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简介
多项式承诺是一种实用性比较强的密码学承诺方案，允许一个方（承诺者）向另一个方（验证者）承诺一个多项式的值，而不泄露多项式的具体形式。在零知识证明、可验证密码共享等领域有广泛应用，常见的多项式承诺有Kate多项式承诺、FRI多项式承诺，IPA多项式承诺等。本文将重点介绍Kate多项式承诺的构造和应用。
在阅读下文之前，了解基础的密码学承诺原理和应用是非常有必要的，读者可以参考以下几篇文章：
《密码学承诺之原理和应用 - 概览》
《密码学承诺zhi原理和应用 - Sigma承诺》
《密码学承诺之原理和应用 - Pedersen承诺》
前言
多项式
在详细介绍Kate多项式承诺之前，我们先来简单介绍一下多项式的基本概念。多项式一般表示为：
\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_dx^d = \sum_{i=0}^{d}a_ix^i \]
上述多项式中，\(a_0, a_1, a_2, ..., a_d\)是多项式系数 ，\(x\)是多项式的变量，\(d\)是多项式的次数(或多项式的度)。多项式的次数是指多项式中最高次幂的指数，例如上述多项式的次数为\(t\),因此上述\(f(x)\)我们也称作d次多项式 。多项式系数\(a_0, a_1, a_2, ..., a_d\)是多项式的重要组成部分，它们决定了多项式的形状和性质，也是需要保护的重要信息。
多项式的值 是指将变量x代入多项式后的结果，例如\(f(\beta)\)表示将\(x=\beta\)代入多项式中，计算出的结果。
多项式的根 是指多项式的值为0的点，即\(f(x) = 0\)的点。
多项式有两个重要的性质：
- 一元n次多项式最多有n个根 ，假设根为\(\beta_1, \beta_2, ..., \beta_d\)，则多项式可以表示为：\(f(x) = (x-\beta_1)(x-\beta_2)...(x-\beta_d)\)
- 商多项式 ，多项式减去在某一个点的多项式值(如点：<\(a, f(a)\)>), 可以被另一个多项式整除，这个多项式称为商多项式 。商多项式表示为\(h(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
注：在零知识证明中，通常会将要证明的问题转化为多项式表达，并通过多项式与商多项式的等式关系来进行证明。
双线性映射
在多项式承诺验证中，会用到双线性映射的概念。双线性映射（Bilinear Map）是数学中一种重要的映射，尤其在密码学和数论中有广泛的应用。它是一种特殊的函数，具有以下性质：
定义
设\(G\)是一个乘法循环群, \(g\)是一个生成元, \(G_T\)是另一个群。一个映射\(e: G \times G \rightarrow G_T\)被称为双线性映射，如果满足以下条件：
- 双线性 ：对于任意的\(a, b \in Z_p\)和\(g, h \in G\)，有\(e(g^a, h^b) = e(g, h)^{ab}\)
- 非退化性 ：对于任意的\(g \in G\)，\(e(g, g) \neq 1\)
- 可计算性 ：对于任意的\(g, h \in G\)，\(e(g, h)\)可以在多项式时间内计算
重要性质：
- 可交换性：对于任意的\(g, h \in G\)，\(e(g, h) = e(h, g)\)
- 分配性：对于任意的\(g, h1, h2 \in G\)，\(e(g, h1 \cdot h2) = e(g, h1) \cdot e(g, h2)\)
- \(e(g, g)为G_T\)的一个生成元
多项式承诺
多项式承诺主要流程如下：
- [00] Setup初始化阶段 ：承诺者和验证者共享公共参考串CRS
- CRS：common reference string，是一个公开的字符串，一般通过可信的第三方生成，用于多项式承诺的构造
- [01] Commit承诺阶段 ：承诺者计算多项式承诺\(C = Commit(CRS, f(α))\)，并发送\(C\)给验证者。
- C的计算依赖于多项式\(f(x)\)和公共参考串CRS
- 注在多项式承诺中，多项式的度需要满足\(d \leq t\)，其中\(t\)是公共参考串中的最高幂次
- [02] Open打开阶段 ：承诺者揭示多项式\(f(x)\)
- f(x)是多项式的具体形式，承诺者直接揭示多项式\(f(x)\)，如多项式参数和系数
- [03] VerifyPoly验证阶段 ：验证者重新计算多项式承诺\(C^{'} = Commit(CRS, f(α))\)
- 验证者重新计算多项式承诺\(C^{'}\)，并验证\(C^{'}\)和\(C\)是否相等
以上方式的多项式承诺打开阶段是明文揭示，即承诺者直接揭示多项式\(f(x)\)，验证者重新计算多项式承诺\(C^{'} = Commit(CRS, f(x))\)，并验证\(C^{'}\)和\(C\)是否相等。
明文揭示的方式简单直接，但存在以下问题：
- 多项式阶数较高时，明文揭示的方式会导致通信量较大
- 明文揭示的方式无法保护多项式，必须公开
Kate多项式承诺
为了解决明文揭示 多项式承诺存在的问题，Kate多项式承诺基于多项式点打开 的方式，实现了多项式的承诺和验证。点打开 方式指的是承诺者不直接揭示多项式\(f(x)\)，而是揭示多项式在某个点的值\(f(β)\)，并提供一个witness证明，验证者通过双线性映射验证多项式在β点的值是否正确。通过点打开的方式，Kate多项式承诺解决了明文揭示的问题，同时保护了多项式的隐私。
Kate多项式承诺的构造一般有两种方案，两种方案在安全性上有所不同：
- 计算隐藏的Kate多项式承诺：承诺的值在计算上是隐藏的，意味着对于任何多项式时间的攻击者，无法有效区分两个不同的承诺。换句话说，攻击者在计算上无法从承诺中推断出承诺的内容。
- 无条件隐藏的Kate多项式承诺：承诺的值在计算上是无条件隐藏的，意味着对于任何攻击者，无法从承诺中推断出承诺的内容。
定义上比较抽象，简单来说就是无条件隐藏通过引入随机性，使得承诺的值在计算上无法被推断出来，而计算隐藏仅使用离散对数困难性假设，使得承诺的值在计算上无法被推断出来。
计算隐藏的Kate多项式承诺
计算隐藏的Kate多项式承诺的构造如下:
[00] Setup初始化阶段
Kate多项式承诺需要初始化阶段，主要是生成和公开CRS，以及双线性映射\(e: G \times G \rightarrow G_T\)。在Kate多项式承诺中CRS如下：
\[CRS = (G, g^α, g^{α^2}, ..., g^{α^t}) \]
其中，\(G\)代表乘法群，\(g\)是\(G\)的一个生成元，\(α\)是一个随机数，\(t\)是最高幂次。注：在零知识证明中，\(α\)是一个私密的值，不会公开，需要被安全销毁（通常被称为有毒废料）。
注：在Kate论文中，CRS被叫做PK，即公钥。
[01] Commit承诺阶段
承诺者计算多项式的承诺值\(C = Commit(CRS, f(x))\)，并发送\(C\)给验证者。多项式的承诺值计算方式如下：
\[C = g^{f(α)} = g^{\sum_{i=0}^{d}{a_iα^i}} = \prod_{i=0}^{d}g^{a_iα^i} = \prod_{i=0}^{d}{(g^{α^i})^{a_i}} \]
- \(a_i\)是多项式的系数, 承诺者已知
- CRS是公共参考串，CRS中包含了\(g^{α^i}\)的值，因此承诺者可以在不知道\(α\)的情况下计算\(C\)
[02] CreateWitness点打开阶段
承诺者计算多项式在某个点的值\(f(β)\)，并提供一个witness证明\(w\)，其中\(w\)是多项式在β点的承诺，计算方式如下：
- 首先计算商多项式
\[φ(x) = \frac{f(x) - f(β)}{x - β} = \sum_{i=0}^{d-1}b_ix^i \]
- 计算\(f(x)\)在β点的值
\[f(β) = \sum_{i=0}^{d}a_iβ^i \]
- 计算商多项式在α点的承诺值
\[w = Commit(CRS, φ(x)) \newline = g^{φ(α)} = g^{\sum_{i=0}^{d-1}{b_iα^i}} \newline = \prod_{i=0}^{d-1}g^{b_iα^i} = \prod_{i=0}^{d-1}{(g^{α^i})^{b_i}} \]
承诺者将\((β, f(β), w)\)发送给验证者。
[03] VerifyEval点验证阶段
验证者使用双线性映射验证多项式在β点的打开值是否正确，验证方式如下：
\[e(C, g) \stackrel{?}{=} e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g, g)^{f(β)} \]
正确性验证：
\[e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g, g)^{f(β)} \newline = e(g^{φ(α)}, g^{α-β}) \cdot e(g, g)^{f(β)} \newline = e(g,g)^{φ(α) \cdot (α-β)+f(β)} \]
根据商多项式的定义，有：\(f(α) - f(β) = φ(α) \cdot (α-β)\)，因此：
\[e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g, g)^{f(β)} \newline = e(g,g)^{f(α)-f(β)+f(β)} \newline = e(g,g)^{f(α)} \newline = e(g^{f(α)}, g) \newline = e(C, g) \]
因此，\(e(C, g) = e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g, g)^{f(β)}\)，验证通过。
无条件隐藏的Kate多项式承诺
无条件隐藏的Kate多项式承诺构造与计算隐藏的Kate多项式承诺流程类似，区别在于：
- 初始化阶段的CRS不同
- 承诺值的生成和验证方式不同（承诺值生成基于Pedersen承诺）
初始化阶段
CRS的构造如下：
\[CRS = (G, g^α, g^{α^2}, ..., g^{α^t}, h, h^α, h^{α^2}, ..., h^{α^t}) \]
其中，\(h\)是\(G\)的另一个生成元。
Commit承诺阶段
承诺者计算多项式的承诺值\(C = Commit(CRS, f(x))\)，计算方式如下：
\[C = g^{f(α)} \cdot h^{\hat{f(α)}} \newline f(α) = \sum_{i=0}^{d}{a_iα^i} \newline \hat{f(α)} = \sum_{i=0}^{d}{b_iα^i} \newline = \prod_{i=0}^{d}{(g^{α^i})^{a_i}} \cdot \prod_{i=0}^{d}{(h^{α^i})^{b_i}} \]
CreateWitness点打开阶段
承诺者计算多项式在某个点的值\(f(β)\)，并提供一个witness证明\(w\)，计算方式如下：
- 计算商多项式
\[φ(x) = \frac{f(x) - f(β)}{x - β} \newline \hat{φ(x)} = \frac{\hat{f(x)} - \hat{f(β)}}{x - β} \]
- 计算点打开值
\[w = Commit(CRS, φ(x)) \cdot Commit(CRS, \hat{φ(x)}) \newline = g^{φ(α)} \cdot h^{\hat{φ(α)}} \]
\(g^{φ(α)}\)和\(h^{\hat{φ(α)}}\)计算方式基于CRS（方式与上文相同，略），承诺者将\((β, f(β), \hat{f(β)}, w)\)发送给验证者。
VerifyEval点验证阶段
验证者使用双线性映射验证多项式在β点的打开值是否正确，验证方式如下：
\[e(C, g) \stackrel{?}{=} e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g^{f(β)} \cdot h^{\hat{f(β)}}, g) \]
正确性验证：
\(h\)是\(G\)中的一个群元素，因此不是一般性可设\(h = g^\lambda\)，其中\(\lambda\)是一个随机数。因此：
\[e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g^{f(β)} \cdot h^{\hat{f(β)}}, g) \newline = e(g^{φ(α)} \cdot h^{\hat{φ(α)}}, g^{α-β}) \cdot e(g^{f(β)} \cdot h^{\hat{f(β)}}, g) \newline = e(g^{φ(α)+\lambda\hat{φ(α)}}, g^{α-β}) \cdot e(g^{f(β)+\lambda\hat{f(β)}}, g) \newline = e(g,g)^{φ(α) \cdot (α-β)+\lambda\hat{φ(α)} \cdot (α-β) + f(β) + \lambda\hat{f(β)}} \newline = e(g,g)^{φ(α) \cdot (α-β)+ f(β) + \lambda \cdot(\hat{φ(α)} \cdot (α-β) + \hat{f(β)})} \]
根据商多项式的定义，有：\(f(α) - f(β) = φ(α) \cdot (α-β)\)，\(\hat{f(α)} - \hat{f(β)} = \hat{φ(α)} \cdot (α-β)\)，因此：
\[e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g^{f(β)} \cdot h^{\hat{f(β)}}, g) \newline = e(g,g)^{φ(α) \cdot (α-β)+ f(β) + \lambda \cdot(\hat{φ(α)} \cdot (α-β) + \hat{f(β)})} \newline = e(g,g)^{f(α) - f(β)+ f(β) + \lambda \cdot(\hat{f(α)} - \hat{f(β)} + \hat{f(β)})} \newline = e(g,g)^{f(α) + \lambda \cdot \hat{f(α)}} \newline = e(g^{f(α)} \cdot g^{\lambda \cdot \hat{f(α)}}, g) \newline = e(g^{f(α)} \cdot h^{\hat{f(α)}}, g) \newline = e(C, g) \]
因此，\(e(C, g) = e(w, g^{α}/g^{β}) \cdot e(g^{f(β)} \cdot h^{\hat{f(β)}}, g)\)，验证通过。
结语
Kate多项式承诺是一种实用性比较强的多项式承诺方案，通过点打开的方式，可以在保护多项式隐私的同时，有效减少通信量。Kate多项式承诺在零知识证明、可验证密码共享等领域有广泛应用。了解Kate多项式承诺的原理和构造，对于学习zk-snarks、zk-starks等零知识证明协议是非常有帮助的。通过本文的介绍，希望读者能够对Kate多项式承诺有一个初步的了解，并为进一步学习零知识证明协议打下基础。