平面声波的一维Helmholtz波动方程是一种简化的声波传播模型,适用于在一维空间中传播的声波。
声波的基本物理过程---傅里叶变换---Helmholtz方程
一、声波的基本波动方程
在无源、无耗散、均匀介质中的一维声波的波动方程为:
其中:
表示位置 处和时间 时的声压,
是声波在介质中的传播速度,
表示声压对时间的二阶导数(即声压随时间的加速度),
表示声压对空间坐标的二阶导数(即声压随空间的变化率)。
二、Helmholtz方程的推导
为了将波动方程简化为Helmholtz方程,需假设声压随时间的变化具有简谐性质,即声波是单一频率的正弦波。即:
其中:
是只随空间位置 变化的函数,
是声波的角频率,
描述了声波的时间依赖部分,表示一个简谐振荡的形式。
将假设带入波动方程中,时间的二阶导数为:
代入波动方程:
由于时间部分是相同的,因此可以得到仅随空间 变化的方程:
三、一维Helmholtz波动方程
最终得到的方程称为一维Helmholtz波动方程,形式为:
其中:
是空间中的声压分布,
是波数,代表声波在空间中的传播特性。
四、 Helmholtz波动方程的解
一维Helmholtz方程的通解为:
其中:
和是待定的常数,代表沿正向传播和沿反向传播的波,
和分别代表波向正 方向和负 方向传播。
这种解形式表示声波可以在介质中沿不同方向传播,具体形式取决于边界条件(如吸声材料的反射特性等)。