区间第k小值
主席树是解决动态查找序列上[l,r]区间中的第k小值的一个数据结构
核心思想:动态开点（后面会讲）
传统线段树都是值域线段树
其实意思就是每个节点都存的是序列上[l,r]的一个区间和，但是考虑我们需要动态处理区间的不是最值，故换一种线段树
主席树一般用的是权值线段树
就是把[l,r]改为[min(a),max(a)] a是序列A在[l,r]区间里的一个子序列，每个节点下都保存一个统计数字s,代表在当前权值域里，有多少个数字
array : 1 4 3 3
[1,4]
s = 4
[1,2] [3,4]
s = 1 s = 3
[1,1] [2,2] [3,3] [4,4]
s = 1 s = 0 s = 2 s = 1(不会画图QWQ)
步入正题
我们转换思想，每一次开点都存储一个版本的权值线段树，但是这样会让空间复杂度直线上升为O(n^2)，这是不能容忍的
但是我们再想
这是一颗树性结构，我们每一次加点都只会改变上下log n个点的数据，为什么我们就不能每一次都开一个log n的新点，将与这次更改无关的点直接开一条新边连接到新点呢？
不能像上一个那样形似了，我直接盗图
这是第一个版本在insert(4)后的结果
每一次insert 都存储一个root[i+1] ，表示第i+1个版本的根节点
但是如何查询[l,r]区间内的第k小数呢
这时候就要运用我们前缀和的思想
[l,r]的信息 = [1,r]的信息 - [1,l-1]的信息
即 S[l,r] = S[1,r] - S[1,l-1]
离散化
这个其实没什么好讲的，就是预处理，详情见代码
大概意思是懂了吧，来，让我们步入总结
常规操作
1.插入insert()，动态开点
2.查询[l,r]区间内第k小值
3.离散化
时间复杂度 O(n log^2 n)
luogu P3834
C++ 代码
1 #include"bits/stdc++.h"
2
3 using namespace std;
4 const int N=200010;
5 #define inl inline
6 #define reg register
7 #define regi register int
8 #define PII pair<int,int>
9 //#define ll long long
10 inl int read(void)
11 {
12 int x=0,f=1;char ch=getchar();
13 while(!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
14 while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
15 return x*f;
16 }
17 int a[N],n,m;
18 vector<int> num;
19 struct node
20 {
21 int l,r,s;//左右儿子下标，区间中一共有多少个数
22 }tr[N*20];
23 int root[N],idx;//root[i]为第i课线段树的节点编号
24 #define id(x) lower_bound(num.begin(),num.end(),x)-num.begin()
25 //id(x)为映射
26 int build(int l,int r)
27 {
28 int p=++idx;
29 if(l==r) return p;
30 int mid=l+r>>1;
31 tr[p].l=build(l,mid),tr[p].r=build(mid+1,r);
32 return p;//返回当前节点的编号
33 }
34 inl int insert(int p,int l,int r,int x)
35 {
36 int q=++idx;//创建新点q
37 tr[q]=tr[p];//复制旧点p
38 if(l==r)
39 {
40 tr[q].s++;
41 return q;
42 }
43 int mid=l+r>>1;
44 if(x<=mid) tr[q].l=insert(tr[p].l,l,mid,x);//x出现在左子树，修改左子树
45 else tr[q].r=insert(tr[p].r,mid+1,r,x);//x出现在右子树，修改右子树
46 tr[q].s=tr[tr[q].l].s+tr[tr[q].r].s;//统计
47 return q;//返回当前分配使用的新节点编号
48 }
49 inl int query(int q,int p,int l,int r,int k)//查询区间
50 {
51 if(l==r) return l;
52 int s=tr[tr[q].l].s-tr[tr[p].l].s;//线段树相减
53 int mid=l+r>>1;
54 if(k<=s) return query(tr[q].l,tr[p].l,l,mid,k);//左儿子数字大于或等于k时，说明第k小数在右子树
55 return query(tr[q].r,tr[p].r,mid+1,r,k-s);//否则在左子树
56 }
57 void init()
58 {
59 //离散化
60 sort(num.begin(),num.end());
61 num.erase(unique(num.begin(),num.end()),num.end());
62 root[0]=build(0,num.size()-1);
63
64 }
65 int main(void)
66 {
67 n=read(),m=read();
68 for(regi i=1;i<=n;i++)
69 {
70 a[i]=read();
71 num.push_back(a[i]);
72 }
73 init();
74 for(regi i=1;i<=n;i++) root[i]=insert(root[i-1],0,num.size()-1,id(a[i]));
75 while(m--)
76 {
77 int l=read(),r=read(),k=read();
78 printf("%d\n",num[query(root[r],root[l-1],0,num.size()-1,k)]);
79 }
80 return 0;
81 }可持续化的思想都基本是这样的，包括可持续化平衡树，可持续化堆（注意是思想，比如可持续化堆有的时候就不能动态开点）