数据结构——二叉树

一、树

树是一种非线性的数据结构，它是由n个有限节点组成一个具有层次关系的集合。它是根朝上，叶朝下的。

根节点：根节点就是起始点（root），没有前驱节点

除根节点以外，每个节点被分成一棵结构与树类似的子树，每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0或多个后继。

树具有的一些性质（区别树与非树）

1.子树是不相交的。

2.除根节点以外，每个节点有且只有一个父节点。

3.一颗N个节点的树有N-1条边，即通过N-1条边将N个节点相连，不出现某个节点连多次形成环。

以一个简单的树为例：

相关概念：

节点的度 ：一个节点含有的子树个数，图例中的根节点1的度为2

叶节点(叶子节点)：度为0的节点（没有子树的节点），图例中4 8 9 7

父节点与子节点：若一个节点含有子节点，那么该节点就是子节点的父节点。

非终端节点（分支节点）：度大于0的节点

树的度：树内各节点的度的最大值

节点的层次：从根开始定义其，根节点为第一层，根的子节点为第二次，类推......

树的高度（或深度）：树中节点的最大层次

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点例如节点4的祖先是节点1 2

森林：由 m 棵互不相交的树的集合称为森林

2.树的表示

树的存储比较麻烦，并且涉及到可能含有多个子节点，通常采用孩子兄弟表示法

复制代码

typedef int DataType;
struct Node
 {
      struct Node* firstChild; 
      struct Node* pNextBrother; 
      DataType data; 
 };

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵子树（左子树和右子树）的二叉树组成。

特点：每个节点最多有2个子节点

二叉树的子树的顺序不能颠倒

①.满二叉树：一个二叉树，每一层的节点数都达到 2^(n-1) （n为层数即每层节点数达到最大值），此时总节点数为 2^k-1 （k为树的深度）。

②.完全二叉树

二叉树的深度为 h，除第 h 层外，其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

①顺序存储

顺序存储就是用数组来存储，但是顺序存储更适用于完全二叉树，不是完全二叉树会存在空间的浪费，而通常只有堆（一个完全二叉树）才会用数组存储。

②链式存储

链式存储是指运用链表存储 ，用链来表示元素间的关系。链表中每个节点由三个域组成（数据域，左右指针域），左右指针域表示该节点的左右子节点所在链节点的存储地址。另外，还可以由四个域组成，多一个父节点域，存储其父节点所在的地址。

复制代码

typedef struct tree{
	struct tree *left; // 存左子节点
	struct tree *rigth;// 存右子节点
	int data; // 数据域
}tree;

①若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层最多有 2^(i-1)个节点

②深度为 h 的二叉树的最大节点数是 2^h-1

③对任何一棵二叉树，如果叶子节点的个数为n1，度为2的分支节点为n2 则有n2=n1+1

④具有n个节点的满二叉树，其深度为h=log2(n+1)。