第三章补充:拉格朗日乘子法(B站:中华科技大学-李柏坚)

原视频:28-9 拉格朗日乘数_哔哩哔哩_bilibili

我们现在来介绍一下拉格朗日乘子法的用途:

上图👆是一个三维空间的曲面,我们现在给它一个限制条件,来求它的极值。

如上图👆,假设曲面为,限制条件为平面(注意:这个平面不一定和xy平面垂直哦~),与曲面的交线是一个在空间中的抛物线。那么它会有一个极值(最小值)。那么问题来了,这个极值怎么算?首先,我们要先来了解这个算法。

如上图👆,我们做出了这个曲面的等高线,右侧为等高线的俯视图(即在xy平面上的投影)。那么平面和曲面形成的交线会和等高线在什么地方造成最小值呢?

如下图👇,应该在红色框框这个地方(切线)发生最小值

我们用下面这张图看就更容易理解了👇

绿色线为限制条件在xy平面上的投影(注意:由于平面不一定和xy平面垂直,所以平面与曲面的交线在xy平面上的投影也不一定是直线),而圈圈就是等高线在xy平面上的投影。要想发生极值,那绿色的线就要和圈圈发生相切的情况,而且它们会有共同的切线斜率(即共同的切线)。那么我们就要准备下结论了:绿色线和等高线在切点处,它们法线的向量在方向上是相同或相反的,在数值上是成比例的,即:,这也就是拉格朗日乘子法的公式。

如果你觉得用几何的方式不容易理解,我们也可以用代数的方式,利用连锁率来解释。

由于限制条件为,我们把这里的看作是关于的函数,那么限制条件可写成隐函数的形式:

既然曲面是限制在的情况下,那么曲面函数也可写成:

下面,我们利用连锁率:

例题:

所以,上面题目中的极大值是5,极小值是-5

注意:如果碰到更多的条件,就要扩展出更多的方程式,求出更多的

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