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电机控制专题(一)------最大转矩电流比MTPA笔记
理论推导部分
记转矩角（电流矢量与d轴夹角）为 γ \gamma γ，则dq轴电流可以表示如下：
i d = I s c o s γ i_d=I_s cos\gamma id=Iscosγ (1)
i q = I s s i n γ i_q=I_s sin\gamma iq=Issinγ (2)
其中 I s I_s Is为定子电流幅值。
dq轴下PMSM的转矩方程为：
T e = 3 2 p n i q ψ + ( L d − L q ) i d i q T_e = \frac{3}{2}p_ni_q\psi+(L_d-L_q)i_di_q Te=23pniqψ+(Ld−Lq)idiq(3)
其中 p n p_n pn为极对数， ψ \psi ψ为永磁体磁链， L d , L q L_d,L_q Ld,Lq为分别为dq轴的电感
将式(1)(2)代入式(3)并化简可得
T e = 3 2 p n I s ψ s i n γ + 3 4 p n I s 2 ( L d − L q ) s i n 2 γ T_e=\frac{3}{2}p_nI_s\psi sin\gamma + \frac{3}{4}p_nI_s^2(L_d-L_q)sin2\gamma Te=23pnIsψsinγ+43pnIs2(Ld−Lq)sin2γ (4)
MTPA可以从两个角度理解
- 最小的电流产生最大的电磁转矩
- 同等大小的定子电流产生最大的电磁转矩
因此从第二个角度理解MTPA，就变成了求(4)式的在 I s I_s Is恒定，以转矩角 γ \gamma γ为变量的极值问题。
对(4)式求偏导并另其等于0，化简可得：
∂ T e ∂ γ = 2 I s ( L d − L q ) c o s 2 γ + ψ c o s γ − I s ( L d − L q ) = 0 \frac{\partial T_e}{\partial \gamma}=2I_s(L_d-L_q)cos^2\gamma +\psi cos\gamma -I_s(L_d-L_q)=0 ∂γ∂Te=2Is(Ld−Lq)cos2γ+ψcosγ−Is(Ld−Lq)=0 (5)
(5)式是一个一元二次方程，利用求根公式可解得
c o s γ 1 = − ψ + ψ 2 + 8 I s 2 ( L d − L q ) 4 I s ( L d − L q ) , c o s γ 2 = − ψ − ψ 2 + 8 I s 2 ( L d − L q ) 4 I s ( L d − L q ) cos \gamma_1 = \frac{-\psi + \sqrt{\psi^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4I_s(L_d-L_q)} ,cos \gamma_2 = \frac{-\psi -\sqrt{\psi^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4I_s(L_d-L_q)} cosγ1=4Is(Ld−Lq)−ψ+ψ2+8Is2(Ld−Lq) ,cosγ2=4Is(Ld−Lq)−ψ−ψ2+8Is2(Ld−Lq) (6)
求解得到的两个转矩角究竟哪一个是我们想要的呢？
容易注意到 ψ < ψ 2 + 8 I s 2 ( L d − L q ) 2 \psi < \sqrt{\psi^2+8I_s^2(L_d-L_q)^2} ψ<ψ2+8Is2(Ld−Lq)2 ，且绝大多数的IPMSM的d轴电感小于q轴电感。因此 c o s γ 1 < 0 , c o s γ 2 > 0 cos\gamma_1<0,cos\gamma_2>0 cosγ1<0,cosγ2>0。
MTPA就是要利用电机的凸极效应，合理分配定子电流一部分作为 i d i_d id，另一部分作为 i q i_q iq， i d i_d id可以用于产生磁阻转矩（电磁转矩式3等式右边的第二项）。因此d轴电流只能是负的。
那么由式(1)可知 c o s γ < 0 cos \gamma<0 cosγ<0。
因此真正能实现MTPA的转矩角为
γ = a r c c o s ( − ψ + ψ 2 + 8 I s 2 ( L d − L q ) 4 I s ( L d − L q ) ) \gamma =arccos( \frac{-\psi +\sqrt{\psi^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4I_s(L_d-L_q)}) γ=arccos(4Is(Ld−Lq)−ψ+ψ2+8Is2(Ld−Lq) ) (7)
此时的d轴电流和q轴电流可计算得
i d = I s c o s γ = − ψ + ψ 2 + 8 I s 2 ( L d − L q ) 4 ( L d − L q ) i_d = I_scos\gamma = \frac{-\psi +\sqrt{\psi^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4(L_d-L_q)} id=Iscosγ=4(Ld−Lq)−ψ+ψ2+8Is2(Ld−Lq)
i q = I s 2 − i d 2 i_q=\sqrt{I_s^2-i_d^2} iq=Is2−id2
值得一提的是，转速环的输出应当是转矩指令值，而转矩和电流存在一定的线性关系，因此可以直接作为电流指令值。最简单的矢量控制 i 0 ≡ 0 i_0 \equiv0 i0≡0中，转速环的输出直接作为q轴电流的指令值；而在MTPA中，转速环输出的转矩指令值，应当由整个全部的定子电流来提供，即转速环的输出为定子电流幅值指令值。