从 麦克斯韦方程组 到 波动方程 再到 二维波动方程

从 麦克斯韦方程组 到 波动方程 再到 二维波动方程

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从麦克斯韦方程组，推导出了电场和磁场的波动方程。这两个波动方程描述了电磁场的传播，并且它们的形式与标准的波动方程一致。波动方程表明电场和磁场都以波的形式传播，传播速度 c c c 由以下关系确定：
c = 1 μ 0 ϵ 0 c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} c=μ0ϵ0 1这个速度 c c c 恰好是光速，这证明了光是一种电磁波。

麦克斯韦方程组在真空中的形式

1. 高斯定律（电场） ：
   ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} ∇⋅E=ϵ0ρ

2. 高斯定律（磁场） ：
   ∇ ⋅ B = 0 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 ∇⋅B=0

3. 法拉第电磁感应定律 ：
   ∇ × E = − ∂ B ∂ t \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ∇×E=−∂t∂B

4. 安培-麦克斯韦方程 ：
   ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} ∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂t∂E

   在真空中，电荷密度 ρ \rho ρ 和电流密度 J \mathbf{J} J 都为零，因此方程简化为：

5. ∇ ⋅ E = 0 \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 ∇⋅E=0

6. ∇ ⋅ B = 0 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 ∇⋅B=0

7. ∇ × E = − ∂ B ∂ t \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ∇×E=−∂t∂B

8. ∇ × B = μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} ∇×B=μ0ϵ0∂t∂E

推导电场的波动方程

首先对法拉第电磁感应定律取旋度：
∇ × ( ∇ × E ) = ∇ × ( − ∂ B ∂ t ) \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \times \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) ∇×(∇×E)=∇×(−∂t∂B)利用向量分析中的恒等式 ∇ × ( ∇ × E ) = ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} ∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E，并结合高斯定律（电场） ∇ ⋅ E = 0 \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 ∇⋅E=0，得到：
∇ × ( ∇ × E ) = − ∇ 2 E \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\nabla^2 \mathbf{E} ∇×(∇×E)=−∇2E所以：
− ∇ 2 E = ∇ × ( − ∂ B ∂ t ) -\nabla^2 \mathbf{E} = \nabla \times \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) −∇2E=∇×(−∂t∂B)
∇ 2 E = ∂ ∂ t ( ∇ × B ) \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) ∇2E=∂t∂(∇×B)再利用安培-麦克斯韦方程中的 ∇ × B = μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} ∇×B=μ0ϵ0∂t∂E，得到：
∇ 2 E = ∂ ∂ t ( μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t ) \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) ∇2E=∂t∂(μ0ϵ0∂t∂E)
∇ 2 E = μ 0 ϵ 0 ∂ 2 E ∂ t 2 \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} ∇2E=μ0ϵ0∂t2∂2E这就是电场的波动方程：
∇ 2 E − μ 0 ϵ 0 ∂ 2 E ∂ t 2 = 0 \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 ∇2E−μ0ϵ0∂t2∂2E=0

推导磁场的波动方程

对安培-麦克斯韦方程取旋度：
∇ × ( ∇ × B ) = ∇ × ( μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t ) \nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = \nabla \times \left( \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) ∇×(∇×B)=∇×(μ0ϵ0∂t∂E)同样利用向量恒等式 ∇ × ( ∇ × B ) = ∇ ( ∇ ⋅ B ) − ∇ 2 B \nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B} ∇×(∇×B)=∇(∇⋅B)−∇2B 和高斯定律（磁场） ∇ ⋅ B = 0 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 ∇⋅B=0，得到：
∇ × ( ∇ × B ) = − ∇ 2 B \nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = -\nabla^2 \mathbf{B} ∇×(∇×B)=−∇2B所以：
− ∇ 2 B = ∇ × ( μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t ) -\nabla^2 \mathbf{B} = \nabla \times \left( \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) −∇2B=∇×(μ0ϵ0∂t∂E)
∇ 2 B = μ 0 ϵ 0 ∂ ∂ t ( ∇ × E ) \nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{E}) ∇2B=μ0ϵ0∂t∂(∇×E)再利用法拉第电磁感应定律 ∇ × E = − ∂ B ∂ t \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ∇×E=−∂t∂B，得到：
∇ 2 B = μ 0 ϵ 0 ∂ ∂ t ( − ∂ B ∂ t ) \nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) ∇2B=μ0ϵ0∂t∂(−∂t∂B)
∇ 2 B = μ 0 ϵ 0 ∂ 2 B ∂ t 2 \nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} ∇2B=μ0ϵ0∂t2∂2B这就是磁场的波动方程：
∇ 2 B − μ 0 ϵ 0 ∂ 2 B ∂ t 2 = 0 \nabla^2 \mathbf{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = 0 ∇2B−μ0ϵ0∂t2∂2B=0

从标准波动方程到二维波动方程

从标准波动方程推导出二维波动方程。先从三维标准波动方程出发，逐步简化到二维波动方程。

标准波动方程在三维空间中的一般形式为：
1 v 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 = ∇ 2 ψ \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \nabla^2 \psi v21∂t2∂2ψ=∇2ψ

其中：

• ψ ( x , y , z , t ) \psi(x, y, z, t) ψ(x,y,z,t) 是描述波动的函数。

• v v v 是波速。

• ∇ 2 ψ \nabla^2 \psi ∇2ψ 是拉普拉斯算子，定义为：
  ∇ 2 ψ = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} ∇2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ+∂z2∂2ψ

推导二维波动方程

为了得到二维波动方程，需要假设波动在 z z z 方向上没有变化。这意味着：
∂ ψ ∂ z = 0 \frac{\partial \psi}{\partial z} = 0 ∂z∂ψ=0

从而： ∂ 2 ψ ∂ z 2 = 0 \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = 0 ∂z2∂2ψ=0因此，拉普拉斯算子简化为：
∇ 2 ψ = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} ∇2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ将这个简化的拉普拉斯算子代入标准波动方程中，得到：
1 v 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} v21∂t2∂2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ通常会把 ψ \psi ψ 改写为 u u u 以表示二维波动函数，且将波速 v v v 改写为 c c c ，于是方程变为：
1 c 2 ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} c21∂t2∂2u=∂x2∂2u+∂y2∂2u为了使方程更加简洁，将 c 2 c^2 c2 移到右边：
∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 ) \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) ∂t2∂2u=c2(∂x2∂2u+∂y2∂2u)

这就是二维波动方程。

把步骤简化就是

1. 从标准波动方程出发：
   1 v 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 = ∇ 2 ψ \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \nabla^2 \psi v21∂t2∂2ψ=∇2ψ

2. 将拉普拉斯算子展开为三维形式：
   ∇ 2 ψ = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} ∇2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ+∂z2∂2ψ

3. 假设波动在 z z z 方向上没有变化，即 ∂ ψ ∂ z = 0 \frac{\partial \psi}{\partial z} = 0 ∂z∂ψ=0 ，于是 ∂ 2 ψ ∂ z 2 = 0 \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = 0 ∂z2∂2ψ=0 。

4. 简化拉普拉斯算子：
   ∇ 2 ψ = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} ∇2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ

5. 将简化后的拉普拉斯算子代入标准波动方程：
   1 v 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} v21∂t2∂2ψ=∂x2∂2ψ+∂y2∂2ψ

6. 改写为二维波动函数 u u u 和波速 c c c ，得到：
   1 c 2 ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} c21∂t2∂2u=∂x2∂2u+∂y2∂2u

7. 最终整理得到二维波动方程：
   ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 ) \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) ∂t2∂2u=c2(∂x2∂2u+∂y2∂2u)

这样就从标准波动方程推导出了二维波动方程。