 ) ( f ′ + y f ′ ′ ( x + 1 x ) ) (1-\frac{1}{x^2})(f'+yf''(x+\frac{1}{x})) (1−x21)(f′+yf′′(x+x1))

    • 其中 f ′ = f ′ ( u ) f'=f'(u) f′=f′(u)对 y y y求偏导表示为 [ f ′ ( u ) ] y ′ [f'(u)]{y}' [f′(u)]y′= f ′ ′ ( u ) u y ′ f''(u)u{y}' f′′(u)uy′= f ′ ′ ( u ) ( x + 1 x ) f''(u)(x+\frac{1}{x}) f′′(u)(x+x1)= f ′ ′ ( x + 1 x ) f''(x+\frac{1}{x}) f′′(x+x1)

对称多项式和偏导

• 对称多项式:如果将 f ( x 1 , ⋯   , x n ) f(x_1,\cdots,x_n) f(x1,⋯,xn)任意对换 两个**文字(元)**的位置,结果不变,则 f ( x 1 , ⋯   , x n ) f(x_1,\cdots,x_n) f(x1,⋯,xn)是具有对称性的
• 对于二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)若 f ( x , y ) = f ( y , x ) f(x,y)=f(y,x) f(x,y)=f(y,x),则 f f f是对称多项式
  • 对称性有许多有用的性质,例如求出 ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} ∂x∂f后,只需要将该表达式对调 x , y , x,y, x,y,即可得到 ∂ f ∂ y \frac{\partial{f}}{\partial{y}} ∂y∂f的结果

例

• z = e u sin ⁡ v z=e^u\sin{v} z=eusinv, u = x y u=xy u=xy, v = x + y v=x+y v=x+y
  ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x = sin ⁡ v e u y + e u cos ⁡ v = e u ( sin ⁡ v y + cos ⁡ v ) = e x y ( sin ⁡ ( x + y ) y + cos ⁡ ( x + y ) ) \frac{\partial{z}}{\partial{x}} =\frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} +\frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}} =\sin{v}e^{u}y+e^u\cos{v} \\=e^u(\sin{v}y+\cos{v})=e^{xy}(\sin{(x+y)}y+\cos{(x+y)}) ∂x∂z=∂u∂z∂x∂u+∂v∂z∂x∂v=sinveuy+eucosv=eu(sinvy+cosv)=exy(sin(x+y)y+cos(x+y))

• 利用对称性 ∂ z ∂ x \frac{\partial{z}}{\partial{x}} ∂x∂z= e x y ( sin ⁡ ( x + y ) x + cos ⁡ ( x + y ) ) e^{xy}(\sin(x+y)x+\cos(x+y)) exy(sin(x+y)x+cos(x+y))

多元复合函数高阶偏导和混合偏导

• 另见相关章节:AM@多元函数高阶偏导数@复合函数高阶偏导数@全微分形式不变性