数据结构算法知识小结

前言

解决问题思维方式

假设我们有一整套螺丝刀，要进行笔记本清灰操作，我们主要的思维逻辑如下：

1. 若要清灰，必须先取出风扇
2. 若要取出风扇，必须先把从外壳到风扇的螺丝全部拆下

那么清灰问题就变成了拆一堆不同规格的螺丝，当我们看到不同规格的螺丝，就会比较螺丝口大小、形状和螺丝刀规格，从而选取对应的螺丝刀。

可以看出，当我们遇到一个复杂问题，下意识的思维方式就是将一个复杂问题，转移成我们熟知的一些子问题

问题模型的遍历

选择对应螺丝刀的过程，也有不同的选择方式：

• 较笨的方式：每遇到一个螺丝，遍历每个螺丝刀，选择合适的螺丝刀
• 更好的方式：将螺丝刀分类（一字头，十字头），遇到对应的螺丝口（如十字头），遍历对应的（十字头）螺丝刀，选择合适的螺丝刀
• 熟练工的选择方式：熟练工甚至记住了每个螺丝口对应的螺丝刀，看到螺丝口就能立马反应出应该使用哪个螺丝刀

可以看出，当我们遇到一个问题时，会遍历脑中的工具箱 去寻找合适的解决工具，先将工具分类，遇到对应的问题时，可以根据问题特征快速找到对应分类，从而搜索对应的工具。

当熟练度更高时，我们能更细化的了解每个工具的特征，遇到对应的细节，能更快反应去用哪种工具解决问题。

小结

为了解决一个复杂问题，我们的总体思路如下（和在网络上与人对线思路一致）：

1. 将问题简化成我们所熟知的多个子问题（将对方智商拉到和自己一个水平）
2. 用现有的工具去匹配这些子问题，并加以解决（利用自己丰富的经验打败对方）

了解到这个过程后，为了具备解决更多问题的能力，我们所要丰富的知识主要有两方面：

1. 熟悉更多的问题模型（双指针、树、图....）
2. 掌握更多解决问题的工具（二分查找、深度/广度优先遍历、滑动窗口、dp...）

排序

学排序首先都是从冒泡排序开始，冒泡排序的写法自不必说，众所周知，冒泡的复杂度是O(n^2)，若细分这n*n的复杂度，可以发现每次获取最大值需要比较n次，并且一共需要进行n次这样的最大值比较。

我们知道一个合格的排序算法，复杂度应该是O(nlogn)，那么这logn的优化，应该可能来源于两方面：

1. 获取最大值的比较时，只需要比较logn次
2. 一共只需要进行logn次这样的获取最大值的比较

因为我们已经知道这些排序算法复杂度是O(nlogn)，这也就意味着两种优化不可能同时进行，否则排序算法的复杂度是O((logn)^2)了。

现在，我们将排序算法的优化问题，转换成两个稍微简单点的问题了：

1. 如何在logn的复杂度下，获取数组的最大值
2. 如果只进行logn次获取最大值的比较

接下来，需要寻找或者学习某样工具，来让我们知道解决方案

二分查找

见文档二分查找及各类变种题模板

通过二分查找这个工具的学习，我们知道了存在logn的复杂度下，获取有向 数组某个值的方法，那么如何得到有向 数组呢？我们很容易想到插入排序。

插入排序会始终维护一个有向数组，那么将这个有向数组，结合二分查找，便能得到一个O(nlogn)复杂度的算法。

树结构的应用

分治法

分治法在日常生活和工作中经常会用到，公司高管不会和基层员工直接对接，我们平时面对复杂业务需求时，也习惯将一个复杂需求分解成多个更为简单的子需求。

分治的效果是，公司的CEO只用听几个高管的汇报，项目管理只需要监督几个主要需求的进度，更多细节由下一层的管理者/需求进行同样的管理操作，作为一个完成最小任务的员工，我们明显能感觉到，相较于一个大的复杂业务，逐个解决最小任务明显心智负担更小，事实上这么拆分任务，确实也常常能在更短工期内将任务解决。

排序中分治法最典型的应用是归并排序，其代码很简单：

function mergeSort(ar) {
  const combine = (arr, l, half, r) => {
    const lArr = arr.slice(l, half + 1).concat(Infinity); // 哨兵
    const rArr = arr.slice(half + 1, r + 1).concat(Infinity);
    for (let i = l, lp = 0, rp = 0; i <= r; i++) {
      arr[i] = lArr[lp] <= rArr[rp] ? lArr[lp++] : rArr[rp++];
    }
  };
  const splitCombine = (arr, l, r) => {
    if (l >= r) return;
    const half = Math.floor((l + r) / 2);
    splitCombine(arr, l, half);
    splitCombine(arr, half + 1, r);
    combine(arr, l, half, r);
  };
  splitCombine(ar, 0, ar.length - 1);
  return ar;
}

归并排序代码逻辑暂时不做赘述，网上相关内容很多，这里需要明确一个问题：分治降低了问题的复杂度，具体是降低了哪个方面的复杂度？

先从分析归并排序复杂度入手，可以发现：

• 每一次合并，复杂度仍是O(n)
• 二分法进行数组拆分，总合并次数为O(logn)

之前提到，排序的优化可以从两方面入手（每次比较大复杂度，比较次数），和结合了二分查找的插入排序不同，归并排序的优化体现在比较次数上。

结合了二分查找的插入排序能优化每次比较大复杂度，这个很好理解，但为什么分治法能减少比较次数？

这个主要体现在两方面：

1. 子问题规模的减小
   • 问题的复杂度往往是随着规模增大，而呈现指数型的增长，以解决复杂问题为例：一个复杂中假设有n个全局变量，我们调整某个全局变量的值时，往往需要考虑到这n个全局变量，但如果理清了业务逻辑，将复杂任务拆分成多个子任务，调整一个全局变量后，只需要考虑这个变量对于其父节点的影响，需要考虑的变量数量就变成了logn
2. 避免重复计算
   • 回到归并排序，归并排序的combine操作需要将两个有序的子数组合并成一个更大的有序数组，注意这里子数组也是有序的，这一次合并时，无需再重新对子数组进行排序，这就相当于递进式的完成任务，上一次的工作能为这一次的工作节省时间，而冒泡排序中，上一次最大值的比较对下一次比较基本没有太大帮助，每次比较都需要重复计算一部分内容

回头看我们在工作中，将一个复杂任务拆分成多个子模块，子模块再进一步进行拆分，其实最后在完成项目时，代码量并不会减少，但每一项子任务的复杂度都降低了，复杂度降低同时也意味着维护成本低降低，每次定位问题就像是在二叉搜索树中查找某个值一样，相较于屎山，复杂度直接从O(n)降低到O(logn)

同样采用了分治法的还有快速排序，快排的代码和复杂度分析这里也不做赘述，直接总结它的特点：

1. 其平均复杂度为O(nlogn)，但最坏情况复杂度为O(n^2)
2. 归并、优化后的插排都需要开辟额外内存空间，快排是原地交换，无需开辟额外内存

将数组当作树来用

这里章节其实有点不好划分，因为二分查找本质上也是将数组当作树来用（类似于二叉搜索树），但平时我们使用二分法时，更多是用数组的方式去理解，所以这里将它和数组当作树的方法区分开来。

对于二叉搜索树来说，找到某个值只需要log(n)，因为我们可以根据查找值和节点值的大小，判断下一步应该从节点左侧还是右侧查找，那么这个特性如果用在数组中，是否也能达到将算法优化到O(nlogn)的效果？

首先分析一下数组排序 这件事，排序不涉及到数组长度的变化，且由于数组的特性，我们可以在O(1)时间内找到数组中的第n项，结合完全二叉 树的特性，如果给节点进行编号，我们可以轻松的知道编号n的节点，其左节点编号为2*n+1，如果将数组构建成一个平衡二叉树 （不是真的将数组转换成树，而是根据index在逻辑上将数组当作树），那么我们就能在O(logn)的时间内找到数组中的某个值。

这种方式用于数组排序就是堆排序，其思路如下：

1. 构建大顶堆（根节点永远比左右节点大）
2. 将最大值和队尾数字交换，再重新构建大顶堆，再次构建时，我们可以清楚知道顶部节点是和左节点交换还是右节点交换，因此只需O(logn)次交换

代码如下：

/**
 * 共分为三部：
 * 1. 创建大顶堆
 * 2. 顶部和尾部换位置，缩小heapSize, 重复大顶堆化
 * 3. heapSize缩小至0即全部排序完毕
 * @param {Array} arr 
 * @returns arr
 */
function heapSort(arr) {
  let heapSize = arr.length - 1;
  const swap = (ar, i, j) =>{[ar[i], ar[j]] = [ar[j], ar[i]]};
  const maxHeapify = (ar, i) => {
    const left = 2*i + 1;
    const right = 2*i + 2;
    let largest = i;
    if(left<= heapSize && ar[left]>ar[largest]) {
      largest = left
    }
    if(right<=heapSize && ar[right]>ar[largest]) {
      largest = right
    }
    if(largest!==i) {
      swap(ar, i, largest)
      maxHeapify(ar, largest)
    }
  }
  const buildMaxHeap = (ar)=>{
    for(let i=~~((ar.length-1)/2);i>=0;i--) {
      maxHeapify(ar, i)
    }
  }
  buildMaxHeap(arr);
  while(heapSize>0) {
    swap(arr, 0, heapSize);
    heapSize--
    maxHeapify(arr, 0)
  }
  return arr
}

由于堆排序是一次次寻找第n大的元素，因此遇到数组中第n大元素这类题目时，能更快得到答案，同时堆排序也是原地替换，空间复杂度低。

排序相关内容小结

1. 优化方向
   • 减少每次获取最大值时大复杂度
   • 减少比较次数
2. 优化思路
   • 分治（归并）
   • 结合树结构（二分查找、堆排）
3. 启发
   • 工作中遇到复杂问题时，采用分治法将其分解成多个子任务，能有效降低复杂度
4. 获得技能
   • 二分查找
   • 关键字"数组中第n大"这类问题的解决方案（堆排序，其实快排也能解决这类问题，不过快排写起来容易出错，有兴趣看网上相关资料）

树与图

抽象认知

树相关的问题其实如果递归理解得好，无论是各种遍历，还是剪枝、回溯等操作，实现起来都很简单。

图相对于树而言，最大的区别就是存在环 ，如果直接遍历，很容易在环中鬼打墙，现实中走迷宫时，我们都知道在走过的路线上做标记（记住走过路线的特征也是在脑中做标记），避免重复绕圈，图也是一样，如果将走过的路线存起来，每次选择下一条路线时，只选择没走过的路线，就能避免鬼打墙的情况。

因此解决树和图的问题之前，我们先要学会两件事：

1. 解决晕递归
2. 学会缓存法

晕递归问题

这里先不做经验性的总结，感性认知虽然更容易接受，但遇到更复杂的情况，比如双递归，或者是在工作中遇到实现webpack插件、eslint插件的需求时，有时需要操作AST树的节点，复杂情况甚至需要操作n重的环形引用（A方法引用方法B，B引用C，C又引用A），这时如果仅仅是对递归有感性认知，很容易出错或者出现死循环。

首先我们需要知道递归是什么。

递归是站在人的角度上解释代码，电脑只知道带着怎么样的上下文，跳到哪一行代码，其本质上也是一种循环。可以参考youtube上这个视频（作者PPT地址），视频讲述了如何采用模拟栈的方式，将单递归和尾递归转换成循环的写法，编译器用模拟栈的方式，将人理解的递归转换成机器可以理解的循环。

循环和递归其实有些像用初中高中的数学知识和用线性代数解方程，对于二元一次方程，往往用初高中的数学解法更为容易，但当问题变成m元n次方程，就必须借用线性代数相关知识，但本质上初高中数学的解法也能用线性代数去解释。

言归正传，我们用while循环类比递归，常规while循环结构如下：

while(循环条件) {
  问题的降解
}

while循环需包括两个部分：

1. 每次执行while都是一步将问题降解的过程
2. 拥有跳出循环的条件，否则将变成死循环

这两个特征套用在递归中，递归的模板应该如下：

function recursion(n) {
  if(不满足条件) return;
  问题的降解
  recursion(n-1); // 降解后的递归，这里n-1是为了让下一次递归知道问题的规模已经缩小，类似于for循环中的i
}

知道通用模板之后，我们应该怎么去分析问题？以查找数组的最大值为例，其实可以用流程图辅助分析

const findMaxVal = (arr) => {
    let max;
    const findMaxValInnerFunc = (idx) => {
        // 检查是否超出限制，是则返回max
        if(idx>=arr.length) return max;
        // 比较当前值和最大值
        max = Math.max(arr[idx], max||0);
        // 进入下一次比较
        return findMaxValInnerFunc(idx+1)
    }
    return findMaxValInnerFunc(0)
}
console.log(findMaxVal([1,2,3,4,8,2,1])) // 8

画好流程图后，很容易实现一一对应的递归代码，当面对复杂问题时，先画流程图，再按照流程图进行代码实现或许是个不错的方式。

同样的流程,尝试一下树的剪枝操作,我们将对象看作树，需要剪除对象{a: 1, b: {c: null, d: {e: undefined}, f: undefined}}对象上，所有值为undefined、null或者空对象{}的节点，剪枝后的对象应为{a: 1}(这里b被整个剪除，因为其所有子节点都被剪除了)，流程图如下：

const prune = (obj) => {
    const isObj = (val) => Object.prototype.toString.call(val) === '[object Object]';
    const needToPrune = (val) =>  [null, undefined].includes(val) || (isObj(val) && !Object.keys(val).length);
    // 边界处理
    if(!isObj(obj)) return obj;
    // 此处开始，按照流程图操作
    const pruneFunc = (key, pNode) => {
        const val = pNode[key];
        // 是否有子项
        if(isObj(val)) {
            // 遍历子项
            Object.keys(val).forEach(k=>pruneFunc(k, val))
        }
        if(needToPrune(val)) {
            // 对于满足条件的项进行剪枝
            delete pNode[key]
        }
    }
    // 封装传入对象，使其符合函数参数定义
    pruneFunc("root",{root: obj});
    return obj
}
console.log(prune({a: 1, b: {c: null, d: {e: undefined}, f: undefined}}))

之前的项目中有用同样的方式，梳理函数引用是否形成环的判断逻辑（见：eslint内存泄漏排查工具开发）

树的回溯（递归概念的练习）

我们知道了递归过程中模拟栈 的概念（对应的就是前端的闭包），它保证了函数体中的变量都有独立的内存空间存储，那么函数外的变量呢？如果外部定义了一个数组，执行递归函数时会往这个数组中push了一个值，必然会对下一次递归调用产生影响，这就是回溯操作利用的特性。

直接上n叉树的回溯的通用模板：

const visitCallback = (node, parentPath) => {
     // do someting...
}
const traverse = (root, visit) => {
    const path = []

    const traverseNode = (node) => {
        visit(node, path);
        path.push(node); // 重点
        (node?.children??[]).forEach(traverseNode)
        path.pop(); // 重点
    }
    traverseNode(root)
}
traverse(node, visitCallback)

注意这里的path.push(node)和path.pop(),这就像是给一个公司的人买奶茶，规定大家喝完之后将空杯放回原处，如果每个人都严格执行，那么最后可以得到位置原封不动的空杯。

回溯的本质就是用一个递归外部的数据结构存放我们需要的变量，每次递归操作完成后将变量复原，就像买奶茶的例子一样，每个人都喝到了奶茶，但大家都将空杯放回了原处，所以杯子位置不会有变化。

缓存法

前端需求开发过程中，如果没开发维护过树组件，或许很少用树结构，但Object对象的各种操作肯定没法避免，Object对象可以看作多叉树，而循环引用的对象就是典型的图结构。 前端八股文中无法避免的一题就是深拷贝，这里不考虑日期、函数等特殊类型，仅贴一段普通对象深拷贝的代码：

function cloneDeep(data) {
  const isReference = (val) => val instanceof Object;
  // 防止循环引用，利用weakMap缓存已拷贝的对象
  const cache = new WeakMap();
  const cloneData = (val) => {
    if (!isReference(val)) return val;
    if (cache.has(val)) return cache.get(val);
    // val类型未知，可能是class，因此根据constructor new一个对象
    const ref = new val.constructor();
    // 先将创建的ref放入cache，若先递归再放，会陷入无限递归
    cache.set(val, ref);
    // Object.getOwnPropertyDescriptors获取val所有项，包括enumerable为false，以及原型链上自己定义的对象
    for (const key in Object.getOwnPropertyDescriptors(val)) {
      ref[key] = cloneData(val[key]);
    }
    return ref;
  };
  return cloneData(data);
}

为了防止循环引用，代码中定义了一个cache，用于记录已经复制过的对象，这里需要注意的是，我们应该在执行下一次递归之前将复制过的对象放入cache，否则将陷入死循环。 利用同样的思路，可以尝试一下经典的迷宫问题。

缓存法与动态规划

如果想在最短的时间内了解动态规划，缓存法无疑是第一选择

前面我们提到过，当遇到一个复杂问题时，可以通过将其分解成多个子问题，从而降低思维难度。那么应该如何分解？

动态规划本质上是思路的转变。和高中学习数学归纳法类似，面对一个问题，思路变成了如果要解决这个问题，我需要证明什么，这些需要证明的内容，就是这个问题的子问题。

以最经典的爬楼梯问题为例，正向思考往往比较复杂，如果反过来想，如果想跳到最后一级台阶，那么最后一次跳跃应该是从哪一级台阶开始？不难得出只能从第n-1级和第n-2级开始跳，那么我们可以得到最基础的代码：

var climbStairs = function(n) {
    // ...
    return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)
};

但以递归的角度来看，这种写法明显是有问题的，根据我们前面总结的内容，递归需要包含两项特点：

1. 每次执行都降解了问题的复杂度
2. 有跳出递归的判定

显然这短代码缺少了跳出递归的判断，因此加上判定后，代码如下：

var climbStairs = function(n) {
    if(n===1) return 1
    if(n===2) return 2
    return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)
};

执行测试用例，可以发现这个函数已经可以得到正确结果了，但又会发现一个新的问题：当n的数值较大时，运算将变得特别慢。

这种多重递归，如果画图表示的话，可以发现它呈树形展开，也就是复杂度会随n的增加呈现指数增长。但仔细看会发现这些计算很多都是重复的，例如计算climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)时，计算climbStairs(n-1)必须先算climbStairs(n-2)，而后面又要再算一遍climbStairs(n-2)，那么为什么不直接将每次的计算结果缓存起来？

var climbStairs = function(n) {
    const cache = {};
    const calc = (m) => {
        if(m===1) return 1;
        if(m===2) return 2;
        if(m in cache) return cache[m];
        const result = calc(m-1) + calc(m-2);
        cache[m] = result;
        return result;
    }
    return calc(n);
};

当然，如果为了优化空间复杂度，也可以采用循环的方式，用两个变量分别记录第m、m+1级台阶的结果，直至m==n，但缓存法作为动态规划的入门更为直观。

动态规划的本质其实就和做项目一样，将一个复杂问题转换成多个子问题（解决晕递归问题后，这部分的代码实现将会很简单），再利用缓存法解决重复的计算过程，理清整个思路后，可以进一步用循环的方式优化空间复杂度。

树与图相关知识点小结

获得技能

1. 晕递归的辅助解决方案
2. 回溯操作
3. 缓存法和动态规划的入门知识

启发

1. 学会反向思考，遇到问题时，拆解子问题的思路变成了：为了解决这个问题，我需要解决哪几个子问题
2. 前一章节我们知道了分治法可以降低问题的复杂度，这一章知道了遇到复杂问题，如何进行分治

工具的积累

前两章内容解决了思路问题，后面需要掌握的是具体的工具，如滑动窗口、位运算、字典树、单调栈......

后续将会陆续总结更新.