软件设计师27--规范化理论
考点1：规范化理论基本概念
函数依赖
设R(U)是属性U上的一个关系模式，X和Y是U的子集，r为R的任一关系，如果对于r中的任意两个元组u，v，只要有u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X，记为X->Y。
关系模式：R（A,B,C）
依赖集1：{AB->C,A->C}
部分函数依赖：A可以确定C，（A,B）也可以确定C。（A,B）中的一部分（即A）可以确定C，称为部分函数依赖。
依赖集2：{A->B,B->C}
传递函数依赖：当A和B不等价时，A可确定B，B可确定C，则A可以确定C，是传递函数依赖
由：A->B,B->C，可得出A->C。此为传递函数依赖
规范化理论--Amstrong公理体系
关系模式R<U,F>来说有以下的推理规则：
A1.自反律（Reflexivity）:若Y⊂ X⊂ U，则X→Y成立。
A2.增广律(Augmentation):若Z⊂ U且X→Y，则XZ→YZ成立。
A3.传递律(Transitivity):若X→Y且Y→Z，则X→Z成立。
根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则:
合并规则:由X→Y，X→Z，有X→YZ。(A2，A3)
伪传递规则:由X→Y，WY→Z，有XW→Z。(A2，A3)
分解规则:由X→Y及Z⊂ Y，有X→Z。(A1，A3)
候选键
候选键：唯一标识元组，且无冗余，任选一个为主键
外键：其他关系的主键
例1：给定关系R（A1、A2、A3）上的函数依赖集F={A1->A2,A3->A2,A2->A3,A2->A4},R的候选键关键字为(A）。
A、A1
B、A1A3
C、A1A3A4
D、A1A2A3
例2：关系模式P（A、B、C、D、E、F、G、H、I、J）满足下列函数依赖：FD={ABD->E,AB->G,B->F,C->J,CJ->I,G->H},求候选码？。
（ABCD）
例3：关系R（A、B、C）满足下列函数依赖：F={B->C,B->A,A->BC}，关系R的候选关键字为(B）。
A、若X→Y，X→Z，则X->YZ为F所蕴涵
B、若X→Y，WY→Z，则XW→Z为F所蕴涵
C、若X->Y，Y->Z为F所蕴涵，则X->Z为F所蕴涵
D、若X->Y为F所蕴涵，且Z∈U，则XZ->YZ为F所蕴涵
主属性与非主属性
定义：组成候选码的属性就是主属性，其他的就是非主属性。
例：关系模式CSZ（CITY,ST,ZIP），其属性组上的函数依赖集为：F={（CITY,ST）->ZIP,ZIP->CITY}，其中CITY表示城市，ST表示街道，ZIP表示邮政编码。
候选键为：（ST,CITY）,(ST,ZIP)
主属性为：CITY,ST,ZIP
例题：
1、若给定的关系模式为R，U={A,B,C}，F={AB->C,C->B},则关系R(B）。
A、有2个候选关键字AC和BC，并且有3个主属性
B、有2个候选关键字AC和AB，并且有3个主属性
C、只有一个候选关键字AC，并且有1个非主属性和2个主属性
D、只有一个候选关键字AB，并且有1个非主属性和2个主属性
2、给定关系模式R（U,F），其中：U为关系模式R中的属性集，F是U上的一组函数依赖。假设U=[A1,A2,A3,A4]，F={A1->A2,A1A2->A3,A1->A4,A2->A4}，那么关系R的主键应为(A）。函数依赖集F中的(C）是冗余的。
A、A1
B、A1A2
C、A1A3
D、A1A2A3
A、A1->A2
B、A1A2->A3
C、A1->A4
D、A2->A4
3、给定关系模式R<U,F>,其中U为属性集，F是U上的一组函数依赖，那么Armstrong公理系统的伪传递律是指(B）。
A、A1
B、A1A2
C、A1A3
D、A1A2A3
考点2：范式判断
规范化理论
关系模式R（学生姓名，选修课程名，任课教师名，任课教师地址）
| 学生姓名 | 选修课程名 | 任课教师名 | 任课教师地址 |
|---|---|---|---|
| 张三 | 数学 | 王一新 | 五一路107号 |
| 李四 | 数学 | 王一新 | 五一路107号 |
| 王五 | 数学 | 王一新 | 五一路107号 |
| 赵六 | 数学 | 王一新 | 五一路107号 |
| ...... | ...... | ...... | ...... |
关系模式R存在问题：
- 数据冗余
- 修改异常
- 插入异常
- 删除异常
规范化理论 - 范式
第一范式（1NF）：在关系模式R中，当且仅当所有域只包含原子值，即每个属性都是不可再分的数据项，则称关系模式R是第一范式。
思考题：关系模式R（系名称，高级职称人数）是否满足1NF，如果不满足，应如何调整？
|------|----|-----|
| 系名称 | 高级职称人数 ||
| 系名称 | 教授 | 副教授 |
| 计算机系 | 6 | 10 |
| 电子系 | 3 | 5 |
调整为：系名称，教授人数，副教授人数，高级职称总人数
第二范式（2NF）：当且仅当关系模式R是第一范式（1NF），且每一个非主属性完全依赖候选键（没有不完全依赖）时，则称关系模式R是第二范式。
思考题：关系模式SC（学号，课程号，成绩，学分），其中：（学号，课程号）->成绩，课程号->学分，会存在那些问题（从数据冗余、更新异常、插入异常、删除异常这几个方面来考虑），解决方案是什么？
解析：
- 找候选键（学号，课程号）
- 找非主属性（成绩，学分）
调整为：（课程，学分）、（学号，课程号，成绩）
第三范式（3NF）：当且仅当关系模式R是第二范式（2NF），且R中没有非主属性传递依赖于候选键时，则称关系模式R是第三范式。
思考题：学生关系（学号，姓名，系号，系名，系位置）各属性分别代表学号，姓名，所在系号，系名称，系地址。思考该关系模式会存在哪些问题（从数据冗余、更新异常、插入异常、删除异常这几个方面来考虑），解决方案是什么？
解析：
- 找候选键（学号）
- 找非主属性
- 2NF
- 3NF
调整为：（系号，系名，系位置）、（学号，姓名，学号）
BC范式（BCNF）：设R是一个关系模式，F是它的依赖集，R属于BCNF当且仅当其F中每个依赖的决定因素必定包含R的某个候选码。
例：关系模式STJ（S,T,J）中，S表示学生，T表示老师，J表示课程。每一老师只教一门课程。每门课程有若干老师，某一学生选定某门课程，就对应一个固定老师。
T->J
SJ->T
- 候选键 SJ,ST
- 非主属性 没有
- 2NF 满足
- 3NF 满足
1NF ⊇ 2NF ⊇ 3NF ⊇ BCNF
| 范式 | 属性不可再分 | 非主属性部分函数依赖于候选键 | 非主属性传递函数依赖于候选键 | 函数依赖左侧决定因素包含候选键 |
|---|---|---|---|---|
| 1NF | √ | 存在 | ||
| 2NF | √ | 不存在 | 存在 | |
| 3NF | √ | 不存在 | 不存在 | 不满足 |
| BCNF | √ | 不存在 | 不存在 | 满足 |
例题：
1、某公司数据库中的元件关系模式为P(元件号，元件名称，供应商，供应商所在地，库存量)，函数依赖集F如下所示:F={元件号→元件名称，(元件号，供应商)→库存量，供应商→供应商所在地}
元件关系的主键为(B)，该关系存在冗余以及插入异常和删除异常等问题。为了解决这一问题需要将元件关系分解(C)，分解后的关系模式可以达到(C)。
A、元件号，元件名称
B、元件号，供应商
C、元件号，供应商所在地
D、供应商，供应商所在地
A、元件1(元件号，元件名称，库存量)、元件2(供应商，供应商所在地)
B、元件1(元件号，元件名称)、元件2(供应商，供应商所在地，库存量)
C、元件1(元件号，元件名称)、元件2(元件号，供应商，库存量)、元件3(供
应商，供应商所在地)
D、 元件1(元件号，元件名称)、元件2(元件号，库存量)、元件3(供应商，供应商所在地)、元件4(供应商所在地，库存量)
A、1NF
B、2NF
C、3NF
D、4NF
考点3：范式分解
保持函数依赖分解
设数据库模式ρ={R1,R2,...,Rk}是关系模式R的一个分解，F是R上的函数依赖集，ρ中每个模式Ri上的FD集是Fi。如果{F1，F2，...，Fk}与F是等价的（即相互逻辑蕴涵），那么称分解ρ保持FD。
例：设关系模式R（U,F），其中U={A,B,C,D,E}，F={A->BC,C->D,BC->E,E->A}，则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）}是否保持函数依赖？而分解ρ={R1（ABE），R2（CD）}是否保持函数依赖？
R1（ABCE） F~1~={A->BC,BC->E,E->A}
R2（CD） F~2~={C->D}
分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）}保持函数依赖
分解ρ={R1（ABE），R2（CD）}不保持函数依赖
例：设关系模式R（U,F），其中U={A,B,C},F={A->B,B->C,A->C},则分解ρ={R1（AB），R2（BC）}，是否保持函数依赖？
R1（AB）F~1~={A->B}
R2（BC）F~2~={B->C}
F^'^={A->B,B->C => A->C}
解ρ={R1（AB），R2（BC）}，保持函数依赖
无损分解
什么是有损，什么又是无损？
有损：不能还原
无损：可以还原
无损连接分解：指将一个关系模式分解成若干各关系模式后，通过自然连接等运算仍能还原到原来的关系模式
思考题：
有关系模式：成绩（学号，姓名，课程号，课程名，分数）
函数依赖：学号->姓名，课程号->课程名，（学号，课程号）->分数
若将其分解为：
成绩（学号，课程号，分数）
学生（学号，姓名）
课程（课程号，课程名）
请思考该分解是否为无损分解？
由于有：学号->姓名，所以：
成绩（学号，课程号，分数，姓名）
由于有：课程号->课程名，所以：
成绩（学号，课程号，分数，姓名，课程名）
模式分解-表格法
将一个具有函数依赖：学号->姓名，课程号->课程名，（学号，课程号）->分数的关系模式：成绩（学号，姓名，课程号，课程名，分数），分解为：成绩（学号，课程号，分数）；学生（学号，姓名）；课程（课程号，课程名）。
初始表如下：
根据学号->姓名，对上表进行处理，将第一行第二行属性改成符号√￣；然后考虑课程号->课程名，将第一行第四行属性改成符号√￣，得下表：
从上图中可以看出，第一行已全部为√￣，因此本次R分解是无损连接分解。
例：设R=ABC，F={A->B},则分解ρ~1~={R~1~(AB)，R~2~(AC)}与分解ρ~2~={R~1~（AB），R~3~（BC）}是否都为无损分解？
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| R~1~(AB) | √ | √ | × |
| R~2~(AC) | √ | × | √ |
分解ρ~1~={R~1~(AB)，R~2~(AC)}保持函数依赖，并且无损分解
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| R~1~(AB) | √ | √ | × |
| R~3~(BC) | × | √ | √ |
分解ρ~2~={R~1~（AB），R~3~（BC）}保持函数依赖，有损分解
无损分解 - 公式法
定理：如果R的分解为ρ={R~1~,R~2~}，F为R所满足的函数依赖集合，分解ρ具有无损连接性的充分必要条件是：
R~1~∩R~2~->（R~1~-R~2~）或 R~1~∩R~2~->（R~2~-R~1~）
其中，R~1~∩R~2~表示模式的交，为R~1~与R~2~中公共属性组成，R~1~-R~2~或R~2~-R~1~表示模式的差集，R~1~-R~2~表示R~1~中去除R~1~和R~2~的公共属性所组成。当模式R分解成两个关系模式R~1~和R~2~时，如果R~1~与R~2~的公共属性能函数决定R~1~中或R~2~中的其他属性，这样的分解就具有无损连接性。
例：设R=ABC,F={A->B}，则分解ρ~1~={R~1~(AB),R~2~(AC)}与分解ρ~2~={R~1~(AB),R~3~(BC)}是否都为无损分解？
R~1~∩R~2~=A
R~1~-R~2~=B
R~2~-R~1~=C
ρ~1~={R~1~(AB),R~2~(AC)}为无损分解
R~1~∩R~3~=B
R~1~-R~3~=A
R~3~-R~1~=C
ρ~2~={R~1~(AB),R~3~(BC)}为有损分解
例题：
1、设关系模式R（U,F），其中：U={A，B，C，D，E}，F={A->B,DE->B,CB->E,E->A,B->D}。(D）为关系模式R的候选关键字。分解(D）是无损连接，并保持函数依赖的。
A、AB
B、DE
C、DB
D、CE
A、ρ={R~1~(AC),R~2~(ED),R~3~(B)}
B、ρ={R~1~(AC),R~2~(E),R~3~(DB)}
C、ρ={R~1~(AC),R~2~(ED),R~3~(AB)}
D、ρ={R~1~(ABC),R~2~(ED),R~3~(ACE)}
A选项表格法为：
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| R~1~(AC) | √ | × | √ | × | × |
| R~2~(ED) | × | × | × | √ | √ |
| R~3~(B) | × | √ | × | × | × |
C选项表格法为：
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| R~1~(AC) | √ | × | √ | × | × |
| R~2~(ED) | × | × | × | √ | √ |
| R~3~(AB) | √ | √ | × | × | × |
D选项表格法为：
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| R~1~(ABC) | √ | √ | √ | × | × |
| R~2~(ED) | × | × | × | √ | √ |
| R~3~(ACE) | √ | × | √ | × | √ |
选项A不保持函数依赖，有损
选项B不保持函数依赖，有损
选项C不保持函数依赖，有损
选项D不保持函数依赖，无损
注：选项D并不完全正确，如果选项中没有正确答案的话，要选择最接近的答案