目录
[① 数组模拟容器](#① 数组模拟容器)
[② 有序数组模拟容器](#② 有序数组模拟容器)
[① 二叉堆特点](#① 二叉堆特点)
[② 数组表示二叉树](#② 数组表示二叉树)
[③ 堆](#③ 堆)
[④ 大顶堆](#④ 大顶堆)
[⑤ 小顶堆](#⑤ 小顶堆)
[⑥ 元素插入](#⑥ 元素插入)
[⑦ 获取堆顶](#⑦ 获取堆顶)
[⑧ 堆顶元素删除](#⑧ 堆顶元素删除)
[912. 排序数组](#912. 排序数组)
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------ 25.5.30
选择排序回顾
① 遍历数组：从索引 0 到 n-1（n 为数组长度）。
② 每轮确定最小值：假设当前索引 i 为最小值索引 min_index。从 i+1 到 n-1 遍历，若找到更小元素，则更新 min_index。
③ 交换元素：若 min_index ≠ i，则交换 arr[i] 与 arr[min_index]。
python
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① 遍历数组：从索引 0 到 n-1（n 为数组长度）。
② 每轮确定最小值：假设当前索引 i 为最小值索引 min_index。从 i+1 到 n-1 遍历，若找到更小元素，则更新 min_index。
③ 交换元素：若 min_index ≠ i，则交换 arr[i] 与 arr[min_index]。
'''
def selectionSort(arr: List[int]):
n = len(arr)
for i in range(n):
min_index = i
for j in range(i+1, n):
if arr[j] < arr[min_index]:
min_index = j
if min_index != i:
arr[i], arr[min_index] = arr[min_index], arr[i]
return arr冒泡排序回顾
① 初始化：设数组长度为 n。
② 外层循环：遍历 i 从 0 到 n-1（共 n 轮）。
③ 内层循环：对于每轮 i，遍历 j 从 0 到 n-i-2。
④ 比较与交换：若 arr[j] > arr[j+1]，则交换两者。
⑤ 结束条件：重复步骤 2-4，直到所有轮次完成。
python
'''
① 初始化：设数组长度为 n。
② 外层循环：遍历 i 从 0 到 n-1（共 n 轮）。
③ 内层循环：对于每轮 i，遍历 j 从 0 到 n-i-1。
④ 比较与交换：若 arr[j] > arr[j+1]，则交换两者。
⑤ 结束条件：重复步骤 2-4，直到所有轮次完成。
'''
def bubbleSort(arr: List[int]):
n = len(arr)
for i in range(n):
for j in range(n-i-1):
if arr[j] > arr[j+1]:
arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]
return arr插入排序回顾
① 遍历未排序元素：从索引 1 到 n-1。
② 保存当前元素：将 arr[i] 存入 current。
③ 元素后移：从已排序部分的末尾（索引 j = i-1）向前扫描，将比 current 大的元素后移。直到找到第一个不大于 current 的位置或扫描完所有元素。
④ 插入元素：将 current 放入 j+1 位置。
python
'''
① 遍历未排序元素：从索引 1 到 n-1。
② 保存当前元素：将 arr[i] 存入 current。
③ 元素后移：从已排序部分的末尾（索引 j = i-1）向前扫描，将比 current 大的元素后移。直到找到第一个不大于 current 的位置或扫描完所有元素。
④ 插入元素：将 current 放入 j+1 位置。
'''
def insertSort(arr: List[int]):
n = len(arr)
for i in range(n):
current = arr[i]
j = i - 1
while current < arr[j] and j >0:
arr[j+1] = arr[j]
j -= 1
arr[j + 1] = current
return arr计数排序回顾
① 初始化：设数组长度为 n，元素最大值为 r。创建长度为 r+1 的计数数组 count，初始值全为 0。
② 统计元素频率：遍历原数组 arr，对每个元素 x，将 count[x] 加 1。
③ 重构有序数组：初始化索引 index = 0。遍历计数数组 count，索引 v 从 0 到 r，若 count[v] > 0，则将 v 填入原数组 arr[index]，并将 index 加 1。count[v] - 1，重复此步骤直到 count[v] 为 0。
④ 结束条件：当计数数组遍历完成时，排序结束。
python
'''
输入全为非负整数，且所有元素 ≤ r
① 初始化：设数组长度为 n，元素最大值为 r。创建长度为 r+1 的计数数组 count，初始值全为 0。
② 统计元素频率：遍历原数组 arr，对每个元素 x，将 count[x] 加 1。
③ 重构有序数组：初始化索引 index = 0。遍历计数数组 count，索引 v 从 0 到 r，
若 count[v] > 0，则将 v 填入原数组 arr[index]，并将 index 加 1。
count[v] - 1，重复此步骤直到 count[v] 为 0。
④ 结束条件：当计数数组遍历完成时，排序结束。
'''
def countingSort(arr: List[int], r: int):
# count = [0] * len(r + 1)
count = [0 for i in range(r + 1)]
for x in arr:
count[x] += 1
index = 0
for v in range(r + 1):
while count[v] > 0:
arr[index] = v
index += 1
count[v] -= 1
return arr归并排序回顾
Ⅰ、递归分解列表
**① 终止条件：**若链表为空或只有一个节点（head is None 或 head.next is None），直接返回头节点。
**② 快慢指针找中点：**初始化 slow 和 fast 指针，slow 指向头节点，fast 指向头节点的下一个节点。fast 每次移动两步，slow 每次移动一步。当 fast 到达末尾时，slow 恰好指向链表的中间节点。
**③ 分割链表：**将链表从中点断开，head2 指向 slow.next（后半部分的头节点）。将 slow.next 置为 None，切断前半部分与后半部分的连接。
**④ 递归排序子链表：**对前半部分（head）和后半部分（head2）分别递归调用 mergesort 函数。
Ⅱ、合并两个有序列表
① 创建虚拟头节点：创建一个值为 -1 的虚拟节点 zero，用于简化边界处理。使用 current 指针指向 zero，用于构建合并后的链表。
**② 比较并合并节点：**遍历两个子链表 head1 和 head2，比较当前节点的值：若 head1.val <= head2.val，将 head1 接入合并链表，并移动 head1 指针。否则，将 head2 接入合并链表，并移动 head2 指针。每次接入节点后，移动 current 指针到新接入的节点。
**③ 处理剩余节点：**当其中一个子链表遍历完后，将另一个子链表的剩余部分直接接入合并链表的末尾。
**④ 返回合并后的链表：**虚拟节点 zero 的下一个节点即为合并后的有序链表的头节点。
python
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Ⅰ、递归分解列表
① 终止条件：若链表为空或只有一个节点（head is None 或 head.next is None），直接返回头节点。
② 快慢指针找中点：初始化 slow 和 fast 指针，slow 指向头节点，fast 指向头节点的下一个节点。fast 每次移动两步，slow 每次移动一步。当 fast 到达末尾时，slow 恰好指向链表的中间节点。
③ 分割链表：将链表从中点断开，head2 指向 slow.next（后半部分的头节点）。将 slow.next 置为 None，切断前半部分与后半部分的连接。
④ 递归排序子链表：对前半部分（head）和后半部分（head2）分别递归调用 mergesort 函数。
Ⅱ、合并两个有序列表
① 创建虚拟头节点：创建一个值为 -1 的虚拟节点 zero，用于简化边界处理。使用 current 指针指向 zero，用于构建合并后的链表。
② 比较并合并节点：遍历两个子链表 head1 和 head2，比较当前节点的值：若 head1.val <= head2.val，将 head1 接入合并链表，并移动 head1 指针。否则，将 head2 接入合并链表，并移动 head2 指针。每次接入节点后，移动 current 指针到新接入的节点。
③ 处理剩余节点：当其中一个子链表遍历完后，将另一个子链表的剩余部分直接接入合并链表的末尾。
④ 返回合并后的链表：虚拟节点 zero 的下一个节点即为合并后的有序链表的头节点。
'''
def mergesort(self, head: ListNode):
if head is None or head.next is None:
return head
slow, fast = head, head.next
while fast and fast.next:
slow = slow.next
fast = fast.next.next
head2 = slow.next
slow.next = None
return self.merge(self.mergesort(head), self.mergesort(head2))
def merge(self, head1: ListNode, head2: ListNode):
zero = ListNode(-1)
current = zero
while head1 and head2:
if head1.val <= head2.val:
current.next = head1
head1 = head1.next
else:
current.next = head2
head2 = head2.next
current = current.next
current.next = head1 if head1 else head2
return zero.next快速排序回顾
Ⅰ、分区函数 Partition
**① 随机选择基准元素：**根据左右边界下标随机选择基准元素（选择的是元素并非下标），将基准元素赋值变量进行后续比较
**② 交换基准元素：**将基准元素移动到最左边，将基准元素存储在变量中，
**③ 分区操作：**对于基准元素右边的元素，找到第一个小于基准元素的值，移动到最左边；对于基准元素左边的元素，找到第一个大于基准元素的值，移动到最右边
**④ 返回基准元素的最终位置：**循环执行完毕后，基准元素左边的值都小于它，基准元素右边的值都大于它
Ⅱ、递归快速排序函数
**① 定义递归终止条件：**当左索引小于右索引时，结束递归
② 分区操作： 执行第一次分区操作，找到基准元素
**③ 递归调用分区函数：**将基准元素的左边、右边部分分别传入递归函数进行排序
python
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Ⅰ、分区函数 Partition
① 随机选择基准元素：根据左右边界下标随机选择基准元素（选择的是元素并非下标），将基准元素赋值变量进行后续比较
② 交换基准元素：将基准元素移动到最左边，将基准元素存储在变量中，
③ 分区操作：对于基准元素右边的元素，找到第一个小于基准元素的值，移动到最左边；对于基准元素左边的元素，找到第一个大于基准元素的值，移动到最右边
④ 返回基准元素的最终位置：循环执行完毕后，基准元素左边的值都小于它，基准元素右边的值都大于它
Ⅱ、递归排序函数
① 定义递归终止条件：当左索引小于右索引时，结束递归
② 分区操作： 执行第一次分区操作，找到基准元素
③ 递归调用分区函数：将基准元素的左边、右边部分分别传入递归函数进行排序
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def Partition(arr, left, right):
idx = random.randint(left, right)
arr[left], arr[idx] = arr[idx], arr[left]
l = left
r = right
x = arr[l]
while l < r:
while l < r and x < arr[r]:
r -= 1
if l < r:
arr[l], arr[r] = arr[r], arr[l]
l += 1
while l < r and x > arr[l]:
l += 1
if l < r:
arr[l], arr[r] = arr[r], arr[l]
r -= 1
return l
def quickSort(arr, l, r):
if l >= r:
return
node = self.quickSort(l, r)
self.quickSort(arr, l, node-1)
self.quickSort(arr, node+1, r)
return arr桶排序回顾
**① 初始化桶和频率数组：**创建字符长度+1的桶bucket，索引 i 表示频率为 i 的字符列表；长度为max的频率数组count，用于记录每个字符的出现次数
**② 统计字符频率：**通过 ord(char) 获取字符的ASCII码，作为频率数组的索引
**③ 将字符按照频率放入桶中：**遍历频率数组，将每个字符以频率作为索引放入数组中
**④ 返回桶数组：**返回桶数组，其中每个桶包含对应频率的字符列表
python
def bucketSort(arr, max_val): # 移除 max_val 表示字符编码最大值（如 256）
n = len(arr)
# 初始化桶：索引范围 [0, max_val-1]
bucket = [[] for _ in range(max_val)]
# 分布：按字符编码放入桶
for char in arr:
bucket[ord(char)].append(char) # 索引 = 字符编码值
# 合并桶（索引升序即字符升序）
sorted_arr = []
for b in bucket:
sorted_arr.extend(b) # 每个桶内元素已按插入顺序排列
return sorted_arr # 返回排序后的一维数组基数排序
① 初始化参数和辅助数组：设置最大元素数MAX_N为 50000，最大位数MAX_T为 8，进制BASE为 10；计算并存储基数的各次幂（如 10⁰, 10¹, ..., 10⁷）到数组PowOfBase中
② 预处理数组元素：为每个元素加上BASE^(MAX_T-1)（即 10⁷），确保所有元素变为正数；这一步是为了处理可能的负数输入，将其转换为正数进行排序
③ 按位进行多轮排序：从最低有效位（个位）开始，逐位进行处理（共进行MAX_T轮）
分配阶段 ：将元素分配到对应的桶（0-9）中对每个元素，计算当前位上的数字（通过整除和取模运算）
收集阶段 ：按桶的顺序（0 到 9）依次收集元素；将收集的元素依次放回原数组，覆盖原有的顺序
④ 恢复原始数值：排序完成后，从每个元素中减去BASE^(MAX_T-1)（即 10⁷）；恢复元素的原始值，完成排序过程
python
'''
基数排序
① 初始化参数和辅助数组：设置最大元素数MAX_N为 50000，最大位数MAX_T为 8，进制BASE为 10；计算并存储基数的各次幂（如 10⁰, 10¹, ..., 10⁷）到数组PowOfBase中
② 预处理数组元素：为每个元素加上BASE^(MAX_T-1)（即 10⁷），确保所有元素变为正数；这一步是为了处理可能的负数输入，将其转换为正数进行排序
③ 按位进行多轮排序：从最低有效位（个位）开始，逐位进行处理（共进行MAX_T轮）
分配阶段：将元素分配到对应的桶（0-9）中对每个元素，计算当前位上的数字（通过整除和取模运算）
收集阶段：按桶的顺序（0 到 9）依次收集元素；将收集的元素依次放回原数组，覆盖原有的顺序
④ 恢复原始数值：排序完成后，从每个元素中减去BASE^(MAX_T-1)（即 10⁷）；恢复元素的原始值，完成排序过程
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MAX_N = 50000 # 最多的元素数
MAX_T = 8 # 元素的最大位数
BASE = 10 # 定义数字的进制
def RedixSort(self, arr):
n = len(arr)
PowOfBase = [1 for i in range(self.MAX_T)] # 代表BASE的多少次方
for i in range(1, self.MAX_T):
PowOfBase[i] = PowOfBase[i - 1] * self.BASE
for i in range(n):
arr[i] += PowOfBase[self.MAX_T - 1]
pos = 0
while pos < self.MAX_T:
RedixBucket = [ [] for i in range(self.BASE)]
for i in range(n):
rdx = arr[i] // PowOfBase[pos] % self.BASE
RedixBucket[rdx].append( arr[i] )
top = 0
for i in range(self.BASE):
for rb in RedixBucket[i]:
arr[top] = rb
top += 1
pos += 1
for i in range(n):
arr[i] -= PowOfBase[self.MAX_T - 1]
return arr一、问题描述
二叉堆的数据结构其实是基于一种叫做完全二叉树的数据结构
对于一个容器，有三种操作：
**① I a：**插入一个值为 a 的元素
**② Q：**查询最大的元素
**③ D：**删除最大的元素
二、算法对比
1.朴素算法
① 数组模拟容器
插入 I a------ O(1)
删除 D ------ O(n)
查找 Q ------ O(n)
② 有序数组模拟容器
插入 I a ------ O(n)、
删除 D ------ O(1)
查找 Q ------ O(1)
2.二叉堆
① 二叉堆特点
Ⅰ、O(1)时间获取最大值
Ⅱ、O(logn)时间进行元素的增删
Ⅲ、利用数组随机访问的特性模拟二叉树
Ⅳ、需要有数据结构中二叉树的概念基础
② 数组表示二叉树
parent(id) = (id - 1) / 2、 left(id) = id * 2 + 1、 right(id) = id * 2 + 2
左子节点一定是个奇数，右子节点一定是个偶数
③ 堆
堆满足任意一个节点都比其子节点 大 / 小
④ 大顶堆
任意一个节点的值都比其子节点大
⑤ 小顶堆
任意一个节点的值都比其子节点小
⑥ 元素插入
往数组尾部插入一个元素；对插入的元素，比较它（在树型结构中）和它的父节点的大小关系，来决定是否和父节点进行交换
插入的情况，新插入节点只会上浮，不会下沉
⑦ 获取堆顶
返回数组中的第0个元素
⑧ 堆顶元素删除
获取数组中的最后一个元素，然后让堆顶元素与最后一个元素进行交换
将交换后的堆顶的元素不断做**"下沉"操作，选择大**的进行交换，直到"交换后的堆顶的元素自己"成为最大的
删除数组的最后一个元素
三、代码分析
1.工具函数
给定一个元素下标，获取左子树下标
python
def lson(idx)
return 2 * idx + 1给定一个元素下标，获取右子树下标
python
def rson(idx):
return 2 * idx + 2给定一个元素下标，获取父节点的下标
python
def parrent(idx):
return (idx - 1) / 2判断函数，任意传入两个元素，返回两节点中更优的值，如果是小顶堆，则返回 a < b
python
# <: 小顶堆 >：大顶堆
def batter(a, b):
return a > b
# return a < b2.调整大顶堆函数
Ⅰ、计算子节点索引
leftSon(curr) 和**rightSon(curr)** 分别计算当前节点的左右子节点索引。
**optId**初始化为当前节点索引，用于记录最大值的位置。
Ⅱ、找出最大值索引
**比较当前节点与左右子节点的值：**如果左子节点存在且值更大，则更新 optId 为左子节点索引。同理，对右子节点进行相同比较。better 函数默认实现为 a > b，确保构建最大堆。
Ⅲ、交换并递归调整
如果最大值不在当前节点（curr != optId），则交换当前节点与最大值节点。
递归调用 Heapify 处理被交换的子节点，确保其所有子树仍满足堆性质。
python
def Heapify(self, heap, size, curr):
leftSonId = leftSon(curr)
rightSonId = rightSon(curr)
optId = curr
if leftSonId < size and better(heap[leftSonId], heap[optId]):
optId = leftSonId
if rightSonId < size and better(heap[rightSonId], heap[optId]):
optId = rightSonId
if curr != optId:
heap[curr], heap[optId] = heap[optId], heap[curr]
self.Heapify(heap, size, optId)3.堆排序流程
Ⅰ、构建最大堆
从最后一个非叶子节点（n//2 -1）开始，向上逐个调用Heapify，确保整个数组成为最大堆。
Ⅱ、交换元素并调整堆
循环过程：将堆顶元素（最大值）与当前未排序部分的最后一个元素交换；减少堆的大小（size = i），将最大值排除在后续调整范围外；调用 Heapify(0) 重新调整剩余元素为最大堆。
效果：每次循环将当前最大值移至数组末尾，最终形成升序排列。
python
def sortArray(self, nums: List[int]) -> List[int]:
n = len(nums)
for i in range(n // 2, -1, -1):
self.Heapify(nums, n, i)
for i in range(n-1, -1, -1):
nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0]
self.Heapify(nums, i, 0)
return nums四、实战练习
912. 排序数组
给你一个整数数组
nums，请你将该数组升序排列。你必须在 不使用任何内置函数 的情况下解决问题，时间复杂度为
O(nlog(n))，并且空间复杂度尽可能小。示例 1：
输入：nums = [5,2,3,1] 输出：[1,2,3,5]示例 2：
输入：nums = [5,1,1,2,0,0] 输出：[0,0,1,1,2,5]提示：
1 <= nums.length <= 5 * 104-5 * 104 <= nums[i] <= 5 * 104
思路与算法
辅助函数（节点关系）：
**leftSon(idx)：**返回节点idx的左子节点索引（2*idx + 1）。
**rightSon(idx)：**返回节点idx的右子节点索引（2*idx + 2）。
**parent(idx)：**返回节点idx的父节点索引（(idx-1)//2）。
**better(a, b)：**比较函数，默认返回a > b，用于定义最大堆的比较规则。
Heapify 函数：
Ⅰ、计算子节点索引
leftSon(curr) 和**rightSon(curr)** 分别计算当前节点的左右子节点索引。
**optId**初始化为当前节点索引，用于记录最大值的位置。
Ⅱ、找出最大值索引
**比较当前节点与左右子节点的值：**如果左子节点存在且值更大，则更新 optId 为左子节点索引。同理，对右子节点进行相同比较。better 函数默认实现为 a > b，确保构建最大堆。
Ⅲ、交换并递归调整
如果最大值不在当前节点（curr != optId），则交换当前节点与最大值节点。
递归调用 Heapify 处理被交换的子节点，确保其所有子树仍满足堆性质。
sortArray 函数：
**构建最大堆：**从最后一个非叶子节点（n//2 -1）开始，向上逐个调用Heapify，确保整个数组成为最大堆。
循环过程：将堆顶元素（最大值）与当前未排序部分的最后一个元素交换；减少堆的大小（size = i），将最大值排除在后续调整范围外；调用 Heapify(0) 重新调整剩余元素为最大堆。
效果：每次循环将当前最大值移至数组末尾，最终形成升序排列。
python
def leftSon(idx):
return 2 * idx + 1
def rightSon(idx):
return 2 * idx + 2
def parent(idx):
return (idx - 1) // 2
def better(a, b):
return a > b
class Solution:
def Heapify(self, heap, size, curr):
leftSonId = leftSon(curr)
rightSonId = rightSon(curr)
optId = curr
if leftSonId < size and better(heap[leftSonId], heap[optId]):
optId = leftSonId
if rightSonId < size and better(heap[rightSonId], heap[optId]):
optId = rightSonId
if curr != optId:
heap[curr], heap[optId] = heap[optId], heap[curr]
self.Heapify(heap, size, optId)
def sortArray(self, nums: List[int]) -> List[int]:
n = len(nums)
for i in range(n // 2, -1, -1):
self.Heapify(nums, n, i)
for i in range(n-1, -1, -1):
nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0]
self.Heapify(nums, i, 0)
return nums