蓝桥杯-蓝桥幼儿园(并查集)

并查集的核心思想

并查集主要由两个操作构成：

Find：查找某个元素所在集合的根节点。并查集的特点是，每个元素都指向它自己的父节点，根节点的父节点指向它自己。查找过程中可以通过路径压缩来加速后续的查找操作，即将路径上所有节点直接指向根节点。
Union：将两个集合合并。如果两个元素属于不同的集合，我们将它们的集合合并起来。为了提高效率，我们可以使用按秩合并（将树较矮的集合合并到树较高的集合下）。

问题描述

思路分析

在这个问题中，我们可以将每个人视为一个节点，朋友关系视为连通关系，判断两个人是否是朋友其实就是判断他们是否属于同一组。通过并查集，我们可以高效地实现这两种操作：合并操作 （Union）和查找操作（Find）。

查找操作：对于一个给定的节点，我们需要找到它的根节点，也就是它所在集合的代表元素。通过路径压缩的技巧，我们能够在查找过程中将路径上的所有节点直接指向根节点，从而减少后续查询的时间复杂度。
合并操作 ：当两个节点属于不同的集合时，我们需要将它们合并为一个集合。为了保证合并操作的效率，我们使用了按秩合并的策略，即将树矮的集合合并到树高的集合下，这样可以尽可能减少树的高度，提高查询效率。

解决步骤

初始化 ：首先我们创建一个大小为 n+1 的数组 parent，用于存储每个节点的父节点。在初始化时，每个节点的父节点都指向自己，表示每个节点是独立的。
操作解析：
- 对于 op == 1 的操作，表示将两个节点 x 和 y 连接成一个集合。我们通过调用 union(x, y) 来合并它们的集合。
- 对于 op == 2 的操作，表示查询两个节点 x 和 y 是否属于同一集合。我们通过调用 find(x) 和 find(y) 来查询它们的根节点，如果根节点相同，则表示它们是朋友关系。
路径压缩与按秩合并：
- 在 find 操作中，我们使用了路径压缩技术。每次查找时，我们都将路径上的所有节点直接指向根节点，这样可以有效减少查找时的时间复杂度。
- 在 union 操作中，我们使用按秩合并的策略，通过比较两个集合的大小，将较小的集合合并到较大的集合中，从而保证了合并操作的效率。

代码：

java 复制代码

import java.util.Scanner;

// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改

public class Main {
   private static int[] parent;

    public static void main(String[] args) {
       
      
        //思想：维护一个数组将每个元素的朋友记录在里面，一个查找函数，一个合并函数
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        parent = new int[n + 1];

        // 初始化，每个节点的父节点指向自己
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            parent[i] = i;
        }

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int op = sc.nextInt();
            int x = sc.nextInt();
            int y = sc.nextInt();
            if (op == 1) {
                union(x, y);
            } else {
                System.out.println(find(x) == find(y) ? "YES" : "NO");
            }
        }
    }


    // 路径压缩的查找
    public static int find(int i) {
        // 我们需要找到该元素的根节点，先假设当前元素为根节点，
        //这个函数用来查找根节点，而根节点的父节点等于他自己，parent[root]=root
        if (i != parent[i]) {
            parent[i] = find(parent[i]);
        }
        return parent[i];
    }

    // 合并优化
    public static void union(int x, int y) {
        //将两个元素的父节，若是不同则需统一，统一不需要，由我们自定义谁成为父节点，一直按照这个规矩下去
        int rootx = find(x);
        int rooty = find(y);
        //如果父节点不同就需要操作，相同就不需要
        if (rooty != rootx) {
            parent[rooty] = rootx;
        }
    }
}