文章目录
题目
标题和出处
标题:多数元素 II
出处:229. 多数元素 II
难度
3 级
题目描述
要求
给定大小为 n \texttt{n} n 的数组 nums \texttt{nums} nums,找出其中所有出现超过 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{\texttt{n}}{\texttt{3}} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 次的元素。
示例
示例 1:
输入: nums = [3,2,3] \texttt{nums = [3,2,3]} nums = [3,2,3]
输出: [3] \texttt{[3]} [3]
示例 2:
输入: nums = [1] \texttt{nums = [1]} nums = [1]
输出: [1] \texttt{[1]} [1]
示例 3:
输入: nums = [1,2] \texttt{nums = [1,2]} nums = [1,2]
输出: [1,2] \texttt{[1,2]} [1,2]
数据范围
- n = nums.length \texttt{n} = \texttt{nums.length} n=nums.length
- 1 ≤ n ≤ 5 × 10 4 \texttt{1} \le \texttt{n} \le \texttt{5} \times \texttt{10}^\texttt{4} 1≤n≤5×104
- -10 9 ≤ nums[i] ≤ 10 9 \texttt{-10}^\texttt{9} \le \texttt{nums[i]} \le \texttt{10}^\texttt{9} -109≤nums[i]≤109
进阶
你可以使用线性时间复杂度和 O(1) \texttt{O(1)} O(1) 空间复杂度解决此问题吗?
前言
这道题是「多数元素」的进阶,要求找出数组中所有出现次数大于 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 的元素。这道题也可以使用哈希表计数、排序和摩尔投票三种解法得到答案。
长度是 n n n 的数组中,最多有 2 2 2 个出现次数大于 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 的元素。可以使用反证法证明。
假设有 3 3 3 个出现次数大于 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 的元素,这 3 3 3 个元素的出现次数都不小于 ⌊ n 3 ⌋ + 1 \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor + 1 ⌊3n⌋+1,因此这 3 3 3 个元素的总出现次数至少为 3 × ⌊ n 3 ⌋ + 3 3 \times \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor + 3 3×⌊3n⌋+3。由于 ⌊ n 3 ⌋ > n 3 − 1 \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor > \dfrac{n}{3} - 1 ⌊3n⌋>3n−1,因此 3 × ⌊ n 3 ⌋ + 3 > 3 × ( n 3 − 1 ) + 3 = 3 × n 3 − 3 + 3 = n 3 \times \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor + 3 > 3 \times (\dfrac{n}{3} - 1) + 3 = 3 \times \dfrac{n}{3} - 3 + 3 = n 3×⌊3n⌋+3>3×(3n−1)+3=3×3n−3+3=n,即这 3 3 3 个元素的总出现次数一定超过 n n n,和数组长度是 n n n 矛盾。因此数组中不可能有 3 3 3 个出现次数大于 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 的元素,最多有 2 2 2 个出现次数大于 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 的元素。
解法一
思路和算法
最直观的解法是统计数组中每个元素的出现次数,然后寻找出现次数大于 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 的元素。
遍历数组,使用哈希表记录每个元素的出现次数,遍历结束之后即可得到数组中每个元素的出现次数。然后遍历哈希表,对于哈希表中的每个元素得到出现次数,将出现次数大于 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 的元素添加到结果中。
代码
java
class Solution {
public List<Integer> majorityElement(int[] nums) {
Map<Integer, Integer> counts = new HashMap<Integer, Integer>();
for (int num : nums) {
counts.put(num, counts.getOrDefault(num, 0) + 1);
}
List<Integer> majorities = new ArrayList<Integer>();
int n = nums.length;
Set<Integer> set = counts.keySet();
for (int num : set) {
if (counts.get(num) > n / 3) {
majorities.add(num);
}
}
return majorities;
}
}
复杂度分析
-
时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n),其中 n n n 是数组 nums \textit{nums} nums 的长度。遍历数组统计每个元素的出现次数需要 O ( n ) O(n) O(n) 的时间,遍历哈希表得到多数元素也需要 O ( n ) O(n) O(n) 的时间。
-
空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n),其中 n n n 是数组 nums \textit{nums} nums 的长度。需要创建哈希表记录每个元素的出现次数,哈希表中的元素个数不超过 n n n。
解法二
思路和算法
首先将数组排序,排序后的数组满足相等的元素一定出现在数组中的相邻位置。如果一个元素在数组中的出现次数大于 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋,则排序后的数组中存在至少 ⌊ n 3 ⌋ + 1 \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor + 1 ⌊3n⌋+1 个连续的元素都等于该元素,即一定存在两个差为 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 的下标处的元素都等于该元素。
将数组 nums \textit{nums} nums 排序之后遍历数组 nums \textit{nums} nums,对于下标 i i i,当 i ≥ ⌊ n 3 ⌋ i \ge \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor i≥⌊3n⌋ 时,如果 nums [ i ] = nums [ i − ⌊ n 3 ⌋ ] \textit{nums}[i] = \textit{nums}[i - \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor] nums[i]=nums[i−⌊3n⌋],则 nums [ i ] \textit{nums}[i] nums[i] 是出现次数大于 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 的元素。
为了避免重复计算,当 i < n − 1 i < n - 1 i<n−1 且 nums [ i ] = nums [ i + 1 ] \textit{nums}[i] = \textit{nums}[i + 1] nums[i]=nums[i+1] 时跳过下标 i i i,只有当下标 i i i 的右侧没有与 nums [ i ] \textit{nums}[i] nums[i] 相等的元素时才判断 nums [ i ] = nums [ i − ⌊ n 3 ⌋ ] \textit{nums}[i] = \textit{nums}[i - \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor] nums[i]=nums[i−⌊3n⌋] 是否成立,如果成立则将 nums [ i ] \textit{nums}[i] nums[i] 添加到结果中。
代码
java
class Solution {
public List<Integer> majorityElement(int[] nums) {
Arrays.sort(nums);
List<Integer> majorities = new ArrayList<Integer>();
int n = nums.length;
for (int i = n / 3; i < n; i++) {
int num = nums[i];
if (i < n - 1 && num == nums[i + 1]) {
continue;
}
if (num == nums[i - n / 3]) {
majorities.add(num);
}
}
return majorities;
}
}
复杂度分析
-
时间复杂度: O ( n log n ) O(n \log n) O(nlogn),其中 n n n 是数组 nums \textit{nums} nums 的长度。排序需要 O ( n log n ) O(n \log n) O(nlogn) 的时间。
-
空间复杂度: O ( log n ) O(\log n) O(logn),其中 n n n 是数组 nums \textit{nums} nums 的长度。排序需要 O ( log n ) O(\log n) O(logn) 的递归调用栈空间。
解法三
思路和算法
原始的摩尔投票算法用于找到出现次数大于一半的元素,其时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n),空间复杂度是 O ( 1 ) O(1) O(1)。摩尔投票算法可以推广到寻找出现次数大于 ⌊ n k ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{k} \Big\rfloor ⌊kn⌋ 的元素,其中 k k k 是大于 1 1 1 的正整数。
由于出现次数大于 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 的元素不可能超过 2 2 2 个,因此维护 2 2 2 个候选元素 majority 1 \textit{majority}_1 majority1 和 majority 2 \textit{majority}_2 majority2,以及两个候选元素的出现次数 count 1 \textit{count}_1 count1 和 count 2 \textit{count}_2 count2,初始时候选元素和出现次数都是 0 0 0。
遍历数组,当遍历到元素 num \textit{num} num 时,执行如下操作。
-
比较 num \textit{num} num 是否和候选元素相等,如果相等则将相应的出现次数加 1 1 1。
-
如果 num = majority 1 \textit{num} = \textit{majority}_1 num=majority1,则将 count 1 \textit{count}_1 count1 加 1 1 1。
-
否则,如果 num = majority 2 \textit{num} = \textit{majority}_2 num=majority2,则将 count 2 \textit{count}_2 count2 加 1 1 1。
-
-
如果 num \textit{num} num 和两个候选元素都不相等,则判断两个候选元素的出现次数是否为 0 0 0,如果为 0 0 0 则更新候选元素和出现次数。
-
如果 count 1 = 0 \textit{count}_1 = 0 count1=0,则将 majority 1 \textit{majority}_1 majority1 更新为 num \textit{num} num,并将 count 1 \textit{count}_1 count1 加 1 1 1。
-
否则,如果 count 2 = 0 \textit{count}_2 = 0 count2=0,则将 majority 2 \textit{majority}_2 majority2 更新为 num \textit{num} num,并将 count 2 \textit{count}_2 count2 加 1 1 1。
-
-
如果 num \textit{num} num 和两个候选元素都不相等且两个候选元素的出现次数都大于 0 0 0,则 num \textit{num} num 和两个候选元素抵消,将 count 1 \textit{count}_1 count1 和 count 2 \textit{count}_2 count2 都减 1 1 1。
遍历结束之后,得到两个候选元素。再次遍历数组,统计两个候选元素在数组中的出现次数,当出现次数大于 ⌊ n 3 ⌋ \Big\lfloor \dfrac{n}{3} \Big\rfloor ⌊3n⌋ 时将候选元素添加到结果中。
代码
java
class Solution {
public List<Integer> majorityElement(int[] nums) {
int majority1 = 0, majority2 = 0;
int count1 = 0, count2 = 0;
for (int num : nums) {
if (num == majority1) {
count1++;
} else if (num == majority2) {
count2++;
} else if (count1 == 0) {
majority1 = num;
count1++;
} else if (count2 == 0) {
majority2 = num;
count2++;
} else {
count1--;
count2--;
}
}
count1 = 0;
count2 = 0;
for (int num : nums) {
if (num == majority1) {
count1++;
} else if (num == majority2) {
count2++;
}
}
List<Integer> majorities = new ArrayList<Integer>();
int n = nums.length;
if (count1 > n / 3) {
majorities.add(majority1);
}
if (count2 > n / 3) {
majorities.add(majority2);
}
return majorities;
}
}
复杂度分析
-
时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n),其中 n n n 是数组 nums \textit{nums} nums 的长度。需要遍历数组 nums \textit{nums} nums 两次。
-
空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1)。