先看 bbr，以 2 条流 bw 收敛为例，微分方程组如下：
{ d x d t = C ⋅ g ⋅ x g ⋅ x + y − x d y d t = C ⋅ g ⋅ y g ⋅ y + x − y \begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=C\cdot\dfrac{g\cdot x}{g\cdot x+y}-x\\\ \dfrac{dy}{dt}=C\cdot\dfrac{g\cdot y}{g\cdot y+x}-y \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧dtdx=C⋅g⋅x+yg⋅x−x dtdy=C⋅g⋅y+xg⋅y−y
它对应下面的递推式：
{ x t = C ⋅ g ⋅ x t − 1 g ⋅ x t − 1 + y t − 1 y t = C ⋅ g ⋅ y t − 1 g ⋅ y t − 1 + x t − 1 \begin{cases} x_{t}=C\cdot \dfrac{g\cdot x_{t-1}}{g\cdot x_{t-1}+y_{t-1}}\\\ y_{t}=C\cdot \dfrac{g\cdot y_{t-1}}{g\cdot y_{t-1}+x_{t-1}} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧xt=C⋅g⋅xt−1+yt−1g⋅xt−1 yt=C⋅g⋅yt−1+xt−1g⋅yt−1
很显然，通过递推式推导收敛性质非常方便：
- 当 n 趋向于无穷大时，趋向于一个定值 X，趋向于一个定值 Y。
即 x[n]，y[n] 不再变化时，递推式变成了方程组：
{ X = C ⋅ g ⋅ X g ⋅ X + Y Y = C ⋅ g ⋅ Y g ⋅ Y + X \begin{cases} X=C\cdot\dfrac{g\cdot X}{g\cdot X+Y}\\\\Y=C\cdot\dfrac{g\cdot Y}{g\cdot Y+X}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧X=C⋅g⋅X+Yg⋅XY=C⋅g⋅Y+Xg⋅Y
解得两条直线的交点： X = Y = C ⋅ g g + 1 X=Y=\dfrac{C\cdot g}{g+1} X=Y=g+1C⋅g
然而直接分析微分方程组更容易，并且可以直接从相图中看出所以然，这也是我为什么一直用微分方程组表达的原因。
若要收敛，则：
{ d x d t = 0 d y d t = 0 \begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=0\\\\\dfrac{dy}{dt}=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧dtdx=0dtdy=0 即： { x = C ⋅ g ⋅ x g ⋅ x + y y = C ⋅ g ⋅ y g ⋅ y + x \begin{cases} x=C\cdot\dfrac{g\cdot x}{g\cdot x+y}\\\\y=C\cdot\dfrac{g\cdot y}{g\cdot y+x}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=C⋅g⋅x+yg⋅xy=C⋅g⋅y+xg⋅y
看起来和递推式一模一样，但不同的是它可以看到收敛点是否稳定。我们画出相图，其实就是上面的图，两条直线将第一象限分割成了 4 个区域，我们分别分析在这 4 个区域中 d x d t \dfrac{dx}{dt} dtdx， d y d t \dfrac{dy}{dt} dtdy 的符号即可，正号向右或向上，负号向左或向下，可得(为了画图方便，我将 g 放大到 2.5)：
由此轻易获得稳定的不动点，在 g > 1 时， X = Y = C ⋅ g g + 1 X=Y=\dfrac{C\cdot g}{g+1} X=Y=g+1C⋅g，若 0 < g < 1，则 x，y 是发散的。
接下来分析收敛速度，我这里不需要确定精确的数值关系，只需要一个定性关系，获得收敛速度和增益 g 的关系，因此就不需要线性化矩阵和求解特征方程了，只需要观测方程：
f ( x ) = C ⋅ g ⋅ x g ⋅ x + K f(x)=C\cdot \dfrac{g\cdot x}{g\cdot x+K} f(x)=C⋅g⋅x+Kg⋅x
将 K 看作常量，当 g 增加时，f(x) 更快逼近 C，但 K 是一个与 f(x) 相对称的僵持量 f(y)，因此当 g 增加时，f(x)，f(y) 更快逼近稳定点 X = Y = C ⋅ g g + 1 X=Y=\dfrac{C\cdot g}{g+1} X=Y=g+1C⋅g
现在看 inflight 守恒算法，同样的假设下，微分方程组如下：
{ d x d t = C ⋅ x ⋅ R + I x ⋅ R + I + y ⋅ R + I − x d y d t = C ⋅ y ⋅ R + I y ⋅ R + I + x ⋅ R + I − y \begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=C\cdot\dfrac{ x\cdot R+I}{x\cdot R+I+y\cdot R+I}-x\\\ \dfrac{dy}{dt}=C\cdot\dfrac{y\cdot R+I}{y\cdot R+I+x\cdot R+I}-y \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧dtdx=C⋅x⋅R+I+y⋅R+Ix⋅R+I−x dtdy=C⋅y⋅R+I+x⋅R+Iy⋅R+I−y
按照和 bbr 类似方法可得到方程组：
{ x 2 R + x y R + ( I − C ⋅ R ) x − C ⋅ I = 0 y 2 R + x y R + ( I − C ⋅ R ) y − C ⋅ I = 0 \begin{cases}x^2R + xyR + (I - C\cdot R)x - C\cdot I = 0\\y^2R + xyR + (I - C\cdot R)y - C\cdot I = 0\end{cases} {x2R+xyR+(I−C⋅R)x−C⋅I=0y2R+xyR+(I−C⋅R)y−C⋅I=0
依然定性分析收敛速度，随着 I 的增大， d x d t \dfrac{dx}{dt} dtdx， d y d t \dfrac{dy}{dt} dtdy更快接近 1 ⋅ I 2 ⋅ I \dfrac{1\cdot I}{2\cdot I} 2⋅I1⋅I，收敛越快，但 buffer 占量也随之增加。
两条曲线的夹角越大，收敛越快，这个可以在相图中用几何方法证明
给出一个 inflt 守恒数值解的代码，3 流收敛：
python
C, R = 10, 5
def dx(a, b, c, r, I):
d = C* (a*R + I) / ((b + c)*r + a*R + I) - a
return d
...
x1[i] = x1[i-1] + (dx(x1[i-1], x2[i-1], x3[i-1], r[i-1], I)) * dt
x2[i] = x2[i-1] + (dx(x2[i-1], x1[i-1], x3[i-1], r[i-1], I)) * dt
x3[i] = x3[i-1] + (dx(x3[i-1], x1[i-1], x2[i-1], r[i-1], I)) * dt
r[i] = (x1[i-1]*R + x2[i-1]*R + x3[i-1]*R + 3*I) / C我们看到了 bbr 和 inflt 守恒算法的殊途同归。
但且慢，bbr 应该用我前面那篇文章(bbr 微观建模)里的模型，如此一来增益 g 就不再是常量，而与共存流的相位差有关了，假如两个流的相位差为 0，则 g = 1，退化为同步 mimd，永不收敛，但在统计意义上，大量流共存场景，这种现象属实大概率只存在一个 probertt 周期，这就是 bbr 代码在结束 probertt 之后随机部署 probebw phase 的意义。
然而 inflt 守恒算法没有这么多边角事。此后我会把 bbr 1.25X bdp 收敛的过程如何均匀平铺在整个时间轴的细节给出。
浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。