前言
一年一度，生长在高山上的雪松果树又结果了。
第二天,雪松果树长成了一颗参天大树, 上面长满了雪松果。
求雪松果树生长周期
整活向题解。
奋力卡常 3h，纪念一下。
是的，我一个人的提交占了三页。
题意简述
给一棵树，查询某节点的 \(k\)-cousin。
题解
基本思路
虽然有很多更优的做法，但是我们考虑线段树合并。
在每个节点建一棵权值线段树，维护子树内每个深度的节点个数。
把询问离线下来，对整棵树进行 dfs，将每棵子树的线段树合并到该节点的线段树，之后处理该节点的询问。
这里需要将询问转化为求原询问节点的 \(k\)-father 的 \(k\)-son 数量减一。
求 \(k\)-father 可以使用倍增。
于是我们可以写出如下代码：
cpp
#include <cstdio>
#include <vector>
#define N 1000005
int n,q,ans[N],fa[N][21],rt[N];
int hed[N],tal[N],nxt[N],cnte;
void adde(int u,int v) {tal[++cnte]=v,nxt[cnte]=hed[u],hed[u]=cnte;}
struct query {int id,k;};
std::vector<query> a[N];
struct sgt
{
#define mid (lb+rb>>1)
#define pushup(x) d[x]=d[ls[x]]+d[rs[x]]
int d[N<<5],ls[N<<5],rs[N<<5],idx;
void modify(int &x,int t,int lb,int rb)
{
if(!x) x=++idx;
d[x]++;
if(lb==rb) return;
if(t<=mid) modify(ls[x],t,lb,mid);
else modify(rs[x],t,mid+1,rb);
}
int query(int x,int t,int lb,int rb)
{
if(!x) return 0;
if(lb==rb) return d[x];
if(t<=mid) return query(ls[x],t,lb,mid);
else return query(rs[x],t,mid+1,rb);
}
int merge(int x,int y,int lb,int rb)
{
if(!x||!y) return x+y;
if(lb==rb) {d[x]+=d[y];return x;}
ls[x]=merge(ls[x],ls[y],lb,mid);
rs[x]=merge(rs[x],rs[y],mid+1,rb);
pushup(x);return x;
}
#undef mid
#undef pushup
} tr;
void dfs(int x,int f,int dep)
{
tr.modify(rt[x],dep,1,n);
for(int i=hed[x];i;i=nxt[i]) if(tal[i]!=f)
dfs(tal[i],x,dep+1),rt[x]=tr.merge(rt[x],rt[tal[i]],1,n);
for(int i=0;i<a[x].size();i++)
ans[a[x][i].id]=tr.query(rt[x],dep+a[x][i].k,1,n)-1;
}
main()
{
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=2;i<=n;i++) scanf("%d",&fa[i][0]),adde(fa[i][0],i);
for(int i=1;i<=20;i++) for(int j=2;j<=n;j++)
fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
for(int i=1;i<=q;i++)
{
int u,k;
scanf("%d%d",&u,&k);
int d=0;
for(int j=20;j>=0;j--)
if(d+(1<<j)<=k) u=fa[u][j],d+=1<<j;
if(u) a[u].push_back({i,k});
}
dfs(1,0,1);
for(int i=1;i<=q;i++) printf("%d ",ans[i]);
}像这样。
优化
如果你按照我们刚才的思路写出了如上代码，那么恭喜你，你可以获得 \(40\) 分的好成绩。
于是我们需要优化。
由于剩下的点都 MLE 了，所以需要优化空间。
首先，注意到线段树的数组开得很大，这是因为每个节点都有一棵线段树。然而我们线段树合并统计答案时，当一个节点的答案被合并到父节点时，这个节点的线段树就再也用不上了。所以我们回收这棵线段树上的节点。这样，线段树的空间只需开到 \(4e6\)。
于是得到这样一棵线段树：
cpp
struct sgt
{
#define mid (lb+rb>>1)
int d[N<<2],ls[N<<2],rs[N<<2],idx;
int st[M],tp; //回收
void modify(int &x,int t,int lb,int rb)
{
if(!x) x=tp?st[tp--]:++idx; //使用先前回收的空间
d[x]++;
if(lb==rb) return;
if(t<=mid) modify(ls[x],t,lb,mid);
else modify(rs[x],t,mid+1,rb);
}
int query(int x,int t,int lb,int rb)
{
if(!x) return 0;
if(lb==rb) return d[x];
if(t<=mid) return query(ls[x],t,lb,mid);
return query(rs[x],t,mid+1,rb);
}
int merge(int x,int y,int lb,int rb)
{
if(!x||!y) return x|y;
d[x]+=d[y];
if(lb<rb)
ls[x]=merge(ls[x],ls[y],lb,mid),
rs[x]=merge(rs[x],rs[y],mid+1,rb);
d[y]=ls[y]=rs[y]=0,st[++tp]=y; //回收空间
return x;
}
#undef mid
} tr;其次，我们开了 \(1e6\) 个 vector 来存储询问，这样消耗的空间是无法接受的，所以需要改变询问的存储方式。
可以使用一种链式前向星式的做法：
cpp
int qh[N]; //链头
int qnxt[N]; //下一个询问的编号
struct query
{
int v,k; //v:u的k-father
} a[N];
void addq(int x)
{
qnxt[x]=qh[a[x].v];
qh[a[x].v]=x;
}我们看到用来求 k-father 的倍增数组也占了很大的空间，于是改用树剖。
cpp
int dep[N],son[N],siz[N],top[N],dfn[N],li[N],id;
void dfs1(int x) //正常的树剖
{
siz[x]=1,dep[x]=dep[fa[x]]+1;
for(int i=hed[x];i;i=nxt[i])
if(!siz[tal[i]])
{
dfs1(tal[i]);
siz[x]+=siz[tal[i]];
if(siz[tal[i]]>siz[son[x]])
son[x]=tal[i];
}
}
void dfs2(int x,int tp) //正常的数剖
{
li[dfn[x]=++id]=x,top[x]=tp;
if(!son[x]) return;
dfs2(son[x],tp);
for(int i=hed[x];i;i=nxt[i])
if(!top[tal[i]])
dfs2(tal[i],tal[i]);
}
int anc(int u,int k)
{
int v=u;
while(v&&dep[u]-dep[top[v]]<k)
v=fa[top[v]];
if(!v) return 0; //没有k-father
/*
例：u=8,k=4,dep[8]=7
跳到了重链1-6
1-2-3-4-5-6
^ ^ v
top kfa
dep[3]=dep[u]-k
dfn[1]+dep[3]-dep[1]=dfn[3]
li[dfn[3]]=3
*/
return li[dfn[top[v]]+dep[u]-k-dep[top[v]]];
}像这样。
终极优化
如果你使用如上方式优化，那么恭喜你，可以不再 MLE 并获得 \(76\) 分至 \(92\) 分不等的好成绩。
当然，如果你的写法常数更小卡过去了也行。
为什么不能 AC 呢？
让我们看看最初的代码中调用线段树的部分：
cpp
rt[x]=tr.merge(rt[x],rt[tal[i]],1,n);线段树的值域是 \(n\)。
然而，我们的线段树维护的是深度。
所以值域应该为深度的最大值。
代码
cpp
#include <cstdio>
#define N 1000002
int n,q,md,ans[N],fa[N],rt[N];
int hed[N],tal[N],nxt[N],cnte;
void adde(int u,int v) {tal[++cnte]=v,nxt[cnte]=hed[u],hed[u]=cnte;}
int qh[N],qnxt[N];
int av[N],ak[N];
void addq(int x) {qnxt[x]=qh[av[x]],qh[av[x]]=x;}
int dep[N],son[N],siz[N],top[N],dfn[N],li[N],id;
void dfs1(int x)
{
siz[x]=1,dep[x]=dep[fa[x]]+1;
if(dep[x]>md) md=dep[x];
for(int i=hed[x];i;i=nxt[i]) if(!siz[tal[i]])
{
dfs1(tal[i]),siz[x]+=siz[tal[i]];
if(siz[tal[i]]>siz[son[x]]) son[x]=tal[i];
}
}
void dfs2(int x,int tp)
{
li[dfn[x]=++id]=x,top[x]=tp;
if(!son[x]) return;
dfs2(son[x],tp);
for(int i=hed[x];i;i=nxt[i]) if(!top[tal[i]]) dfs2(tal[i],tal[i]);
}
int anc(int u,int k)
{
int v=u;
while(v&&dep[u]-dep[top[v]]<k) v=fa[top[v]];
if(!v) return 0;
return li[dfn[top[v]]+dep[u]-k-dep[top[v]]];
}
struct sgt
{
#define mid (lb+rb>>1)
int d[N<<2],ls[N<<2],rs[N<<2],idx;
int st[N<<2],tp;
void modify(int &x,int t,int lb,int rb)
{
if(!x) x=tp?st[tp--]:++idx;
d[x]++;
if(lb==rb) return;
if(t<=mid) modify(ls[x],t,lb,mid);
else modify(rs[x],t,mid+1,rb);
}
int query(int x,int t,int lb,int rb)
{
if(!x) return 0;
if(lb==rb) return d[x];
if(t<=mid) return query(ls[x],t,lb,mid);
return query(rs[x],t,mid+1,rb);
}
int merge(int x,int y,int lb,int rb)
{
if(!x||!y) return x|y;
d[x]+=d[y];
if(lb<rb)
ls[x]=merge(ls[x],ls[y],lb,mid),
rs[x]=merge(rs[x],rs[y],mid+1,rb);
d[y]=ls[y]=rs[y]=0,st[++tp]=y;
return x;
}
#undef mid
} tr;
void dfs3(int x)
{
tr.modify(rt[x],dep[x],1,md);
for(int i=hed[x];i;i=nxt[i]) if(tal[i]^fa[x])
dfs3(tal[i]),rt[x]=tr.merge(rt[x],rt[tal[i]],1,md);
for(int i=qh[x];i;i=qnxt[i])
ans[i]=tr.query(rt[x],dep[x]+ak[i],1,md)-1;
}
main()
{
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=2;i<=n;i++) scanf("%d",&fa[i]),adde(fa[i],i);
dfs1(1),dfs2(1,1);
for(int i=1;i<=q;i++)
{
int u,k;
scanf("%d%d",&u,&k);
av[i]=anc(u,k),ak[i]=k,addq(i);
}
dfs3(1);
for(int i=1;i<=q;i++) printf("%d ",ans[i]);
}\[\Huge End \]