洛谷 P1005 [NOIP 2007 提高组] 矩阵取数游戏

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 n×m 的矩阵，矩阵中的每个元素 ai,j 均为非负整数。游戏规则如下：

每次取数时须从每行各取走一个元素，共 n 个。经过 m 次后取完矩阵内所有元素；
每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 ×2i，其中 i 表示第 i 次取数（从 1 开始编号）；
游戏结束总得分为 m 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式

输入文件包括 n+1 行：

第一行为两个用空格隔开的整数 n 和 m。

第 2∼n+1 行为 n×m 矩阵，其中每行有 m 个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

输出文件仅包含 1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

输入输出样例

输入 #1复制

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2 3
1 2 3
3 4 2

输出 #1复制

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说明/提示

【数据范围】

对于 60% 的数据，满足 1≤n,m≤30，答案不超过 1016。

对于 100% 的数据，满足 1≤n,m≤80，0≤ai,j≤1000。

【题目来源】

NOIP 2007 提高第三题。

思路解析与大纲

有一个n×m的矩阵，对于第i行，每次取走边缘的值Ai,j，增加这一行的得分x(自行看题目规则)，求n行的最大得分总和。

求n行最大得分和，每一行取数又不会影响到其他行，那么只要确保每一行得分最大，管好自家孩子就行了。（这个在动规中叫最优子结构）

每次取数是在边缘取，那么每次取数完剩下来的元素一定是在一个完整的一个区间中，又是求最优解，区间DP应运而生。

我们用fi,j表示区间变为[i,j]时，获得的最大分数。

可以发现每行怎么取并不会有什么影响，只要算出这些然后加起来就可以了。

然后对于每行，有f[i][j]代表取区间[i,j]的最大值

然后转移方程我们考虑，对于每一个新的f[i][j]，有两种情况（下面定义a[i]代表该行的每个数）：

先取前面的（a[i]），再取剩下的f[i+1][j]即[i+1,j]的最大值：2f[i+1][j]+2a[i]即把接下来取的所有数乘上2，也就是把接下来取的所有数从x2i变为x2i+1即每次取都把之前的翻一倍，然后当前取的值a[i]要乘上21即2

先取后面的（a[j]），再取剩下的f[i][j−1]即[i,j−1]的最大值：2f[i][j−1]+2a[j]同理

故转移方程为f[i][j]=max(2f[i+1][j]+2a[i],2f[i][j−1]+2a[j])

所以程序就很好写了。

AC代码

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN=81;

inline void input(__int128 &s)
{
    s=0;
    char c=' ';
    while(c>'9'||c<'0') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')
    {
        s=s*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
}

inline void output(__int128 x)
{
    if(x>9)
        output(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

int n, m;
__int128 game[MAXN][MAXN];

__int128 f[MAXN][MAXN];
__int128 solve(__int128 a[])
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int len=0;len<=m;++len)
    	for(int i=1;i+len<=m;++i)
            f[i][i+len]=max(2*f[i+1][i+len]+2*a[i],2*f[i][i+len-1]+2*a[i+len]);
    return f[1][m];
}

__int128 ans=0;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            input(game[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=solve(game[i]);
    output(ans);
    return 0;
}