填算符

下发题解说的神马东西，赛时根本想不到

讲一个赛时想得到的 $O(n\log 值域)$ 的思路，很好理解

我们处理出二进制下每一位上的 1 的最后一次出现的位置，将第 $i\ (i\in[0,60])$ 位上的 1 最后一次出现的位置记作 $pos_i$

同时我们设 $H=n-k-1$ 为总共有的 bitor 的操作数

有以下结论：由于 $pos_i$ 是 $i$ 位上最后一个 1，所以一旦它后面放了一个与，这一位上就是 0 了；若我们想要这一位为 1，必须至少满足从 $pos_i$ 到最后的运算符全是 bitor。

发现有以下情况：

若 $n-pos_i>H$，即 $pos_i$ 之后需要放的运算符的数量比 bitor 的总操作数多，也就是说在 $pos_i$ 之后我一定需要放 bitand 操作，所以这种情况下这一位一定不对答案有贡献
若 $n-pos_i<H$，也就是说我可以从 $pos_i$ 的前一个位置开始到最后全放 bitor 操作，那么这样第 $i$ 位上可以是 1，为了使值最大，所以第 $i$ 位上一定要是 1，所以从第 $pos_i$ 位到最后必须全是 bitor 操作，对于这种情况的 $i$ 我们记为合法位
若 $n-pos_i=H$，也就是说从第 $pos_i$ 到最后的运算符可以全是 bitor 操作，但 $pos_i$ 的前一位只能是 bitand

所以我们特判从第 1 个位置到 $pos_i$ 的前一位全放 bitand 能不能让到第 $pos_i$ 个数时得到的值第 $\forall $ $j 满足 [pos_j=pos_i]$ 位为 1，若能则该位也为合法位，否则不合法

对于所有合法位的 $pos$ 取最小值设为 $end$，因为已经保证 $end$ 到最后的预算符全是 bitor，此时有一下两种可能，而我们想尽量构成第二种可能：

$end$ 的前一位预算符也为 bitor，这样我们一定能达到答案最大了 ，想使答案最优直接让从 $end-2$ 开始的 $k$ 个运算符为 bitor 就好了
$end$ 的前一位在某些情况为 bitand 也是可以使答案最大的，所以我们判断能不能让 $end$ 的前一位为 bitand 同样使答案最大；

发现可以的条件相当于从第 $end-1$ 个数到最前面用仅剩的 bitor 操作得到一个答案，使得这个答案第 $\forall $ $i 满足 [pos_i=end]$ 位为 1，若能满足条件则第 $end-1$ 个操作符为 bitand。

满足条件的判断又和上述的第三个情况判断一致了，相当于以 $end-1$ 为下界，再做一次求 $min(合法的\ pos)$，实质上是不断的递归。

所以一个递归 $dfs(end, H)$ 表示下界为 $end$，还剩 $H$ 个 bitor 操作，判断能不能得到我想要的答案：

若不能则直接从第 $end-2$ 开始的 $k-res$ 个运算符全为 bitand 就是答案（$res$ 为在之前的递归中已经确定的 bitand 的个数）

若能则第 $end-1$ 个位置可以为 bitand ，并设 $end'=min(这一层中合法的\ pos)$，继续递归 $dfs(end',H-(end-end'))$ 判断第 $end'-1$ 个位置能不能为 bitand。

形式化如下：

【填算符】（log 值域的做法）