注：本文为 "微分几何与黎曼几何" 相关文章合辑。
略作重排，如有内容异常，请看原文。
微分流形与黎曼几何学习笔记
hzhaly 于 2011-08-10 20:59:21 发布
学习心得与建议
在学习微分流形和黎曼几何的过程中，我总结了一些心得，希望对初学者有所帮助。
选书的重要性
在学习过程中，我选择了侯伯宇的《物理学家用的微分几何》。该书有以下几个优点：首先，它对概念的讲述非常直观简洁，并且会介绍这些概念的物理背景；其次，对于重要的定理和结论，虽然不提供证明，但会详细解释其几何意义和物理意义，这对于初学者来说非常省力。
忠告：如果你是初学微分几何，不建议选择陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，因为这本书已经高度提炼。如果没有良好的几何背景，很难消化其中的内容，例如其中的联络一章。
坐标无关原则
侯伯宇的书中提到的一段话让我对微分几何的关键有了深刻的理解：微分几何的所有概念和结论都是基于一个原则展开的，即所讨论的内容都要与坐标选取无关。书中引用了爱因斯坦的话，说明他花了 7 年时间建立广义相对论，主要原因就是努力摆脱坐标系的困扰。
忠告：无论你学到哪个概念，都要牢牢记住这个原则。例如，为什么定义切空间和余切空间要从等价类入手？原因就在于要让定义出的东西与坐标无关。理解了这个原则，就迈过了学习微分几何的第一道坎，后续学习会事半功倍。
内蕴思想
学习微分几何的另一个重要原则是内蕴思想。你所遇到的所有概念和结论都是内蕴的，即它们只与流形本身有关，而与流形所在的大空间无关。这与本科阶段学习的《曲面微分几何》不同，后者定义的内容常常是在三维空间中观察得到的。
忠告：牢记这个原则！当你学习了公理化定义的联络以及黎曼度量后，再回过头来看，就会明白为什么人们要费尽心思去做这些事情。
切空间与张量
理解切空间、余切空间以及它们的张量是微分几何入门的关键。在理解这些概念时，要始终记住前面提到的原则。
关于张量，如果你只阅读陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，那么你对张量的理解将仅限于表面，最多只知道它的代数定义。为什么要在微分几何中讨论张量呢？如果你不了解背后的背景，就无法体会其用意。
例如，黎曼度量是一个二阶张量。首先要明白，二阶张量本质上就是矩阵，而一般的张量则是矩阵的推广。回想一下，向量可以看作一维数组，矩阵可以看作二维表格，那么三维表格不就是三阶张量吗？
因此，目标是在流形上构造一个处处有定义的矩阵，并且这个矩阵与坐标无关。那么，如何才能做到与坐标无关呢？这就引出了协变规律和反变规律等概念。
再回想一下，在曲面微分几何中，曲面的度量是三维空间度量限制在它上面得到的，这并不是内蕴的方式。因此，人们需要通过张量来重新定义度量，因为张量是内蕴概念，只与流形本身有关。
以上说明展示了这两个原则是如何始终贯穿于学习和理解过程中的。
学习联络的难点
学习联络是另一个难以跨越的坎。如果你直接阅读那种公理化的定义，最多只能像大多数人一样，只能背诵"法律条文"。这时，你应该先去看那种不是内蕴的定义方式，然后你才会真正理解联络的几何意义，明白人们为什么这样定义。公理化定义只是为了满足前面提到的两个原则。
你可以参考《黎曼几何讲义》，我名字我记不太清楚了，好像有一个姓白，封面是蓝色的，版本较旧。这本书中关于联络一章的讲解非常好。
初学者的困难
过了以上几关后，基本上可以轻松读完陈维桓的那本书。微分几何中真正困难的内容，初学者是难以接触到的。初学者的困难主要在于没有真正把握住前面提到的那两条原则。
以上内容都是我的经验之谈，我就是按照这样的方法学习过来的。
黎曼几何的切入口
从直观的角度来看，要研究线的弯曲，至少需要在二维空间中进行（如果是非平面曲线，则需要在三维空间中）。同样，面的弯曲只能在三维空间中直观地研究。即便如此，三维空间的弯曲仍然无法直观地理解，因为四维以上的空间无法用图形表示。当然，通过相应的类比仍然可以进行研究。
要研究 N 维空间的弯曲，是否至少需要在 N + 1 维空间中进行呢？极端地说，假设存在一个最高是 N 维的空间，如果比 N 维的维数少的空间的弯曲情况还可以在 N 维空间中研究，那么 N 维空间的弯曲，由于没有更高维的空间，该如何研究呢？在 N 维空间中研究 N 维空间自身的弯曲似乎只能另辟蹊径。
如果不借助更高维空间，仅通过空间自身的"努力"来研究弯曲，那么可以说你已经进入了黎曼几何的殿堂。
众所周知，在欧几里德空间中，一个向量进行平行移动"兜"一个圈回到原处时，该向量的大小和方向都不会发生变化。这是因为欧几里德空间是平直空间。那么在一个弯曲的空间中，对向量进行这样的操作是否会发生某种变化呢？答案是肯定的！不仅如此，还可以根据其大小和方向变化的程度来判断空间弯曲的程度和特性。换句话说，我们只需将某个向量在 N 维空间中"兜"一个圈，通过研究向量的变化就可以了解该 N 维空间的弯曲情况。看！研究 N 维空间的弯曲不必借助 N + 1 维空间。
关于向量大小和方向的变化，分开讨论会更方便一些。
关于向量方向的变化至少与一个叫"仿射联络"的量有关。如果该空间是平直的，那么"仿射联络"量必定为零。如果该空间的"仿射联络"不为零，则该空间是弯曲的。然而，大家要当心！"仿射联络"为零，并不意味着该空间一定是平直的。因为"仿射联络"不是一个张量。一个"仿射联络"不为零的空间可以通过坐标变换使其在空间的某个"局部"为零。
关于向量大小的变化则与一个叫度规张量的量有关。一般来说，在弯曲空间中，向量在平移时，其大小至少会发生变化。这个度规张量可以反映空间的种种特性。当这个量与坐标和时间有关时，那么该空间不仅弯曲，而且是"蠕动"的。
"仿射联络"与度规张量似乎都能反映空间的弯曲，那么它们之间有什么关系呢？研究表明，度规张量可以完全确定"仿射联络"，但"仿射联络"则不一定完全确定度规张量。因此，我们将度规张量视为最基本的，并假设"仿射联络"总可以由度规张量计算出来。
在研究向量平移的变化过程中，发现这种变化还与平移的路径有关。由于路径的不同，又会引起额外的变化（事情变得更加复杂了）。这个额外的变化与一个叫曲率张量的量有关。曲率张量是唯一可以由度规张量的二阶导数的线性组合而构成的张量。此外，如果该空间过于"七翘八扭"，则还需要考虑"挠率张量"等。
关于曲率张量，本应详细阐述一番，但由于其涉及面过于复杂，这里只能点到为止。通过对牛顿引力方程的合理推广、广义相对论及对曲率张量的特定组合，爱因斯坦得出了一个著名的"上帝的方程式"------爱因斯坦方程！
黎曼几何竟然与广义相对论联系在了一起。
爱因斯坦方程就是引力场方程。于是，一切就顺理成章了：爱因斯坦方程决定度规张量（物质决定度规张量）------度规张量决定曲率张量------曲率张量决定空间弯曲------度规张量决定仿射联络------仿射联络决定物质运动------......
顺便提一下，仿射联络的"局部"为零的参考系相当于引力场中自由降落的升降机。挠率张量的物理效应并不显著，在这方面已经有人做过一些研究，但似乎意义不大。
无论"维相"还是"反相"，要想绕过黎曼几何几乎是不可能的。
微分几何的发展与应用
微分几何的历史与发展
微分几何与伴随着其发展的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也正是因为广义相对论的成功，使原本冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。
从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。然而，是 Euler、Clairaut 和 Monge 的工作真正使微分几何成为独立学科。Euler 在关于测地学的工作中逐步得出重要研究成果，并对法曲率的计算得出了著名的 Euler 公式。Clairaut 研究了曲线的曲率和挠率，Monge 发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss 在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于 1827 年发现了曲面的两个主曲率乘积与其在外围的 Euclidean 空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被 Gauss 得意地称为是"绝妙定理"，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854 年，Riemann 作了《关于几何基础的假设》，推广了 Gauss 在 2 维曲面的内蕴几何，从而发展出 n 维 Riemann 几何。随着多复变函数的发展，一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所面临的都不仅仅是知识的深化，更意味着知识领域的不断拓展。在这里，微分几何与多复变函数论、Lie 群理论、代数几何以及 PDE 都彼此产生深刻的互相影响。数学在不断地分化，又不断交融。
多复变函数论与微分几何
多复变函数论与微分几何的结合闪耀着迷人的光辉。在单位圆和上半平面（两者可以建立共形映射）上定义 Poincare 度规后，单复变函数论与微分几何的联系就变得清晰可见。Poincare 度规是共形不变量。著名的 Schwarz 定理在引入 Poincare 度规后可以解释为：单位圆上的 Poincare 度规在解析映射下不增加，当且仅当此映射是分式线性变换时，Poincare 度规不变。应用 Poincare 度规下的双曲几何可以轻松证明著名的 Picard 小定理。而 Picard 大定理的证明需要用到艰深的模函数理论，但如果从微分几何的角度来看，也可以以极其简明的方式证明。在这里，微分几何深深渗透到复变函数论之中。
在多复变函数论中，分析复仿射空间的区域定义度规后，接下来就是实微分几何的曲率计算和其他一系列计算。在单复变情形，所有奇点离散分布，而在多复变情形，由于著名的 Hartogs 开拓现象，所有孤立奇点都被吞没，甚至奇点形成的连续区域也经常被吞没，只有形成实余维数为 1 的流形才可以避免这种厄运。然而，即使在这种情形下，也需要其他限制条件才能"确保安全"。多复变函数论中奇点的这种奇特性质使得它们注定要成为流形。1922 年，Bergman 引进了著名的 Bergman 核函数。那个时代的多复变函数还处于 Weyl 所说的草创时代，除了 Hartogs、Poincare、Levi 和 Cousin 等几位前辈的著名研究外，几乎没有任何实质性进展。Bergman 的工作无疑给这个死气沉沉的领域注入了一股活力。在多复变函数中的域上的 Bergman 度量，在一维情形就是单位圆和 Poincare 上半平面上的 Poincare 度量，这注定了 Bergman 工作的重要性。
代数几何与微分几何
代数几何的基本研究对象是任意维仿射空间或者射影空间中的代数方程组（定义方程组）的公共零点（代数簇）的性质。代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域称为基域。不可约代数簇是其基域的有限次扩域。我们熟悉的数域上线性空间就是以数域为基域的扩域，线性空间的维数就是扩张次数。从这个观点出发，代数几何可以看成是对有限扩域的研究。代数簇的性质与其基域的关系极为密切。对于域上复仿射空间或者复射影空间中的代数簇，在研究过程中不仅有大量概念与微分几何及多复变函数论重合，而且在研究过程中还运用到大量相关的相似工具。复流形以及复解析空间的每一步进展无不同时影响着这些学科。许多相关领域的大师，虽然看上去只研究某一领域，但其成果却影响到其他领域。例如：Lerey 研究代数拓扑得出的层论，在代数拓扑中影响不大，但却由于 Serre、Weil 和 H·Cartan（E·Cartan 的长子）的引进，深刻影响了代数几何和多复变函数论。Chern 研究 Hermite 空间的示性类，但同时影响了代数几何、微分几何和多复变函数论。Hironaka 研究代数几何中的奇点消解，但他研究的复流形到复解析空间的修改与吹胀则影响了复解析空间理论。Yau 证明了 Calabi 猜想，不仅影响了代数几何和微分几何，还影响了经典广义相对论。同时，我们也可以看出非线性常微分方程和偏微分方程在微分几何中的重要地位。Cartan 研究对称 Riemann 空间，得出了重要的分类定理，给出了 1、2、3 维空间中齐性有界域的完全分类，证明它们都是齐性对称域，同时他猜想：这种等价关系在 n 维情形也成立。1959 年，Piatetski-Shapiro 却在研究对称有界域的自守函数论的过程中找到了两个反例，在 4 维和 5 维的情形中各找出一个齐性有界域，它们不是齐性对称域，他将这些域命名为 Siegel 域，以纪念 Siegel 在 1943 年研究自守函数论方面的深刻工作。Piatetski-Shapiro 的这个结果深刻影响了多复变函数论和自守函数论，同时对于对称空间理论等一系列课题产生深远影响。正如我们知道的，Cartan 将对称空间的研究化为 Lie 群和 Lie 代数的研究，这个观点直接受 Klein 的影响，却又大大发展了 Klein 的初步想法。当年也正是 Cartan 发展了 Levi-Civita 联络的概念，发展出微分几何中的一般联络理论，通过流形上各点切空间的同构映射，实现了 Klein 的梦想，同时大大促进了微分几何的发展。同样是 Cartan，断定和乐群在流形研究中的重要性，几经波折，终于在他去世后三十年左右才被证实是正确的。在这里，我们看到了微分几何的浩瀚与优美。
微分几何与物理
正如我们熟知的，测地线联系着常微分方程（ODE），极小曲面和高维极小子流形联系着偏微分方程（PDE）。这些方程都是非线性方程，因此对分析学有着极高的要求。单复变函数论中著名的 Cauchy-Riemann 方程组联结起 PDE 和复分析之间的联系，在多复变情形，Cauchy-Riemann 方程组不仅空前深化了这个联系，而且由于 Cauchy-Riemann 方程组的超定性（方程个数大于变量个数）导致了奇异现象。这又使得 PDE 与多复变函数论与微分几何紧密结合。
大多数学习微分几何的学者都被 Gauss 与 Riemann 的内蕴几何的无比深邃所折服，被 Cartan 的活动标架法的优美简洁所倾倒，被 Chern 的示性类理论的博大精深所折服，被 Yau 深厚精湛的几何分析功底所震慑。当年年轻的 Chern 面对整体微分几何时，曾说自己就像面对一座闪耀金色光芒的山，无比向往却一时无法攀到最高峰。但后来他却赶在 Hopf 和 Weil 之前成为这个领域的一代宗师。
如果说 Cartan 发展的微分几何渐渐改变了广义相对论的几何模式，那么 Chern 等人的微分几何不仅在延续 Cartan 的影响，而且以纤维丛的形式推动了规范场论的发展。微分几何仍然像 Einstein 时代那样与物理紧密相连，并且从物理中不断获取研究课题。
流形的性质与分类
为什么三维球无法赋予平坦度规，却可以赋予共形平坦度规呢？因为三维球和其他维数的球一样无法与平坦空间建立等距映射，所以无法建立平坦度规。而 n 维球都是单连通常曲率空间，因此可以建立共形平坦度规。在微分几何中，等距的含义就是映射前后流形上对应点之间的曲线距离不变。一个流形与平坦空间等距时，其 Riemann 截面曲率恒为零。因为所有球面的曲率都为正的常数，所以 n 维球面以及其他的截面曲率非零的流形都无法赋予局部平坦度规。
然而，还有局部共形平坦这个概念。对于流形上的两个度规 G G G 和 g g g，如果 G = exp { ρ } ⋅ g G = \exp\{\rho\} \cdot g G=exp{ρ}⋅g，则称 G G G 与 g g g 之间的变换是共形变换。Weyl 共形曲率张量在共形变换下保持不变，它是流形上的 ( 1 , 3 ) (1,3) (1,3) 型张量场。当 Weyl 共形曲率张量为零时，流形的曲率张量可以用 Ricci 曲率张量与数量曲率表示，所以 Penrose 总是强调曲率 = Ricci + Weyl。
一个 n 维 Riemann 流形的度规张量 g g g 在局部上共形等价于平坦度规，则称为共形平坦流形。所有截面曲率为常数的流形（常曲率流形）都是共形平坦的，因此都可以赋予共形平坦度规。而所有维数的球面（当然包括三维球）都是常曲率流形，所以必定可以赋予共形平坦度规。反过来，共形平坦流形却未必是常曲率流形。但是有一个与 Einstein 流形有关的美妙结果可以弥补这个遗憾：3 维以上的共形平坦 Einstein 流形必定是常曲率流形。也就是说，要想让共形平坦流形成为常曲率流形，就必须要求 Ric = λ g \text{Ric} = \lambda g Ric=λg，而这就是 Einstein 流形的定义。其中， Ric \text{Ric} Ric 为 Ricci 曲率张量， g g g 为度规张量， λ \lambda λ 为常数。Einstein 流形的数量曲率 S = m λ S = m \lambda S=mλ 为常数。而且如果 S S S 非零，则其上面不存在非零的平行切向量场。Einstein 引入宇宙学常数，使得他错失了预言宇宙膨胀的伟大成就，于是 Hubble 就飞黄腾达了。但是带有宇宙项的真空引力场方程却产生了 Einstein 流形，这为数学家展现才智提供了新的舞台。
对于 3 维连通 Einstein 流形，即使不要求其共形平坦，它也自动是常曲率流形，其他维数不成立这个美妙性质。实流形中的截面曲率与 Kähler 流形中的全纯截面曲率是不一样的概念，因此也产生不一样的结果。全纯截面曲率为常数的 Kähler 流形，其 Ricci 曲率必定为常数，所以必定为 Einstein 流形，称为 Kähler-Einstein 流形。Kähler 流形为 Kähler-Einstein 流形当且仅当其作为 Riemann 流形时是 Einstein 流形。N 维复向量空间、复射影空间、复环面以及复双曲空间都是 Kähler-Einstein 流形。Kähler-Einstein 流形的研究成为几何学家的智力享受。
再回头讲讲等距映射的一个重要结果。考虑两个 Riemann 流形 M M M 和 N N N 间的等距映射以及其诱导的切空间之间的映射，取 M M M 上任意点 p p p，在其切空间任选两个不共线的切向量，求出其截面曲率。在映射下， p p p 点及其切空间上的那两个切向量在映射下变成另两个切向量，也求出其截面曲率。如果这个映射是等距映射，则这两个截面曲率是相等的。或者含糊些说就是等距映射不改变截面曲率。
反过来，如果任意点都成立截面曲率不改变的性质，那么映射是不是等距映射？答案是否定的。甚至在三维 Euclidean 空间的曲面上都无法成立这个性质。在局部情形，必须加上测地线的限制，应用 Jacobi 场的性质才能做到这一点。这就是著名的 Cartan 等距定理。这个定理是 Jacobi 场的精彩应用。它的大范围推广是 Ambrose 和 Hicks 作出的，称为 Cartan-Ambrose-Hicks 定理。
微分几何就是充满无穷魅力。我们给 pseudo-Riemannian 空间分类，可以用 Weyl 共形曲率张量分类，可以用 Ricci 曲率张量分类，也可以用运动群进行分类得出 9 种 Bianchi 型。而这些东西都是可以归结到微分几何的研究，这里遥远的 Riemann 观点和稍近的 Klein 观点完美结合，这里可以看出 Cartan 的伟大智慧，这里可以看出 Einstein 的深远影响。
从 Hermite 对称空间到 Kähler-Hodge 流形，微分几何不仅与 Lie 群紧紧相连，也与代数几何和拓扑学血脉相通。
微分几何的推广与局限
1895 年，伟大的 Poincare 写了伟大的《位置分析》，创立了组合拓扑。他曾毫不掩饰地说高维空间的微分几何是意义不大的学科，对此他说了句："家有美景，何须远求。"（Chern 译）拓扑就是家中美景，干吗要辛辛苦苦计算曲面甚至高维流形的曲率？可是这次这个全才数学家错了，但我们能不能说这位数学天才对微分几何没有大贡献？不能。看看今天微分几何与拓扑学的紧密相关我们就知道了。一个闭形式何时才是恰当形式？在同伦于点的区域（单连通区域），有 Poincare 引理之逆告诉我们这个自动成立。在非单连通区域，有著名的 de Rham 定理告诉我们如何成立，那就是微分形式在所有闭链上的积分为零。
即使在 Poincare 所忽视的微分几何领域，他仍然以一种不经意的方式深深影响了这个学科，或者毋宁说是影响了整个数学。
任何一门学科创立后都寻求推广的性质，微分几何也是如此。从曲率上来说，平直的 Euclidean 空间曲率为零，几何学家推广到曲率为正常数（狭义的 Riemann 空间）和负常数的空间（Lobachevskii 空间）。我们知道，非欧几何的伟大之处不仅在于它独立了第五公设而且用其他情况替代而导致新几何，更在于它的创立者能在其上进行三角分析。但是著名数学家 Milnor 曾说，在微分几何进入非欧几何之前，非欧几何只是没手没脚的躯干而已。只有在定义了度规以后进行曲率的统一计算之后，非欧几何才焕发出生机。Riemann 在 1854 年的演讲中只写下了一个公式，就是这一个公式统一了正曲率、负曲率和零曲率的几何。后人大都认为 Riemann 这个公式是凭直觉想出来的，实际上后来人们发现了他计算这个公式用的草稿纸，才知道天才也是要勤奋的。Riemann 已经探索了任意维数的任意曲率流形的曲率，但定量的计算超越了那个时代的数学工具，他只能写出常曲率流形的统一公式。但是我们知道，即使到今天，这个结果仍然是重要的，微分几何的名目繁多的"比较定理"都是以常曲率流形为比较模本的。
当年 Riemann 曾经考虑了二次微分形式的二次方根，这就是我们都熟悉的 Riemann metric，由此导出了 Riemannian geometry。当时他特意提及另一个情形，就是用四次微分形式的四次方根（相当于四元乘积的和开四次方）。这是两者的联系与区别。但他却说对于这种情况和前面一种情况在研究上并不要求实质上不同的方法。还说，这样的研究比较费时间并且对空间无法增加新的认识，计算的结果也缺乏几何意义。所以 Riemann 只研究了现在称为 Riemann metric 的情形。为什么后世的 Finsler 热衷于推广 Riemann 不想研究的情形？可能是数学家好推广以致于成为癖好。Cartan 当年在 Finsler 几何方面作过努力，但成效不大，Chern 对这种几何确实也寄予厚望同时也研究出一些成就。但我仍然和国际上的普遍看法一致，那就是 Finsler 几何前途黯淡。这正是 Finsler 几何一直无法进入微分几何主流的本质原因，它没有真正值得几何学家去奋斗的优美性质，也没有什么大的应用价值。后来的 K-展空间、Cartan 空间也都没有成为主流，虽然它们都是 Riemannian geometry 的推广，但没有得到什么大的发展。
实际上，有时候推广的东西能够得到的新内容不多，微分几何也是如此。不是研究的对象越平凡越好，而是应当适当特殊才好。比如在 Riemann 流形中，齐性 Riemann 流形特殊，就具有更多优美的性质。齐性 Riemann 流形中，对称 Riemann 流形更特殊，所以性质更优美。这是从流形上 Lie 群的作用角度分析的。
从度规的角度分析，定向偶数维的 Riemann 流形上赋予复结构，形成复流形，性质就极其优美。近复流形只有在近复结构可积时才成为复流形。复流形必定可定向，因为可以很容易求出它的 Jacobian 必定非负，而实流形在一般情况下没有这个性质。再缩小范围，Kähler 流形更加具有很好的性质。Kähler 流形的所有复子流形都是 Kähler 流形，而且还是极小子流形（Wirtinger 定理），这个优美的结果迷倒了多少微分几何学家和代数几何学家，因为其他更一般的流形不成立这个优美结果。如果要求（复）三维 Kähler 流形的第一 Chern 数为零，可以得出 Calabi-Yau 流形，这是理论物理学家极其感兴趣的流形。Calabi-Yau 流形的镜流形同样是代数几何与微分几何共同的课题。流行上的 Hodge 结构至今仍然是有着无尽吸引力的课题。
微分几何，一个道不尽的话题。就像代数几何中要求双有理等价是个奢求一样，微分几何中要求等距变换同样艰难。分类学是整个数学的永恒课题。群论中有单群分类，多复变函数论中有区域的分类，代数几何中有代数簇的分类，微分几何也有分类。
艰难的课题引起一批批年轻的几何学家和年老的学者的共同冲刺，微分几何的前景无比光明。
微分几何与黎曼几何思想
虎妞C 于 2016-12-14 09:57:31 发布
（1）物理规律与坐标选取无关
尽管任何有用的实际计算都是在某个坐标系下进行的，但计算结果所表达的物理规律是独立于坐标系的。这正是将物理规律以"张量"形式表示的原因。张量的坐标分量在坐标变换下进行线性齐次变换。线性表明张量属于切空间，齐次性表明张量与坐标系的选择无关。
（2）内蕴的思想
微分几何中的所有概念和结论都是内蕴的，即它们仅与流形本身有关，而与流形所在的大空间无关。因此，目标是在流形上构造一个处处有定义的矩阵，并且这个矩阵与坐标无关。这引出了协变规律和反变规律等概念。从张量的角度重新定义度量，因为张量是内蕴概念，仅与流形本身有关。
在黎曼几何中，需要在流形上赋予一个度规。有了度规，就可以计算弧长、面积、角度以及高斯曲率等一系列内蕴几何量。黎曼流形是一个定义了对称正定度规张量场 g g g 的微分流形。为了在黎曼流形上进行微分运算，需要在相邻点的切空间之间引入"联络"的概念。具体来说，使用列维-齐维塔联络（Levi-Civita connection）来关联不同切空间中的度规张量。作为联络的坐标表达式，克里斯托费尔符号（Christoffel symbols）仅与度规张量及其微分有关。
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微分流形与黎曼几何学习笔记_如何证明流形是 einstein 流形 - CSDN 博客
(转自http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=81613&do=blog&id=333317)
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