[几何算法]任意多边形求面积

求任意平面多边形的面积

通过鞋带定理，在已知多边形各顶点的情况下，可以快速计算出其面积

问题分析

设一个多边形顶点按逆时针或顺时针顺序为 $$ P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2), \ldots, P_n(x_n, y_n) $$，其中 $$ P_1 = P_{n+1} $$ （首尾相连形成闭合多边形）。根据鞋带定理，该多边形的面积 A 可以通过以下公式计算：

\[A = \frac{1}{2} |(x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + \cdots + (x_{n-1}y_n - y_{n-1}x_n) + (x_ny_1 - y_nx_1)| \]

进一步简化该公式可以得到：

\[A = \frac{1}{2} |(x_1+x_2)(y_1-y_2) + (x_2+x_3)(y_2-y_3) + \cdots + (x_{n-1}+x_n)(y_{n-1}-y_n) + (x_n+x_1)(y_n-y_1)| \]

该定理实质上是将多边形面积，转化为多个小三角形的面积之和，可以使用数学归纳法进行证明，具体不过多赘述。

代码实现

C#

public static double PolygonArea(point[] points)
{
    var cnt = points.Count;
    if (cnt < 3)
        return 0;

    double res = 0;
    for (int i = 0,j=cnt-1; i < cnt; i++) 
    {
        res += (points[j].X + points[i].X) * (points[j].Y - points[i].Y);
        j = i;
    }

    return Math.Abs(0.5*res);
}

拓展

计算任意平面的多边形

本代码计算结果为多边形所在平面平行于xoy平面时的，如需要其他平面的，可以通过变换矩阵，将原平面变换为xoy平面，再进行计算。

关于曲线

如果想要计算带曲线的多边形，可以通过离散化的方式，把曲线转化为多个顶点，然后进行计算，只要离散的精度比较高，几乎不存在误差。