Hermite 插值

Hermite 插值

不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值相等，甚至要求高阶导数值也相等。满足这种要求的插值多项式就是 Hermite 插值多项式。

下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况。设在节点 a ≤ x 0 < x 1 < ⋯ < x n ≤ b a \leq x_0 < x_1 < \cdots < x_n \leq b a≤x0<x1<⋯<xn≤b 上， y j = f ( x j ) , m j = f ′ ( x j ) ( j = 0 , 1 , ⋯   , n ) y_j = f(x_j), m_j = f'(x_j) (j=0,1,\cdots,n) yj=f(xj),mj=f′(xj)(j=0,1,⋯,n)，要求插值多项式 H ( x ) H(x) H(x)，满足条件
H ( x j ) = y j , H ′ ( x j ) = m j ( j = 0 , 1 , ⋯   , n ) . H(x_j) = y_j,\quad H'(x_j) = m_j \quad(j = 0,1,\cdots,n). H(xj)=yj,H′(xj)=mj(j=0,1,⋯,n).

这里给出的 2 n + 2 2n+2 2n+2 个条件，可唯一确定一个次数不超过 2 n + 1 2n+1 2n+1 的多项式
H 2 n + 1 ( x ) = H ( x ) , H_{2n+1}(x) = H(x), H2n+1(x)=H(x),

其形式为
H 2 n + 1 ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a 2 n + 1 x 2 n + 1 . H_{2n+1}(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_{2n+1}x^{2n+1}. H2n+1(x)=a0+a1x+⋯+a2n+1x2n+1.