地心地固坐标系的原点在地心，Z轴指向北极点，X轴指向本初子午线与赤道的交点，Y轴指向符合右手定则，如下图所示。
图1 地心地固坐标系
北天东坐标系的原点在任选的一点，X轴指向北，Y轴指向天，Z轴指向东，如下图所示。
图2 北天东坐标系
下面实现地心地固坐标系到北天东坐标系的转换，问题描述为：设一点在地心地固坐标系下的坐标是
，设北天东坐标系的原点
点在地心地固坐标系下的坐标是
，
点的经度和纬度分别是
和
。求
在北天东坐标系下的坐标
。
要实现坐标系转换，其实就是平移和旋转。
**第一步，**进行平移，令，相当于得到
点在图3坐标系下的坐标。
图3
**第二步，**将图3的坐标系旋转成图2的样子。这里需要多次旋转，每次以某个轴为对称轴进行旋转，对应的坐标变换参考这篇文章。这里共需要3次旋转。
**（1）**以y1轴为对称轴，顺时针旋转90°，得到图4的样子。
图4
这里绕y1轴顺时针旋转90°，相当于逆时针旋转-90°，因此得到旋转矩阵：
设点在图4坐标系下的坐标是
，则
（2） 以x2轴为对称轴，顺时针旋转，得到图5的样子。经过这一步旋转，x3轴和y3轴就处在过O3点的经度线所在的平面了，而且z3轴指向了东。
图5
对应的旋转矩阵为
设点在图5坐标系下的坐标是
，则
（3） 以z3轴为对称轴，顺时针旋转。经过这一步，把x3轴拧向了北，y3轴拧向了天，于是得到图2中的北天东坐标系。
对应的旋转矩阵为
因此，点在北天东坐标下的坐标为
综上， 从变换到
的公式可以写成：
化简得：