【格与代数系统】偏序关系、偏序集与全序集

F_D_Z2025-06-22 12:57

关系：X,Y是两个非空集合, 记若则称R是X到Y的一个二元关系，简称关系。
若,记。
当时，称是上的一个关系。

设是上的一个关系，若满足：

(1)自反性：对任意的 ,有；

(2)反对称性：若,则；

(3)传递性：若, 则；

则称是上的一个偏序关系。

例：中，小于或等于关系，即满足偏序关系，可以有关系矩阵

一般用符号来表示偏序关系，从而，称是一个偏序集。

偏序关系偏序集

设是一个偏序集，对任意，若与至少有一个成立，则称与可比；反之，若与都不成立，则称与不可比；

若且,则记

若对任意的,都有与可比，则称是一个线性序或全序**。** 并称是一个线性序集 或全序集。

一个线性序集也称为一条链，偏序集的线性序的子集 (在原偏序关系下) 构成一条链。

偏序集+可比性全序集

设是一个偏序集.

若存在,使得对任意的,有,则称是的最大元；

若存在, 使得对任意的, 有,则称是的最小元。

设是一个偏序集，.

若存在,对任意的, 有则称是的一个上界；

若存在,对任意的,有,则称是的一个下界。

设是一个偏序集，.

若是的一个上界，且对的任意上界,都有 ,则称是的最小上界或上确界 ，记

若是的一个下界，且对的任意下界,都有, 则称是的最大下界或下确界 ，记。

若的上、下确界存在，则记: