差分和前缀和的原理、用法和区别。
前缀和（Prefix Sum）
核心思想：预处理数组的前缀和，快速回答「区间和查询」
适用场景：数组静态（更新少、查询多），需要频繁计算任意区间的和
1. 定义与构建
对于原数组 a[0...n-1] ，前缀和数组 preSum 满足：
preSum[i] = a[0] + a[1] + ... + a[i-1]
（ preSum[0] = 0 ，方便边界计算）
构建代码：
vector<long long> buildPreSum(vector<int>& a) {
int n = a.size();
vector<long long> preSum(n + 1, 0);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
preSum[i + 1] = preSum[i] + a[i];
}
return preSum;
}
2. 核心作用：O(1) 区间和查询
原数组区间 [l, r] （闭区间）的和为：
sum(l, r) = preSum[r + 1] - preSum[l]
示例：
原数组 a = [1, 2, 3, 4] ，则 preSum = [0, 1, 3, 6, 10]
查询 a[1..3] （元素 2,3,4 ）的和： preSum[4] - preSum[1] = 10 - 1 = 9
差分（Difference Array）
核心思想：预处理差分数组，快速执行「区间更新」
适用场景：数组动态（更新多、查询少），需要频繁对区间进行加减操作
1. 定义与构建对于原数组
a[0...n-1] ，差分数组 diff 满足：
diff[i] = \begin{cases}
a[0] & (i=0) \\
a[i] - a[i-1] & (i>0)
\end{cases}
构建代码（直接初始化，或从原数组推导）：
vector<int> buildDiff(vector<int>& a) {
int n = a.size();
vector<int> diff(n, 0);
diff[0] = a[0];
for (int i = 1; i < n; ++i) {
diff[i] = a[i] - a[i-1];
}
return diff;
}
2. 核心操作：O(1) 区间更新
对原数组 a 的区间 [l, r] 全部加 val ，只需操作差分数组：
diff[l] += val; // 起点 l 开始有增量
if (r + 1 < n) {
diff[r + 1] -= val; // 终点 r+1 处取消增量（防止扩散到区间外）
}
原理：差分数组记录的是「相邻元素的变化量」。当通过前缀和还原原数组时， diff[l] += val 的影响会传递到 a[l..n-1] ，而 diff[r+1] -= val 会抵消 r+1 之后的影响，最终只有 a[l..r] 被加上 val 。
3. 还原原数组（从差分 → 原数组）
对差分数组求前缀和，即可还原原数组：
vector<int> restoreArray(vector<int>& diff) {
int n = diff.size();
vector<int> a(n, 0);
a[0] = diff[0];
for (int i = 1; i < n; ++i) {
a[i] = a[i-1] + diff[i];
}
return a;
}
或更高效的原地操作（差分数组直接变原数组）：
for (int i = 1; i < n; ++i) {
diff[i] += diff[i-1];
}
// 此时 diff 数组等价于原数组 a
前缀和 vs 差分：核心区别
特性 前缀和（Prefix Sum） 差分（Difference Array）
核心用途 快速查询区间和（静态数组） 快速执行区间更新（动态数组）
操作对象 原数组 → 前缀和数组（预处理） 原数组 → 差分数组（预处理）
时间复杂度 构建 O(n)，查询 O(1) 构建 O(n)，区间更新 O(1)，还原 O(n)
典型场景 数组不变，频繁查区间和（如 LeetCode 560） 数组常变，频繁对区间加减（如 LeetCode 1109）
综合示例：前缀和 + 差分
题目：
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初始数组 a = [1, 2, 3, 4]
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对区间 [1, 3] （元素 2,3,4 ）加 5
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查询最终数组的区间 [0, 2] （元素 1,7,8 ）的和
步骤 1：用差分执行区间更新
原数组 a = [1, 2, 3, 4] ，构建差分数组：
diff = [1, 1, 1, 1] // 因为 2-1=1, 3-2=1, 4-3=1
对区间 [1, 3] 加 5 ：
diff[1] += 5; // diff[1] = 6
if (3+1 < 4) diff[4] -=5; // 数组长度 4，r+1=4 越界，无需操作
此时差分数组 diff = [1, 6, 1, 1]
步骤 2：还原原数组（差分 → 原数组）
对 diff 求前缀和：
a[0] = 1
a[1] = 1 + 6 = 7
a[2] = 7 + 1 = 8
a[3] = 8 + 1 = 9
还原后数组 a = [1, 7, 8, 9]
步骤 3：用前缀和查询区间和
构建前缀和数组 preSum ：
preSum = [0, 1, 8, 16, 25]
查询区间 [0, 2] 的和：
sum = preSum[3] - preSum[0] = 16 - 0 = 16
总结
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前缀和是「区间和查询」的优化工具，适合数组静态、查询频繁的场景。
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差分是「区间更新」的优化工具，适合数组动态、更新频繁的场景。
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两者常配合使用：用差分处理更新，再用前缀和处理查询，覆盖更复杂的需求。
理解这两个技巧的核心逻辑后，很多数组操作的题目（尤其是竞赛题）都能迎刃而解。