高等数学学习笔记 ☞ 连续函数的运算与性质

1. 连续函数的运算

（1）若函数在点处连续，则函数在点处也连续。

（2）若函数在区间上连续，则函数在区间上也连续。

若函数在定义域上是单调且连续的，那么其反函数在定义域上

也是单调且连续的。

备注：上述声明函数必须是单调的，目的是保证函数存在反函数。

已知函数在处连续，函数在处连续，那么函数在处连续。

与此同时，有：。复合函数在该点连续时才能使用此公式。

备注：复合函数：通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。

（1）基本初等函数在其定义域内是连续的。（2）初等函数在其定义域内是连续的。

备注：

①：初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方以及有限次函数复合而产生，

并且可以用一个解析式表达的函数。

②：幂指函数：形如的函数。幂指函数不属于初等函数,属于复合函数,常用处理方式:。

（1）最大值：设函数的定义域为，存在，对于，都有，则称是函数的最大值。

（2）最小值：设函数的定义域为，存在，对于，都有，则称是函数的最小值。

（3）最大值点：函数取得最大值时所对应的点，称为最大值点。

（4）最小值点：函数取得最小值时所对应的点，称为最小值点。

备注：

①：函数的最大值与最小值是可以不存在的，比如单调函数在区间端点无定义。

②：若函数的最大值与最小值存在，那么最大值和最小值是唯一的，是可以相等的，但最大值要大于等于最小值。

③：若函数的最大值与最小值存在，那么最大值点和最小值点不一定是唯一的。

（1）最大值和最小值定理：在闭区间上连续的函数，一定存在最大值和最小值。

（2）有界性定理：在闭区间上连续的函数，在该区间上一定有界。

（3）零点定理：设函数在闭区间上是连续的，若是异号的(即：)，

则至少存在一点，使得。

备注：零点：若函数，那么称是函数的零点。

（4）介值定理：设函数在闭区间上是连续的，，，对于与间的任意数，

则至少存在一点，使得。

推论：设函数在闭区间上是连续的，函数在闭区间上的最小值和最大值分别为，

①：则函数的值域为。

②：对于，则至少存在，使得。