【格与代数系统】偏序关系、偏序集与全序集

关系:X,Y是两个非空集合, 记则称R是X到Y的一个二元关系,简称关系。
,记
时,称上的一个关系。

目录

偏序关系

偏序集

可比性

全序集

最值与上下界

上下确界


偏序关系

上的一个关系,若满足:

(1)自反性:对任意的 ,有

(2)反对称性:若,则

(3)传递性:若, 则

则称上的一个偏序关系

例:中,小于或等于关系,即满足偏序关系,可以有关系矩阵

偏序集

一般用符号 来表示偏序关系,从而,称是一个偏序集。

偏序关系偏序集

可比性

是一个偏序集,对任意,若至少有一个成立,则称可比 ;反之,若都不成立,则称不可比

,则记

全序集

若对任意的,都有可比,则称是一个线性序或全序**。** 并称是一个线性序集全序集

一个线性序集也称为一条链,偏序集的线性序的子集 (在原偏序关系下) 构成一条链。

偏序集+可比性全序集

最值与上下界

是一个偏序集.

若存在,使得对任意的,有,则称最大元

若存在, 使得对任意的, 有,则称最小元

是一个偏序集,.

若存在,对任意的, 有则称的一个上界

若存在,对任意的,有,则称的一个下界

上下确界

是一个偏序集,.

的一个上界,且对的任意上界,都有 ,则称的最小上界或上确界 ,记

的一个下界,且对的任意下界,都有, 则称的最大下界或下确界 ,记

的上、下确界存在,则记:

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