二进制的加减运算

二进制

整数

• 十进制数转二进制数：除二取余倒记法
• 二进制数转十进制数：按权相加法

比如计算 13 的二进制数：

13 / 2 = 6 ... 1
6 / 2 = 3  ... 0
3 / 2 = 1  ... 1
1 / 2 = 0  ... 1

所以得到的结果为 1101

将 1101 转换为十进制数：

1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 13

小数

小数的二进制数转换也是一样的，只不过是除以 2 变成乘以 2，然后是正记法

比如计算 0.78125 的二进制数：

0.78125 * 2 = 1.5625 ... 1
0.5625 * 2 = 1.125   ... 1
0.125 * 2 = 0.25     ... 0
0.25 * 2 = 0.5       ... 0
0.5 * 2 = 1          ... 1

所以得到的结果为 0.11001

将 0.11001 转换为十进制数：

1 * 2^-1 + 1 * 2^-2 + 0 * 2^-3 + 0 * 2^-4 + 1 * 2^-5 = 0.78125

原码

原码是有符号数的一种表示方法，第一位是符号位，0 表示正数，1 表示负数

补码

正数的补码等于原码

负数的补码有两种计算方法：

• 符号位不变，原码的反码 + 1
  • 比如十进制数 -21
    • 原码：10010101
    • 反码：11101010
    • 补码：11101011
• 2^(n+1) + x
  • 十进制数 -21
    • 2^8 - 21
    • 2^8 的二进制：10000000
    • 21 的二进制：10010101
    • 得到补码：11101011

小数的补码算法和整数的补码一样：

• 正数的补码等于原码
• 负数的补码等于原码的反码 + 1

反码

反码有一个作用就是把减法转换为加法

正数的反码等于原码，负数的反码等于原码的符号位不变，其他位取反

上面计算原码的补码的时 2^(n+1) + x，这种方案 x 是负数的话，就会变成减法运算，而减法运算在计算机中是比较复杂的

所以使用反码就可以消除运算中的减法运算

定点数和浮点数

定点数

小数点固定在某个位置的数称为定点数

小数位在符号位之后，称为定点小数

小数位在数值位之后，称为定点整数

浮点数

如果这个数值比较大，会超过定点数的表示范围，这时候就需要使用浮点数

浮点数的表示方法是科学计数法，分为四部分：

• 阶码符号位
• 阶码
• 尾数符号位
• 尾数（尾数是补码，必须是纯小数，最高位必须是 1）

比如：0.110101 * 2^6，小数点前面是符号位，小数点后面是尾数

用 2 个字节来表示浮点数

• 阶码符号位：占用 1 位
• 阶码：占用 4 位
• 尾数符号位：占用 1 位
• 尾数：占用 10 位

正数

小数 0.1015625 转换成二进制数

0.1015625 * 2 = 0.203125 ... 0
0.203125 * 2 = 0.40625   ... 0
0.40625 * 2 = 0.8125     ... 0
0.8125 * 2 = 1.625       ... 1
0.625 * 2 = 1.25         ... 1
0.25 * 2 = 0.5           ... 0
0.5 * 2 = 1              ... 1

得到的结果为 0.0001101

0.0001101 规格化：

0.1101000000 * 2^-3

正数的补码还是原码

阶码符号位	阶码	尾数符号位	尾数
1	0011	0	1101000000

负数

整数 -54 转换成二进制数

54 / 2 = 27 ... 0
27 / 2 = 13 ... 1
13 / 2 = 6  ... 1
6 / 2 = 3   ... 0
3 / 2 = 1   ... 1
1 / 2 = 0   ... 1

得到的结果是：-110110，用 1 表示负数 1,110110

1,110110 规格化：

1.1101100000 * 2^6

负数的补码是原码的反码+1

所以 1.1101100000 * 2^6 转换成补码是 1.0010100000 * 2^6

阶码符号位	阶码	尾数符号位	尾数
0	0110	1	0010100000

表示范围

假设阶码有 n 位，尾数有 m 位

• 阶码的范围 -(2^n - 1) ~ 2^n - 1
• 尾数的范围
  • 负数 -(1 - 2^-m) ~ -(2^-m)
  • 正数 2^-m ~ 1 - 2^-m

上溢	负数最小值	负数最大值	下溢	下溢	下溢	正数最小值	正数最大值	上溢
-	-(1 - 2^-m) * 2^(2^n - 1)	-(2^-m) * 2^-(2^n - 1)	-	0	-	(2^-m) * 2^-(2^n - 1)	(1 - 2^-m) * 2^(2^n - 1)	-

定点数加减法运算

定点数加法运算用补码运算，如果符号位发生进位，则丢弃符号位

单符号位如果符号位发生进位了，不知道有没有发生溢出，所以就有了双符号位，如果双符号在计算后不相同，就说明有溢出

整数加法

例如：A 的值为 -110010，B 的值为 001101，求 A + B

• A：-110010 补齐符号位 1,110010，它的补码是 1,001110
• B：001101 补齐符号位 0,001101，它的补码是 0,001101

A + B => A 的补码 + B 的补码 1,001110 + 0,001101 => 1,011011

这个 1,011011 是补码，转换成原码就是 1,100101

验证一下 A 的十进制数是 -50，B 的十进制数是 13，A + B 的结果是 -37

1,100101 转换成十进制数是 -37

所以 A + B = 1,011011

小数加法

例如：A 的值为 -0.1010010，B 的值为 0.0110100，求 A + B

• A：-0.1010010 补齐符号位 1,0.1010010，它的补码是 1,1.0101110
• B：0.0110100 补齐符号位 0,0.0110100，它的补码是 0,0.0110100

A + B => A 的补码 + B 的补码 1,1.0101110 + 0,0.0110100 => 1,1.1100010

这个 1,1.1100010 是补码，转换成原码就是 1,0.0011110

验证一下 A 的十进制数是 -0.640625，B 的十进制数是 0.40625，A + B 的结果是 -0.234375

1,0.0011110 转换成十进制数是 -0.234375

所以 A + B = 1,1.1100010

双符号位有溢出

例如：A 的值为 -10010000，B 的值为 -11010000，求 A + B

• A：-10010000 补齐符号位 11,10010000，它的补码是 11,01110000
• B：-11010000 补齐符号位 11,11010000，它的补码是 11,00110000

A + B => A 的补码 + B 的补码 11,01110000 + 11,00110000 => 110,10100000

符号位最高位的 1 舍弃，剩下 10，符号位最高位不同，说明 A + B 发生了溢出

减法运算

减法运算，要转换成加法运算，所以减数的补码**取反(包括符号位)加 1**就能变成加法运算

换句话说，减数的补码 = 减数的原码 + 减数的符号位取反

例如 A 的值为 11001000，B 的值为 -00110100，求 A - B

• A：11001000 补齐符号位 00,11001000，它的补码是 00,11001000
• B：-00110100 补齐符号位 11,00110100，它的补码是 11,11001100
  • 将 B 的补码取反(包括符号位)加 1，得到 00,00110100

A - B => A 的补码 + -B 的补码 00,11001000 + 00,00110100 => 00,11111100

这个 00,11111100 是补码，转换成原码就是 00,11111100

验证一下 A 的十进制数是 200，B 的十进制数是 -52，A - B 的结果是 252

00,11111100 转换成十进制数是 252

浮点数加减法

浮点数加减法要分为 5 个步骤：

1. 对阶
2. 尾数求和
3. 尾数规格化
4. 舍入
5. 溢出判断

	值	阶码符号位	阶码	尾数符号位	尾数
A	0.1101 * 2^1	00	01	00	1101
B	-0.1010 * 2^3	00	11	11	1010

加码+1，尾数右移，阶码-1，尾数左移

对阶

对阶的目的是使得两个浮点数阶码一致，从而使得尾数可以进行运算

因为浮点数的小数位与阶码有关，如果阶码不整齐，就无法进行运算

对阶操作：小阶对齐大阶

• A 的阶码是 1，对应的二进制数是 01
• B 的阶码是 3，对应的二进制数是 11

A 的阶码需要变成 11，所以 A 的尾数需要右移 2 位，变为 0.0011

	值	阶码符号位	阶码	尾数符号位	尾数
A	0.1101 * 2^1	00	11	00	0011(01)
B	-0.1010 * 2^3	00	11	11	1010

由于这里只有 4 位，所以 A 的尾数右移后 01 需要被舍弃

尾数求和

尾数求和的方法和定点数的加减法一致

A + B 的结果是 11,1011 记为 S，这里的 S 是补码

	阶码符号位	阶码	尾数符号位	尾数
S	00	11	11	1001

尾数规格化

尾数规格化分两种情况

• 如果 S > 0，需满足 00.1xxxxx
• 如果 S < 0，需满足 11.0xxxxx

如果不满足条件需要小数部分需要进行左移，同时阶码需要发生变化

	阶码符号位	阶码	尾数符号位	尾数
S	00	10	11	(1)0010

S 的的尾数是 11.0010，原码 11.1110，所以 A + B 的值是-0.1110

尾数规格化(右移)

尾数规格化，一般都是左移，只有在双符号位不一致的情况下，才进行右移

右移的话需要进行舍入操作，在二进制中的舍入是 0 舍 1 入法

例如：

• 10.10110111 右移一位，符号位补 1，11.01011011(1)，阶码需要 +1
  • 如果是 10，右移符号位补 1，小数位补 0
  • 如果是 01，右移符号位补 0，小数位补 1
• 由于舍弃的是 1，所以还需要 +1，得到的结果是 11.01011100

0 舍 1 入可能会有溢出

溢出判断

在浮点数中判断溢出：在规格化后判断阶码的符号位是否一致，如果一致就没有溢出，如果不一致就溢出了