[bzoj2120]数颜色/维护队列 (分块)

lty_ylzsx2024-03-16 16:08

数颜色/维护队列 [做题笔记]

此生第一道不贺题解\(AC\)的分块蓝题！！！

题目描述

墨墨@hs_mo购买了一套 \(N\) 支彩色画笔（其中有些颜色可能相同），摆成一排，你需要回答墨墨的提问。墨墨会向你发布如下指令：

  1. \(Q\ L\ R\) 代表询问你从第 \(L\) 支画笔到第 \(R\) 支画笔中共有几种不同颜色的画笔。

  2. \(R\ P\ C\) 把第 \(P\) 支画笔替换为颜色 \(C\)。

为了满足墨墨的要求，你知道你需要干什么了吗？

输入

6 5
1 2 3 4 5 5
Q 1 4
Q 2 6
R 1 2
Q 1 4
Q 2 6

输出

4
4
3
4

\(n,m \leq 10000\)

所有的输入数据中出现的所有整数均大于等于 \(1\) 且不超过 \(10^6\)。

一句话概括，给定序列 \(a\) ，要查询 \([l,r]\) 中共有多少个不一样的数，可以修改位置 \(x\) 的值。

做题历程 废话可忽略

学校\(OJ\)数据水，但是luogu ......

一开始想贺题解，全是带修莫队，正当我想要颓题解学莫队时，@xrlong跟我说分块可过，于是推了十几分钟，发现分块确实可做，虽然当时思路有很多纰漏，于是拍了好几\(w\)组数据，狂调一下午，终于擦着边在学校\(OJ\)过了，接着疯狂优化...... \(（time--;\)可读性\(--;）\)

最为难绷的是：

  1. 我把块长 \(len\) 开成 \(\sqrt{n}\) ，会 \(TLE\ \ 8,9,10\) 三个点；
  2. 我把块长 \(len\) 开成 \(n^{\frac{2}{3}}\) ，会 \(TLE\ \ 11,12,13\) 三个点；
  3. 于是我一怒之下怒了一下，把 \(len\) 开成 \(\frac{\sqrt{n}+n^{\frac{2}{3}}}{2}\)，也就是取个平均，然后就...... \(AC\)了。

然后就从@CuFeO4口中得知，某些可爱的出题人会卡块长，然后他把我的块长改成\(1000\)，它也过了......

上述皆为废话

思路分析

下面进入正题，我们要求区间内有几种不同的数，可以类比P4168蒲公英求区间众数，我们维护两个数组：

  • \(cnt[i][j]\) 表示前 \(i\) 块数 \(j\) 出现的次数 (类似于前缀和) ，于是可以 \(O(1)\) 查询两个块之间某个数出现过的次数。空间复杂度 \(O(M \times 10^6)\) ，他们说可过，但是我的码不行，于是一波去重，再用一个\(t\)数组，\(t[x]\) 表示数 \(x\) 映射的结果（这很显然是离散化）。然后空间就降到了 \(O(M \times N),M\) 是块的数量。
cpp 复制代码 
int t[MAXN],a[N],m;
void LSH()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)  a[i]=c[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    m=unique(a+1,a+n+1)-a-1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        t[a[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        c[i]=t[c[i]];
    //一般都是用lower_bound查找位置，但是1e6的数组我们开得起，干脆直接O(1)，加上后面会提到的一些原因，所以我们这样进行nb的离散化
    return;
}
  • \(spx[i][j]\) 表示第 \(i\) 到 \(j\) 块中不同的数的数量（这个还是挺好想的）。空间 \(O(M^2)\)。
  • \(vis[i]\) 记录数 \(i\) 被访问的状态，用于预处理和查询操作。空间 \(O(10^6)\)。

接下来是预处理。

  • 处理\(cnt\)
cpp 复制代码 
for(int i=1;i<=tot;++i)
{
    for(int j=L[i];j<=R[i];++j)
    {
        v[j]=i;//这相当于belong数组，个人马蜂
        cnt[i][c[j]]++;
    }
    for(int j=1;j<=m;++j)
        cnt[i][j]+=cnt[i-1][j];
}
  • 处理\(spx\)
cpp 复制代码 
#define getnum(A,B,C) (cnt[B][C]-cnt[A-1][C])//块A至块B中C的数量
for(int i=1;i<=tot;++i)
{
    for(int j=i;j<=tot;++j)
    {
        spx[i][j]=spx[i][j-1];
        for(int k=L[j];k<=R[j];++k)
        {
            if((!getnum(i,j-1,c[k]))&&(!vis[c[k]]))//这很好理解
            {
                vis[c[k]]=1;
                spx[i][j]++;
            }
        }
        for(int k=L[j];k<=R[j];++k)  vis[c[k]]=0;//O(len)清零
    }
}
  • 所以总的预处理
cpp 复制代码 
#define getnum(A,B,C) (cnt[B][C]-cnt[A-1][C])
int c[N],v[N],L[M],R[M],tot,len;
int cnt[M][N],spx[M][M];
void init()
{
    LSH();
    len=1000;//为啥是这个nb的块长，废话中已提到。。。
    //len=(sqrt(n)+pow(n,2.0/3))/2;
    // len=sqrt(n);
    // len=pow(n,2.0/3);
    tot=(n-1)/len+1;
    for(int i=1;i<=tot;++i)
    {
        L[i]=R[i-1]+1;
        R[i]=L[i]+len-1;
    }
    R[tot]=n;
    for(int i=1;i<=tot;++i)
    {
        for(int j=L[i];j<=R[i];++j)
        {
            v[j]=i;
            cnt[i][c[j]]++;
        }
        for(int j=1;j<=m;++j)
            cnt[i][j]+=cnt[i-1][j];
    }
    for(int i=1;i<=tot;++i)
    {
        for(int j=i;j<=tot;++j)
        {
            spx[i][j]=spx[i][j-1];
            for(int k=L[j];k<=R[j];k++)
            {
                if((!getnum(i,j-1,c[k]))&&(!vis[c[k]]))
                {
                    vis[c[k]]=1;
                    spx[i][j]++;
                }
            }
            for(int k=L[j];k<=R[j];k++)  vis[c[k]]=0;
        }
    }
}

重头戏来喽！单点修改，将位置 \(x\) 改为 \(k\)

首先肯定要将 \(k\) 离散化，但是------原序列里不一定有 \(k\) ,此乃本题坑人之处。因此我们上文的离散化方法就很香了。

cpp 复制代码 
if(!t[k])//k没有出现过
    t[k]=++m;//k离散化为m+1
k=t[k];

下一步，修改 \(spx\) 数组，这是精髓。

如图设要修改的 \(x\) 所在块为 \(vx\) ，如果存在：

  1. \(getnum(i,j,k)=0,i \leq vx \leq j \leq tot\) ，显然此时\(i,j\)中没有 \(k\) ,则 \(spx[i][j]++\)
  2. 修改前原数为 \(cx\) ，当 \(getnum(i,j,cx)=1,i \leq vx \leq j \leq tot\) 时，显然此时 \(i,j\)中删去 \(cx\) 就没有了，则 \(spx[i][j]--\)

很好想吧？这是我的 优化.max.plus

cpp 复制代码 
int vx=v[x],cx=c[x];
c[x]=k;
if(!getnum(vx,vx,k))
    for(int i=vx;i>=1;--i)
        for(int j=vx;j<=tot;++j)
        {
            if(getnum(i,j,k))  break;
            spx[i][j]++;
        }
if(getnum(vx,vx,cx)==1)
    for(int i=vx;i>=1;--i)
        for(int j=vx;j<=tot;++j)
        {
            if(getnum(i,j,cx)!=1)  break;
            spx[i][j]--;
        }

最后改一下 \(cnt\) 就好了

cpp 复制代码 
for(int i=vx;i<=tot;i++)
    cnt[i][k]++,cnt[i][cx]--;
  • 最终的 \(modify()\)
cpp 复制代码 
void modify(int x,int k)
{
    if(!t[k])    t[k]=++m;
    k=t[k];
    if(c[x]==k)  return;
    int vx=v[x],cx=c[x];
    c[x]=k;
    if(!getnum(vx,vx,k))
    {
        for(int i=vx;i>=1;--i)
        {
            for(int j=vx;j<=tot;j++)
            {
                if(getnum(i,j,k))  break;
                spx[i][j]++;
            }
        }
    }  
    if(getnum(vx,vx,cx)==1)
    {
        for(int i=vx;i>=1;--i)
        {
            for(int j=vx;j<=tot;j++)
            {
                if(getnum(i,j,cx)!=1)  break;
                spx[i][j]--;
            }
        } 
    }
    for(int i=vx;i<=tot;i++)
        cnt[i][k]++,cnt[i][cx]--;

然后就是很水的 \(query()\)

cpp 复制代码 
int query(int l,int r)
{
    int res=0;
    int vl=v[l],vr=v[r];
    if(vr-vl<=1){
        for(int i=l;i<=r;i++)
            if(!vis[c[i]])
                res++,vis[c[i]]=1;
        for(int i=l;i<=r;i++)  vis[c[i]]=0;
        return res;
    }
    res=spx[vl+1][vr-1];
    for(int i=l;i<=R[vl];i++)
        if((!getnum(vl+1,vr-1,c[i])) && (!vis[c[i]]))
            res++,vis[c[i]]=1;
    for(int i=r;i>=L[vr];--i)
        if((!getnum(vl+1,vr-1,c[i])) && (!vis[c[i]]))
            res++,vis[c[i]]=1;
    for(int i=l;i<=R[vl];i++)  vis[c[i]]=0;
    for(int i=L[vr];i<=r;i++)  vis[c[i]]=0;
    return res;
}

最后吐槽一下，洛谷数据真的麻，本题轻微卡常(谷上卡常严重，对分块做法及其不友好)

\(AC \ \ code\)

具体注释见上文

cpp 复制代码 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define getnum(A,B,C) (cnt[B][C]-cnt[A-1][C])
const int MAXN=1e6+10;
#define N 200000
#define M 1100
#define read read()
#define pt puts("")
inline int read
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')  f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')   x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
void write(int x)
{
    if(x<0)  putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)  write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return;
}
int n,T;
int c[N],v[N],L[M],R[M],tot,len;
int cnt[M][N],spx[M][M];
int t[MAXN],a[N],m;
bool vis[N];

void LSH()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)  a[i]=c[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    m=unique(a+1,a+n+1)-a-1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        t[a[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        c[i]=t[c[i]];
    return;
}

void init()
{
    LSH();
    len=1000;
    //len=(sqrt(n)+pow(n,2.0/3))/2;
    // len=sqrt(n);
    // len=pow(n,2.0/3);
    tot=(n-1)/len+1;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        L[i]=R[i-1]+1;
        R[i]=L[i]+len-1;
    }
    R[tot]=n;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        for(int j=L[i];j<=R[i];j++)
        {
            v[j]=i;
            cnt[i][c[j]]++;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cnt[i][j]+=cnt[i-1][j];
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        for(int j=i;j<=tot;j++)
        {
            spx[i][j]=spx[i][j-1];
            for(int k=L[j];k<=R[j];k++)
            {
                if(cnt[j-1][c[k]]-cnt[i-1][c[k]]==0&&vis[c[k]]==0)
                {
                    vis[c[k]]=1;
                    spx[i][j]++;
                }
            }
            for(int k=L[j];k<=R[j];k++)  vis[c[k]]=0;
        }
    }
}

void modify(int x,int k)
{
    if(!t[k])    t[k]=++m;
    k=t[k];
    if(c[x]==k)  return;
    int vx=v[x],cx=c[x];
    c[x]=k;
    if(!getnum(vx,vx,k))
    {
        for(int i=vx;i>=1;--i)
        {
            for(int j=vx;j<=tot;j++)
            {
                if(getnum(i,j,k))  break;
                spx[i][j]++;
            }
        }
    }  
    if(getnum(vx,vx,cx)==1)
    {
        for(int i=vx;i>=1;--i)
        {
            for(int j=vx;j<=tot;j++)
            {
                if(getnum(i,j,cx)!=1)  break;
                spx[i][j]--;
            }
        } 
    }
    for(int i=vx;i<=tot;i++)
        cnt[i][k]++,cnt[i][cx]--;
}

int query(int l,int r)
{
    int res=0;
    int vl=v[l],vr=v[r];
    if(vr-vl<=1){
        for(int i=l;i<=r;i++)
            if(!vis[c[i]])
                res++,vis[c[i]]=1;
        for(int i=l;i<=r;i++)  vis[c[i]]=0;
        return res;
    }
    res=spx[vl+1][vr-1];
    for(int i=l;i<=R[vl];i++)
        if((!getnum(vl+1,vr-1,c[i])) && (!vis[c[i]]))
            res++,vis[c[i]]=1;
    for(int i=r;i>=L[vr];--i)
        if((!getnum(vl+1,vr-1,c[i])) && (!vis[c[i]]))
            res++,vis[c[i]]=1;
    for(int i=l;i<=R[vl];i++)  vis[c[i]]=0;
    for(int i=L[vr];i<=r;i++)  vis[c[i]]=0;
    return res;
}

signed main()
{
    n=read,T=read;
    for(int i=1;i<=n;i++)  c[i]=read;
    init();
    char op;int x,y;
    while(T--)
    {
        cin>>op;x=read,y=read;
        if(op=='Q')
            write(query(x,y)),pt;
        else
            modify(x,y);
    }
    return 0;
}

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