文章目录
一 正则表达式匹配原理
1.1 正则表达式
正则表达式是对字符串操作的一种逻辑公式，就是用事先定义好的一些特定字符、及这些特定字符的组合，组成一个"规则字符串"，这个"规则字符串"用来表达对字符串的一种过滤逻辑。例如，筛选所有以包含连续三个0的0，1字符串的正则表达式为：
( 0 ∪ 1 ) ∗ 000 ( 0 ∪ 1 ) ∗ (0\cup 1)^000(0\cup 1)^(0∪1)∗000(0∪1)∗
1.2 DFA
DFA（Deterministic Finite State），确定有穷自动机，从一个状态通过一系列的事件转换到另一个状态。它的形式定义如下：
有穷自动机是一个5元组( Q , E , δ , q 0 , F ) (Q,E, \delta ,q_0,F)(Q,E,δ,q0,F)，其中：
- Q QQ是一个有穷集合，叫做状态集。
- E EE是一个有穷集合，叫做字母集。
- δ \deltaδ： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Q × Σ → Q Q\times \Sigma \rightarrow Q </math>Q×Σ→Q是转移函数。
- q 0 ∈ Q q_0 \in Qq0∈Q是起始状态。
- F ⊆ Q F \subseteq QF⊆Q是接受状态集。
举个例子，有一个有穷自动机G = ( Q , E , δ , q 0 , F ) G=(Q,E, \delta ,q_0,F)G=(Q,E,δ,q0,F)，其中：
Q = { q 1 , q 2 , q 3 , q 4 } Q = {q_1,q_2,q_3,q_4}Q={q1,q2,q3,q4}。 表示该自动机共有4个状态
E = { 0 , 1 } E={0,1}E={0,1}；表示该自动机只接收0，1字母
δ \deltaδ：
q 0 = q 1 q_0=q_1q0=q1；表示开始状态为q 1 q_1q1
F = { q 4 } F={q_4}F={q4}。表示结束状态有q 4 q_4q4;
我们可以根据该自动机画出下面这一个图，来形象的理解一下。
1.3 正则表达式和DFA的关系
正则表达式就是建立在自动机的理论基础上的：用户写完正则表达式之后，正则引擎会按照这个表达式构建相应的自动机，也就是说，一个正则表达式必定可以构建出与之对应的DFA，正则表达式与DFA之间的比例关系为1:n。
1.4 正则匹配过程
现在有字符串S 1 = 1010001 S1 = 1010001S1=1010001，计算机在判断它是否匹配正则表达式( 0 ∪ 1 ) ∗ 000 ( 0 ∪ 1 ) ∗ (0\cup 1)^000(0\cup 1)^(0∪1)∗000(0∪1)∗时，匹配的步骤如下：
| 开始状态 | 到达状态 | 输入字符 | 剩余字符串 | 是否接受 |
|---|---|---|---|---|
| q 1 q_1q1 | q 1 q_1q1 | 1 | 010001 | 否 |
| q 1 q_1q1 | q 2 q_2q2 | 0 | 10001 | 否 |
| q 2 q_2q2 | q 1 q_1q1 | 1 | 0001 | 否 |
| q 1 q_1q1 | q 2 q_2q2 | 0 | 001 | 否 |
| q 2 q_2q2 | q 3 q_3q3 | 0 | 01 | 否 |
| q 3 q_3q3 | q 4 q_4q4 | 0 | 1 | 否 |
| q 4 q_4q4 | q 4 q_4q4 | 1 | ε \varepsilonε | 是 |
判定一个字符串匹配某个正则表达式，即当所有字符串输入到自动机中，最终停留的状态为接受状态。
二 DFA的构建
例如，我们现在需要构建一个识别手机号码的自动机，我们需要先明白手机号码所有的限制规则，为了方便画图，我们这里假定所有的手机号码都是5位，那么所有的规则为：
-
5位，第一位一定是1。
-
第二位和第三位根据不同运营商的号码段有所区别，只有有限的组合是合法的手机号码。
- 手机号码第二位为3，第三位可以是任意数字。
- 手机号码第二位为5，第三位为0-3或7-9任意一个数字。
-
后2位可以是任意数字。
根据规则构建一个自动机的步骤如下：
- 先根据规则画出所有能够匹配成功的路径。如下：
- 自动机每一个状态对于不同的输入需要有明确的下一个状态，所以我们需要将下一个状态不确定的状态画出来。补全之后的图如下。
当然，构造DFA还有很多技巧，例如联结和取非等。
三 DFA与正则的转化
3.1 DFA转正则表达式
从一个DFA转化为一个正则表达式，我们需要知道下面三条构造规则：
除此之外，我们还需要知道，在转化为正则表达式时，我们只关心由开始到接受状态的所有路径。所以在自动机的图里面，除了自我闭环的路径，只有指向自己而没有指出的状态是无用状态，例如上面电话号码的例子中，q 8 q_8q8状态实际上是一个没用的状态。
根据以上三条规则的第一条，我们可以得到下面的自动机：
根据第二条规则，我们可以得到下面的自动机：
再根据第一条规则，我们可以得到下面的自动机：
所以，电话号码的正则表达式为：1 ( 3 [ 0 − 9 ] ∣ 5 [ 0 − 3 , 7 − 9 ] ) [ 0 − 9 ] [ 0 − 9 ] 1(3[0-9]\mid 5[0-3,7-9])[0-9][0-9]1(3[0−9]∣5[0−3,7−9])[0−9][0−9]。
当然，在转化过程中，最终的接受状态可能会有很多个，例如：
我们可以通过将这些终止节点都连接到一个同一个虚拟的终止节点，在进行状态合并。
3.2 正则表达式转DFA
正则表达式转DFA需要分为两步，首先，需要将正则表达式转化为NFA，再将NFA确定化。
NFA（Nondeterministic Finite Automaton），非确定有限状态自动机。它与DFA的区别是，一个状态接收某个字符串的下一个状态是不确定的，以及在状态转化中可以接收空字符串ε \varepsilonε。
3.2.1 正则表达式转NFA
从一个DFA转化为一个正则表达式，我们需要知道下面三条构造规则：
需要注意的是第三条规则有两个空串，我们可能会想能不能省略掉最后那个空边呢？答案是不行的，因为在某些情况下可能会有错误。
举个例子：正则表达式( a ∣ b ) ( c ∣ d ) ∗ ( e ∣ f ) (a\mid b)(c\mid d)^*(e\mid f)(a∣b)(c∣d)∗(e∣f)。将这个正则表达式转化为NFA。
根据第一条规则，我们可以得到如下的NFA：
根据第二、三条规则我们可以得到如下NFA：
3.2.2 NFA确定化
NFA的确定化：由NFA构造出与其等价的DFA称为NFA确定化。其算法如下：
已知 A : N F A A:NFAA:NFA， 构造A ' : D F A A':DFAA':DFA。
- 令A ' A'A'的初始状态为I 0 ' = ε _ C L O S U R E ( S 1 , S 2 , ... S k ) I_0'=ε_CLOSURE({S1,S2,...Sk})I0'=ε_CLOSURE(S1,S2,...Sk)，其中S 1 ... S k S1...SkS1...Sk是A AA的全部初始状态。
- 若I = S 1 , ... , S m I={S_1,...,S_m}I=S1,...,Sm是A ' A'A'的一个状态，a ∈ ∑ a∈∑a∈∑，则定义f ' ( I , a ) = I a f'(I, a)=I_af'(I,a)=Ia，将I a I_aIa加入S ' S'S'，重复该过程，直到S ' S'S'不产生新状态。
- 若I ' = S 1 , ... , S n I'={S_1,...,S_n}I'=S1,...,Sn是A ' A'A'的一个状态,且存在一个S i S_iSi是A AA的终止状态，则令I ' I'I'为A ' A'A'的终止状态。
举个例子：
这个NFA确定化的过程如下：
- NFA的初始状态是1，该状态可以接收一个空闭包ε到状态2。因此DFA的初始状态是 {1,2}
- 由上可知DFA的初始状态是 {1,2}，{1,2} 中的 1 接收输入字a可转换到 {4,5}，而 {4,5} 接收空闭包到状态 {6,7}，其中 6 还可以接收空闭包到状态 2。而 2 不能接收输入字 a。因此 {1,2} 接收输入字a可转换到 {2,4,5,6,7}。
- {1,2} 中的 1 不能接收输入字 b；2 接收输入字 b 到 状态3，状态 3 还可以接收空闭包到状态 8。因此 {1,2} 接收输入字b到状态 {3,8}。
- 进行如上三步后，DFA 中的状态有 {1,2}、{2,4,5,6,7}、{3,8}，其中 {1,2} 状态转换后的状态已经算完。
- 接下来，我们再看DFA的状态 {2,4,5,6,7}。该状态不能接收输入字a；该状态中的2状态接收 b 到达 3 状态，该 3 状态接收空闭包还可到达8状态。其中的 6 状态和 7 状态均可接收输入字b到达9状态。于是DFA的状态中多了一个状态{3,8,9}。
- 我们再看DFA中状态{3,8}。其中的状态8接收输入字a可以到达状态9；状态{3,8}不能接收输入字b。因此 DFA 的状态增加一个状态{9}。
- 再来看状态{3,8,9}，其中的状态8接收输入字a可以到达状态9；该状态不能接收输入字b。由于DFA中已经有状态{9}，不再重复加入 DFA 的状态。
- 最后只有一个状态 {9} 了，该状态不能接收任何输入字。
- 总结出DFA中有状态 {1,2}，{2,4,5,6,7}，{3,8}，{3,8,9}，{9}。其中包含有NFA的终止状态 6 7 9 中任意一个状态的状态是DFA的终止状态。
表格如下：
| 状态 \ 输入字 | a | b |
|---|---|---|
| +{1,2} | {2,4,5,6,7} | {3,8} |
| -{2,4,5,6,7} | {} | {3,8,9} |
| {3,8} | {9} | {} |
| -{3,8,9} | {9} | {} |
| -{9} | {} | {} |
最终转化出来的DFA如下：
四 js中的正则
上面讲到的手机号码的验证规则中，你会发现跟我们在代码中写的正则表达式有所不同，在js中，电话号码的正则表达式为：
∧ 1 ( 3 [ 0 − 9 ] ∣ 5 [ 0 − 3 , 5 − 9 ] ) ∖ d { 2 } \wedge 1(3[0-9]|5[0-3,5-9])\setminus d{2}∧1(3[0−9]∣5[0−3,5−9])∖d{2}$ （式1）
同样，下面这个正则表达式也能匹配到相同的结果：
∧ 1 ( 3 ∖ d { 3 } ∣ 5 [ 0 − 3 , 5 − 9 ] ∖ d { 2 } ) \wedge 1(3\setminus d{3}\mid 5[0-3,5-9]\setminus d{2})∧1(3∖d{3}∣5[0−3,5−9]∖d{2})$ （式2）
也就是说，我们同一个匹配需求，有多种不同的正则表达式都能达成。导致这种现象出现的主要原因是：自动机不一样。例如，电话号码的例子，我们绘制的自动机也有可能是这样的：
这个自动机对应的正则表达式即为式2。
上面式1的正则表达式跟我们前文讲的也有所不同，这是因为在不同语言中，对正则表达式又有不同的规则。比如：在真正的电话号码中，后8位为任意数字，那我们就需要写8次[ 0 − 9 ] [0-9][0−9]，这也太麻烦了，要是写100次呢。所以出现了∖ d { 8 } \setminus d{8}∖d{8}这个操作，表示任意数字重复8次。在不同语言中，引入了不同的修饰符、模式等定义，简化正则表达式的书写。js中，我们主要会用到以下定义：
| 符号 | 描述 |
|---------|-------------------------------|-----------------------|
| i | 执行对大小写不敏感的匹配。 |
| g | 执行全局匹配（查找所有匹配而非在找到第一个匹配后停止）。 |
| m | 执行多行匹配。 |
| [] | 查找方括号之间的任何字符。 |
| | | 查找任何从 0 至 9 的数字。查找任何以 |
| \d | 查找任何从 0 至 9 的数字。 |
| \s | 查找空白字符。 |
| \b | 匹配单词边界。 |
| \uxxxx | 查找以十六进制数 xxxx 规定的 Unicode 字符。 |
| n+ | 匹配任何包含至少一个 n 的字符串。 |
| n* | 匹配任何包含零个或多个 n 的字符串。 |
| n? | 匹配任何包含零个或一个 n 的字符串。 |