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想象你是一家快递公司的调度员，每天的任务是将货物从仓库高效送到客户。你设计了一条完美路线：每辆卡车都走最短路径，运费最省，按时送达------直到有一天，某个司机突然上报了一个诡异的现象：
"老板，我的卡车在某个路口绕圈转了10次，运费反而比直送更便宜！"
你眉头一皱，打开监控系统，发现某个环形路口形成了一个**"流量漩涡"**：卡车反复绕圈，既不从仓库出发，也不抵达客户，但总运费却在下降。这合理吗？
前置知识闪电回顾
在之前的冒险中，我们已经征服了两个关键算法：
- 最大流：用 Dinic 或 Edmonds-Karp 打通网络，让流量像冲向终点。
- 无负环的最小费用流 ：每次沿着残留网络中的最短费用路径增广，保证每一步都最省钱。
那时的世界是简单的------最短路径增广法，坚定地朝着汇点前进，从不绕路，因为图中没有负费用边，在图里绕圈既不能增加最大流，也不能降低费用，却浪费的宝贵的边容量限制。
但当负环出现时，情况就不一样了
现实中的交通网络可能有这样的阴谋：
- 某条环形公路的过路费为负数（比如政府补贴绕路减排）。
- 卡车司机发现：与其直奔终点，不如在环上多绕几圈"白嫖"补贴，总运费反而更低！
在算法世界中，这就是负费用环的破坏力：
- 满足节点流量平衡和边容量限制的情况下，某一部分流量可以既不来自源点，也不流向汇点，而是在环上无限循环。
- 传统的最短路径增广法会陷入死循环（bellman-ford / spfa 不能解决负环的最短路）。
"如何在不减少总流量的前提下，通过科学'绕圈'把运费降到最低？"
这要求我们跳出原来的思维定式，负环可以是敌人，也可以是盟友。既然如此，我们可以在残留网络中精准追踪这些费用黑洞，将它们变成降低费用的优化工具。
"当流量开始打转，费用流的江湖便多了一条潜规则：真正的极简主义，不是拒绝绕路，而是消灭所有不必要的绕路。"
有负费用环的费用流问题
我们已经知道，初始没有负费用环的图，可以运行最短费用路径的增广，保证永不出现负环，但其复杂度并不稳定；如果我们使用了其他增广（如直接使用 dinic ），可以得到最大流，但其中就会出现负环，并非最小费用；而初始有负费用环的图，更需要我们直面负环。
绕圈如何"薅羊毛"？
假设存在一个负费用环 $ C $，其总费用为 $ \sum_{(u,v) \in C} c(u,v) = -10 $，环上最小残余容量为 $ \delta = 3 $。
- 增广操作：沿环推送 $ \delta = 3 $ 的流量。
- 费用变化：总费用减少 $ 3 \times (-10) = -30 $。
- 流量守恒：环上的流量增减相互抵消，总送达量不变。但费用通过负环被降低。
\[\text{新费用} = \text{旧费用} + \delta \cdot \sum_{(u,v) \in C} c(u,v) \]
因为 $ \sum c(u,v) < 0 $，所以费用不升反降。我们通过在负环上绕圈降低了费用，且不影响最终流量。
消圈算法：把"黑洞"变成"提款机
我们这样来实现消圈：
- Step 1. 暴力输出最大流：用任意最大流算法（如 Dinic）等算法快速铺开流量，首先达成最大流，但此时费用可能不是最优。
- Step 2. 精细化消圈：在残留网络中"排雷"。在残留网络中用 Bellman-Ford / SPFA 扫描负费用环，
- Step 3. 增广负环：选择一个负环 $ C $，通过负环增广优化费用。沿 $ C $ 推送尽可能多的流量，直到环上某条边容量耗尽。减去相应的费用。这个负环也就被消除了。
重复检测与打击，直到网络恢复无负环。
为什么这么做？
定理1 ：沿负环增广不改变总流量。
证明：
- 设原流为 $ f $，沿环 $ C $ 增广 $ \delta $，得到新流 $ f' $。
- 对任意节点 $ u \in C $，流入增量 = 流出增量（环上每边增减 $ \delta $），故流量守恒。
- 源点 $ s $ 和汇点 $ t $ 不参与环 $ C $，因此 $ |f'| = |f| $。
直觉上看，有一部分流量既不从源点出发，也不到达汇点。而是一直在图中占据边容量转圈以减小费用。某一个节点的流出/流入量可能比源点更多！
定理2 ：流差分解定理
设 $ f $ 和 $ f' $ 为两个不同的最大流。定义差流 $ \Delta = f' - f $，则 $ \Delta $ 满足：
- 流量守恒：对任意节点 $ u $， $ \sum_{(v,u) \in E} \Delta(v,u) = \sum_{(u,v) \in E} \Delta(u,v) $；
- 容量约束：$ |\Delta(u,v)| \leq \text{残余容量}(u,v) $。
差流 $ \Delta $ 可分解为若干简单环的叠加，即：
\[\Delta = \sum_{C \in \mathcal{C}} \delta_C \cdot \chi_C \]
其中 $ \chi_C $ 为环 $ C $ 的指示函数，$ \delta_C $ 为沿环 $ C $ 的增广量。
这个定理符合直觉较容易理解，因为对两个最大流做差：
\[\text{Cost}(f') - \text{Cost}(f) = \sum_{(u,v) \in E} c(u,v) \cdot \Delta(u,v) = \sum_{C \in \mathcal{C}} \delta_C \cdot \sum_{(u,v) \in C} c(u,v). \]
若 $ \text{Cost}(f') < \text{Cost}(f) $，则至少存在一个环 $ C $ 满足：
\[\sum_{(u,v) \in C} c(u,v) < 0 \quad \text{（负费用环）}. \]
实际上，"不存在负费用环"和"是费用最小的最大流"是充分必要条件。所有最大流的差异均可表示为若干环的叠加。若存在费用更小的最大流，其差流中必含负费用环；反之，若残留网络无负费用环，则当前流费用最小。
所以，消圈算法只需要先找到任意一个最大流，通过消除其中的负环，逐步优化费用，最终总是可以得到最小费用最大流。
负环的高效选择策略
假设残留网络中存在多个负环，选择哪一个呢？这直接关系到算法的正确性。你的名字叫做 Bellman-Ford，是一名负环猎人，当你冲进残留网络。眼前出现了三个负环：
- 环A：总费用-30，长度10条边（平均每条-3）。
- 环B：总费用-8，长度2条边（平均每条-4）。
- 环C：总费用-100，长度50条边（平均每条-2）。
问题：你会优先消灭哪个环？
- 无脑选择：随机选择一个环，这使得复杂度和值域相关，达到指数级复杂度
- 菜鸟选择：总费用最低的环C（-100），以为能省最多钱。
- 高手选择：平均费用最低的环B（-4/边），这才是真正的"性价比之王"。
最小平均费用环（MMCC）消圈算法
定义 ：
对环 $ C $，其平均费用为：
\[\mu(C) = \frac{\sum_{(u,v) \in C} c(u,v)}{|C|} \]
即费用之和除以总长度。算法每一轮会选择找到 $ \mu(C) $ 最小的负环。
操作步骤：
- 选择消圈：和朴素的消圈一样，在残留网络中循环"排雷"并消圈，直到不存在负圈。
- 计算最小平均费用环：怎样找到平均费用最小的环？动态规划是方法之一。
- 以 \(f_{k,j}\) 表示源点刚好走 \(k\) 条边到达节点 \(j\) 的费用最短路径，那么可用 \(f_{k,j} = \min_{(i,j) \in A} \left\{ f_{k-1,i} + c_{ij} \right\}\) 完整递推。
- 接下来枚举环的起点和长度获得最小的平均费用：\(\mu^* = \min_{j \in \mathbb{N}, 0 \leq k \leq n-1} \left( \frac{f_{n,j} - f_{k,j}}{n - k} \right)\)。
- 将原图费用边权视为都加上 \(|\mu^*|\)，再运行最短路径算法，此时的零权重环就是原图的最小平均费用环。一轮的复杂度一共是 \(O(mn)\)。
- 数学魔法：每次消灭该环后，可以保证残留网络的最小平均费用 $ \mu_{\text{min}} $ 严格不降。
单次操作的复杂度上界是 \(O(mn)\)；每次消灭操作减少的费用与 $ \mu_{\text{min}} $ 相关。可以此用数学知识证明：总迭代次数被证明为 $ O(m^2 n \log n) $。
| 策略 | 时间复杂度 |
|---|---|
| 随便选一个负环 | $ O(m^2nCU) $ 和边权相关 |
| 最小平均费用环（MMCC） | $ O(m^3 n^2 \log n) $ |
代码略。