为什么0.1 + 0.2
不等于 0.3
?为什么16777216f
等于 16777217f
?为什么金钱计算都推荐用decimal
?本文主要学习了解一下数字背后不为人知的存储秘密。
01、数值类型
C#中的数字类型主要包含两类,整数、小数,C#中的小数都为浮点(小)数。
csharp
void Main()
{
int a1 = 100;
int a2 = 0x0f; //15
var b2 = 0b11; //3
var x1 = 1; //整数值默认为int
var y1 = 1.1; //小数值默认为double
Add(1, 2.3); //3.3
Add(1, 3); //4
}
private T Add<T>(T x, T y) where T : INumber<T>
{
return x + y * x;
}
- 用
var
类型推断时,整数值默认为int
,小数值默认为double
。 .NET 7
新增的一个专门用来约束数字类型的接口 INumber<T>
,用来约束数字类型非常好用。
数值类型大多提供的成员:
🔸静态字段 | 说明 |
---|---|
MaxValue | 最大值常量,Console.WriteLine(int.MaxValue); //2147483647 |
MinValue | 最小值常量 |
🔸静态方法 | 说明 |
Parse、TryParse | 转换为数值类型,是比较常用的类型转换函数,参数NumberStyles 可定义解析的数字格式 |
Max、Min | 比较值的大小,返回最大、小的值,int.Max(1,100) //100 |
Abs | 计算绝对值 |
IsInfinity | 是否有效值,无穷值 |
IsInteger | 是否整数 |
IsNaN | 是否为NaN |
IsPositive | 是否零或正实数 |
IsNegative | 是否表示负实数 |
数值类型还有很多接口,如加、减、乘、除的操作符接口,作为泛型约束条件使用还是挺不错的。
🔸操作符接口 | 说明 |
---|---|
IAdditionOperators | 加法 |
ISubtractionOperators | 减法 |
IMultiplyOperators | 乘法 |
IDivisionOperators | 除法 |
csharp
public static T Power<T>(T v1, T v2) where T : INumber<T>,
IMultiplyOperators<T, T, T>, IAdditionOperators<T, T, T>
{
return v1 * v1 + v2 * v2;
}
02、小数、浮点数⁉
C#中的小数类型有float、double、decimal 都是浮点数,浮点 就是" 浮动小数点位置 ",小数位数不固定,小数部分、整数部分是共享数据存储空间的。相应的,自然也有定点小数,固定小数位数,在很多数据库中有定点小数,C#中并没有。
在编码中我们常用的浮点小数是float、double,经常会遇到精度问题,以及类似下面这些面试题。
- ❓ 为什么
0.1 + 0.2
不等于0.3
? - ❓ 为什么浮点数无法准确的表示
0.1
? - ❓ 为什么
16777216f
等于16777217f
?这里f
表示为float
。 - ❓ 为什么
32
位float
可以最大表示3.402823E38
,64
位double
可以最大表示1.79*E308
,那么点位数根本存不下啊? - ❓ 同样是32位,
float
的数据范围远超int
,为什么?
csharp
Console.WriteLine(0.1 + 0.2 == 0.3); //False
Console.WriteLine(16777216f == 16777217f); //True
Console.WriteLine(double.MaxValue); //1.7976931348623157E+308
Console.WriteLine(int.MaxValue); //2147483647
Console.WriteLine(sizeof(double)); //8 //8字节(64位)
float、double为浮点数,小数位数有限,比较容易损失精度。造成上面这些问题的根本原因是其存储机制决定的,他们都遵循IEEE754格式规范,几乎所有编程语言和处理器都支持该规范,因此大多数编程语言都有类似的问题。Decimal 为高精度浮点数,存储机制与float、double不同,她采用十进制方式表示。
❗ 要搞懂float、double,就不得不了解IEEE754规范!
2.1、IEEE754:float、double存储原理
IEEE 754 (维基百科)是一个关于浮点数算术的国际标准,它定义了浮点数的表示格式、舍入规则、特殊值、浮点运算等规范。IEEE 754 标准最早发布与1985年,其中包括了四种精度规范,其中最常用的就两种:单精度 (float,4字节32位)和双精度(double,8字节64位)。大多数编程语言、硬件处理器都支持这两种浮点数据类型,因此float、double的知识几乎是所有语言通用的,可以深入了解一下,不亏的!
IEEE 754 浮点数不像十进制字面量值那样存储,而是用下面的二进制方式来表示并存储的,其实就是二进制的科学计数法。其二进制表示包含三个部分:符号位S 、指数部分 (阶码E,2为底的指数)和尾数部分M。
-
🔸符号位(Sign):占用1位,这是浮点数的最高位,用于表示数字的正负。0表示正数,1表示负数。
-
🔸指数部分(Exponent,阶码) :表示为2位底的指数,这里使用了移码,实际的指数
e = E-127
,这样省去了指数的符号位,计算也更方便。- float 的指数部分8位,
2^8=256
偏移量(移码)为127,表示十进制范围为 [-127,128],其数据范围就为±2^128
=±3.4E38
。指数全是1即指数值为255时,表示为无效数字 ±infinity或NaN。 - double 的指数部分11位,
2^11=2048
偏移量(移码)为1023,十进制值范围[-1023,1024],因此数据范围±2^1024 = ±1.79E308
。
- float 的指数部分8位,
-
🔸尾数部分(Mantissa):这部分表示数字的精确值(有效数字),包括整数和小数部分。尾数长度决定了精度,因为有效数字长度是有限的,因此就必然存在精度丢失的问题。
- float 的尾数部分23位,十进制
2^23=8388608
,最多6~7(不完整的第7位)位有效十进制数字,只有前6位是完整的。 - double 尾数长度52位,
2^52 = 4503599627370496
,因此最多有15~16 位有效十进制数字。
- float 的尾数部分23位,十进制
IEEE754浮点数都会被转换为上述二进制形式:**符号*尾数*2^指数**
,如 2 = 1.0 * 2^1
,0.5 = 1.0 * 2^-1
,5 = 1.25* 2^2
。数据(整数、小数部分)先转换为二进制形式,然后左移或右移小数点,转换为1.M
形式,始终都是 "1"开头,因此就只存储小数部分即可。
🚩浮点数 =
十进制 2 就表示为 2 = 1.0* 2^1
。下图来自 在线IEEE754转换器计算:IEEE-754 Floating Point Converter。
- 阶码
E = 127+1 = 128
(实际指数e=1) 。 - 尾数
1.0
,实际存储的尾数就是0
。
十进制 0.75 表示为0.75 = 1.5* 2^-1
,指数为-1
,尾数为1.5
。
- 阶码
E = 127+ (-1) = 126
(实际指数e=-1) 。 - 尾数
1.5
,实际存储的尾数就是0.5
,二进制值为0.1
。为什么0.5 的二进制为0.1呢,请看后续章节。
2.2、float、double对比
类型 | 单精度 float | 双精度 double |
---|---|---|
CTS类型 | System.Single | System.Double |
长度 | 4字节32位 | 8字节64位 |
符号位S | 1 | 1 |
阶码(指数位T) | 8,[-127,128] | 11,[-1023,1024] |
尾数M | 23 | 52 |
阶码偏移量 | 127,e= E -127 |
1023,e= E -1023 |
精度(10进制) | **6~7 **,2^23=8388608 |
15~16 ,2^52 = 4503599627370496 |
范围 | ±3.402823E38 ,2^128=3.4E38 |
±1.79*E308,2^1024=1.79E308 |
字面量表示(后缀) | f /F |
d /D |
float只能用于 表示6~7个有效数字时,才不会损失精度。
csharp
//7位有效数字
Console.WriteLine(4234567f); //4234567
//第8位就不准确了
Console.WriteLine(42345678f); //42345680
Console.WriteLine(42345671f); //42345670
//7位有效数字
Console.WriteLine(0.2345678f); //0.2345678
//第8位就不准确了
Console.WriteLine(2.12345678f); //2.1234567
Console.WriteLine(0.212345678f); //0.21234567
2.3、小数是怎么转换为二进制的?
对于整数转换小数是非常容易理解的,计算机的二进制是天然支持整数存储为二进制的。十进制整数转成二进制通常采用 "除 2 取余,逆序排列" 即可。
csharp
Console.WriteLine($"{1:B4}"); //0001
Console.WriteLine($"{2:B4}"); //0010
Console.WriteLine($"{3:B4}"); //0011
Console.WriteLine($"{4:B4}"); //0100
Console.WriteLine($"{5:B4}"); //0101
Console.WriteLine($"{8:B4}"); //1000
📢"B"格式只支持整数,更多格式化参考《String字符串全面了解>字符串格式化大全》
🚩乘2取整法
但小数则不同,采用的是 "乘2取整法 ",小数部分循环迭代,直到小数部分=0
为止。:如下0.875
的十进制浮点数转换为二进制格式为:0.111
。
0.111
,存储为IEE754浮点数,转换为1.M*2^E
结构,小数点右移一位,就是1.11*2^-1
。
- 指数E =
-1 + 127
= 126 ,二进制值为01111110
。 - 尾数为
11
后面补0。
十进制小数6.36
转换为二进制,整数部分+小数部分分别转换后合体:
🚩无限循环的0.1!
二进制无法准确表示小数0.1
,是因为0.1
转换为二进制后是无限循环的,0.0 0011 0011 0011...
,"0011"无限循环。就像十进制小数1/3 = 0.333
一样。
转换为1.M*2^E
结构,小数点右移4位,尾数就是1.1001 1001
,指数 E = -4 +127 = 123
。
2.4、浮点数的精度是怎么回事?
计算机存储整数很简单,每个数字是确定的。但小数则不同,0到1之间的小数都无限种可能,计算机有限的空间无法存储无限的小数。因此计算机将小数也当成"离散"的值,就像整数那样,整数之间间隔始终为1。给小数一个间隔刻度,如下图,用钟表来举例,小数刻度(步进)为0.234(十进制)。
这样做的好处可以兼顾"所有"小数,小数的精度就取决于钟表的"刻度",刻度越小,精度越高,当然存储时所需要的空间也就越大。
因此,这个精度本质上是由表盘间隔刻度(Gap)决定的,即使0.0012
的间隔刻度,精度达到了4位十进制数,也只能保障前2~3位小数是可靠的。0.001X、0.002X、0.003X,他始终无法表示0.0013、0.0025。
可通过提高刻度(Gap)来提高精度,但存储长度是有限的,因此不管是那种浮点数都是有精度限制的。精度越高的数据类型,也需要更多的长度来存储数据。
32位float
用了23位来存储有效数字,十进制也就6~7位(2^23=8388608
)。在IEEE754规范中,小数的"刻度"并不是均匀分布的,而是越来越大,数值越大则精度越低。如下面的表盘和刻度尺的示意图,其精度(Gap)的分布是不均匀的,0
附近数字的精度最高,然后精度就越来越低了,低到超过1。
看看 float 的间隔刻度(Gap)如下图,来自官方IEEE_754文档:
- 当数值大于8388608时,刻度(Gap)为1,就不能包含小数了。
- 当数字大于16777216(1600+万)时间隔刻度为2,连整数精度都不能保证了😂。
csharp
//float大于8388608后的间隔为1
Console.WriteLine(8388608.1f == 8388608.4f); //True
//大于16777216后的间隔为2
Console.WriteLine(16777216f == 16777217f); //True
Console.WriteLine(16777218f == 16777219f); //False
Console.WriteLine(16777219f == 16777220f); //True
下图是double的刻度表:小于8的数字都能有16位精度。
😂 怎么感觉float很鸡肋呢?限制太多了!所以编程中浮点数多大都用的 double 居多,float比较少。
03、更精确的 Decimal
System.Decimal 是16字节(128位)的高精度十进制浮点数,不同于float、double 的二进制存储机制,Decimal 采用10进制存储,表示-7.9E28 到 +7.9E28之间的十进制数。Decimal 最大限度地减少了因舍入而导致的错误,比较适用于对精度要求高场景,如财务计算。
📢 Decimal并不属于IEEE754规范,也不是处理器支持的类型,计算性能要差一点点(约 double 的 10%)。
csharp
Console.WriteLine(1f / 3f * 3f); //1
Console.WriteLine(0.1 + 0.2 == 0.3); //False
//decimal更高精度
Console.WriteLine(1m / 3m * 3m); //0.9999999999999999999999999999
Console.WriteLine(0.1m + 0.2m == 0.3m); //True
Decimal可以准确的表示0.1
,Decimal 128位的存储结构如下图(图来源):
- 96位 存储一个大整数,就是有效数字,
Math.Pow(2,96) = 7.9E28
,最多28位有效数字,因此小数最多也就是28位(全是小数时)。 - 剩下的32位 中,有一个符号位,0 表示正数,1 表示负数。其中有
5
位(下图中的第111位)表示10的指数部分(0到28的整数),可以理解为小数点的位置,其他位数没有使用默认为0(有点浪费呢?)。
Decimal 表示小数其实是"障眼法",内部有三个int (High、Mid、Low)来表示96位有效数字,还有一个int表示指数。可以通过 decimal.GetBits()
方法获取他们的值。下图来自 Decimal 源码 Decimal.cs
3.1、为什么Decimal没有0.1问题?
在Decimal中就没有 0.1+0.2
不等于0.3
的问题,因为她能准确表示0.1
。
其根本原因就是 Decimal 不会把小数转换为二进制,而是就用十进制。把小数都转为整数存储,如 0.1
在Decimal 中会被表示为 1* 10^-1
,尾数为1,指数为-1
,指数就是小数点位置。
📢 Decimal值 =
csharp
var arr = decimal.GetBits(0.1M);
Console.WriteLine($"尾数:{arr[2]}{arr[1]}{arr[0]}");
Console.WriteLine($"指数:"+$"{arr[3]:B32}".Substring(0,16));
//尾数:001
//指数:0000000000000001
100.1024
存储为1001024* 10^-4
。
- 尾数为
1001024
,全都转换为整数了。不用担心超出整数int范围,96
位有三个整数并行存储呢! - 指数为
4
,小数点位置在第四格。
csharp
var arr = decimal.GetBits(100.1024M);
Console.WriteLine($"尾数:{arr[2]}{arr[1]}{arr[0]}");
Console.WriteLine($"指数:"+$"{arr[3]:B32}".Substring(0,16));
//尾数:001001024
//指数:0000000000000100
如果是负数-100.1024
,则只有符号位为1
,其他一样
csharp
var arr = decimal.GetBits(-100.1024M);
Console.WriteLine($"尾数:{arr[2]}{arr[1]}{arr[0]}");
Console.WriteLine($"指数:"+$"{arr[3]:B32}".Substring(0,16));
//尾数:001001024
//指数:1000000000000100
📢 所以 Decimal 值只要没有超过28~29位有效数字,就没有精度损失!是不是Very Nice!flaot、double 损失精度的根本原因是其存储机制,必须把小数转换为二进制值,再加上有限的精度位数。
3.2、Decimal、Double、Float对比
类型 | 单精度 float | 双精度 double | Decimal 高精度浮点数 |
---|---|---|---|
类型 | System.Single | System.Double | System.Decimal |
规范 | IEEE754 | IEEE754 | 无,.Net自定义类型 |
是否基元类型 | 是 | 是 | 是 |
长度 | 32位(4字节) | 64位(8字节) | 128位(16字节) |
内部表示 | 二进制,基数为2 | 二进制,基数为2 | 十进制,基数为10 |
字面量(后缀) | f /F |
后缀d /D |
后缀m /M |
最大精度 | 6~7 | 15~16 | 28~29位 |
范围 | ±3.4E38 ,2^23=3.4E38 |
范围很大,±1.7*E308 | -2^(96) 到 2^(96),±7.9E28 |
特殊值 | +0、-0、+∞、-∞、NaN | +0、-0、+∞、-∞、NaN | 无 |
速度 | 处理器原生支持,速度很快 | 处理器原生支持,速度很快 | 非原生支持,约double 的10% |
Decimal 虽然精度高,但长度也大,计算速度较慢,所以还是根据实际场景选择。财务计算一般都用 Decimal 是因为他对精度要求较高,钱不能算错,传说算错了要从程序员工资里扣😂😂。
04、一些编程实践
- 对于精度要求高的场景不适合用浮点数(double、float),推荐
decimal
,特别是价格、财务计算。 - 浮点数不适合直接相等比较,直接相等大多会出Bug。
- 在存储比较大的数字时,需注意float、double 对于整数也有精度问题。
4.1、浮点数的相等比较
- 使用相同的精度进行比较,
Math.Round()
获取相同的精度值。 - 比较相似性,根据实际场景设定一个误差值,如
1e-8
,只要差值在这个误差范围内,都认为相等。
csharp
var f1 = 0.1 + 0.2;
var f2 = 0.3;
Console.WriteLine(f1 == f2); //False
//相同精度
Console.WriteLine(Math.Round(f1,6) == Math.Round(f2,6)); //True
//误差范围
Console.WriteLine(Math.Abs(f1-f2)<1e-8); //True
4.2、取整与四舍五入
取整方式 | 说明/示例 |
---|---|
整数相除 10/4=2 |
抛弃余数,只留整数部分 |
强制转换(int)2.9=2 |
直接截断,只留整数部分,需要注意‼️ |
Convert转换,四舍五入取整 | Convert.ToInt32(2.7) = 3; Convert.ToInt32(2.2) = 2; |
格式化截断,四射五入 | 字符串格式化时的截断,都是四舍五入, $"{2.7:F0}" = "3" |
Math.Ceiling() ,向上取整 |
Math.Ceiling(2.3) = 3 ,⁉️注意负数Math.Ceiling(-2.3) = -2 |
Math.Floor() ,向下取整 |
Math.Floor(2.3) = 2 ,⁉️注意负数Math.Floor(-2.3) = -3 |
Math.Truncate() ,截断取整 |
Math.Truncate(2.7) = 2 ,只保留整数部分,同强制转换 |
Math.Round() ,四舍五入 |
可指定四舍五入精度,Math.Round(2.77,1) = 2.8 |
参考资料
- MSDN:System.Decimal 结构
- MSDN:浮点数值类型(C# 引用)
- IEEE 754-1985
- IEEE Floating-Point Representation
- IEEE-754 Floating Point Converter,浮点数在线转换器
- IEEE-754 floating point numbers converter,也是一个在线浮点数在线计算器
- IEEE754详解
- 都工作两年了,还不知道浮点数如何转二进制?
©️版权申明 :版权所有@安木夕,本文内容仅供学习,欢迎指正、交流,转载请注明出处!原文编辑地址-语雀