神经网络优化篇:详解梯度的数值逼近(Numerical approximation of gradients)

在实施backprop 时,有一个测试叫做梯度检验,它的作用是确保backprop 正确实施。因为有时候,虽然写下了这些方程式,却不能100%确定,执行backprop的所有细节都是正确的。为了逐渐实现梯度检验,首先说说如何计算梯度的数值逼近。

先画出函数\(f\),标记为\(f\left( \theta \right)\),\(f\left( \theta \right)=\theta^{3}\),先看一下\(\theta\)的值,假设\(\theta=1\),不增大\(\theta\)的值,而是在\(\theta\) 右侧,设置一个\(\theta +\varepsilon\),在\(\theta\)左侧,设置\(\theta -\varepsilon\)。因此\(\theta=1\),\(\theta +\varepsilon =1.01,\theta -\varepsilon =0.99\),,跟以前一样,\(\varepsilon\)的值为0.01,看下这个小三角形,计算高和宽的比值,就是更准确的梯度预估,选择\(f\)函数在\(\theta -\varepsilon\)上的这个点,用这个较大三角形的高比上宽,技术上的原因就不详细解释了,较大三角形的高宽比值更接近于\(\theta\)的导数,把右上角的三角形下移,好像有了两个三角形,右上角有一个,左下角有一个,通过这个绿色大三角形同时考虑了这两个小三角形。所以得到的不是一个单边公差而是一个双边公差。

写一下数据算式,图中绿色三角形上边的点的值是\(f( \theta +\varepsilon )\),下边的点是\(f( \theta-\varepsilon)\),这个三角形的高度是\(f( \theta +\varepsilon)-f(\theta -\varepsilon)\),这两个宽度都是ε,所以三角形的宽度是\(2\varepsilon\),高宽比值为\(\frac{f(\theta + \varepsilon ) - (\theta -\varepsilon)}{2\varepsilon}\),它的期望值接近\(g( \theta)\),\(f( \theta)=\theta^{3}\)传入参数值,\(\frac {f\left( \theta + \varepsilon \right) - f(\theta -\varepsilon)}{2\varepsilon} = \frac{{(1.01)}^{3} - {(0.99)}^{3}}{2 \times0.01}\),大家可以暂停视频,用计算器算算结果,结果应该是3.0001,而当\(\theta =1\)时,\(g( \theta)=3\theta^{2} =3\),所以这两个\(g(\theta)\)值非常接近,逼近误差为0.0001,前面只考虑了单边公差,即从\(\theta\)到\(\theta +\varepsilon\)之间的误差,\(g( \theta)\)的值为3.0301,逼近误差是0.03,不是0.0001,所以使用双边误差的方法更逼近导数,其结果接近于3,现在更加确信,\(g( \theta)\)可能是\(f\)导数的正确实现,在梯度检验和反向传播中使用该方法时,最终,它与运行两次单边公差的速度一样,实际上,认为这种方法还是非常值得使用的,因为它的结果更准确。

这是一些可能比较熟悉的微积分的理论,如果不太明白讲的这些理论也没关系,导数的官方定义是针对值很小的\(\varepsilon\),导数的官方定义是\(f^{'}\theta) = \operatorname{}\frac{f( \theta + \varepsilon) -f(\theta -\varepsilon)}{2\varepsilon}\),这里有涉及到微积分的知识。

对于一个非零的\(\varepsilon\),它的逼近误差可以写成\(O(\varepsilon^{2})\),ε值非常小,如果\(\varepsilon=0.01\),\(\varepsilon^{2}=0.0001\),大写符号\(O\)的含义是指逼近误差其实是一些常量乘以\(\varepsilon^{2}\),但它的确是很准确的逼近误差,所以大写\(O\)的常量有时是1。然而,如果用另外一个公式逼近误差就是\(O(\varepsilon)\),当\(\varepsilon\)小于1时,实际上\(\varepsilon\)比\(\varepsilon^{2}\)大很多,所以这个公式近似值远没有左边公式的准确,所以在执行梯度检验时,使用双边误差,即\(\frac{f\left(\theta + \varepsilon \right) - f(\theta -\varepsilon)}{2\varepsilon}\),而不使用单边公差,因为它不够准确。

如果不理解上面两条结论,所有公式都在这儿,不用担心,如果对微积分和数值逼近有所了解,这些信息已经足够多了,重点是要记住,双边误差公式的结果更准确。

这篇讲了如何使用双边误差来判断别人给的函数\(g( \theta)\),是否正确实现了函数\(f\)的偏导,现在可以使用这个方法来检验反向传播是否得以正确实施,如果不正确,它可能有bug需要来解决。