好的西门～我们来详细讲解「前向算法（Forward Algorithm） 」在 隐马尔可夫模型（HMM） 中求概率的用法。
📘 前向算法（Forward Algorithm）求概率
✅ 一句话总结
前向算法 是用于计算给定观测序列出现的概率 的动态规划方法，关键思想是：逐步累积前面所有可能路径的概率和。
🔶 一、问题背景
我们在 HMM（隐马尔可夫模型） 中有：
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状态序列（隐藏）：Q={q1,q2,...,qT}Q = \{q_1, q_2, \dots, q_T\}
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观测序列（可见）：O={o1,o2,...,oT}O = \{o_1, o_2, \dots, o_T\}
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初始概率：πi=P(q1=Si)\pi_i = P(q_1 = S_i)
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状态转移概率：aij=P(qt+1=Sj∣qt=Si)a_{ij} = P(q_{t+1} = S_j | q_t = S_i)
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观测概率（发射概率）：bj(ot)=P(ot∣qt=Sj)b_j(o_t) = P(o_t | q_t = S_j)
🔶 二、目标
我们想要求：
P(O∣λ)P(O | \lambda)
即：在模型参数 λ\lambda（包含 π,A,B\pi, A, B）已知的情况下，观测序列 OO 出现的总概率。
🔶 三、前向概率定义
令：
αt(i)=P(o1,o2,...,ot,qt=Si∣λ)\alpha_t(i) = P(o_1, o_2, \dots, o_t, q_t = S_i | \lambda)
即：在时间 tt 时处于状态 SiS_i，且前 tt 个观测为 o1,...,oto_1, \dots, o_t 的联合概率
🔶 四、算法步骤（动态规划）
🟡 第一步：初始化（t=1）
α1(i)=πi⋅bi(o1)\alpha_1(i) = \pi_i \cdot b_i(o_1)
表示初始时就处于状态 SiS_i，并发出观测 o1o_1 的概率。
🟡 第二步：递推（t=2 到 T）
αt(j)=∑i=1Nαt−1(i)⋅aij⋅bj(ot)\alpha_t(j) = \sum_{i=1}^N \alpha_{t-1}(i) \cdot a_{ij} \cdot b_j(o_t)
含义：
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从前一步所有状态 SiS_i 转移到当前状态 SjS_j 的所有路径的概率总和，
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再乘上当前状态发出当前观测 oto_t 的概率。
🟡 第三步：终止
P(O∣λ)=∑i=1NαT(i)P(O|\lambda) = \sum_{i=1}^N \alpha_T(i)
所有在最后时刻可能处于的状态的前向概率的总和，就是观测序列的总概率。
✅ 示例（小模型）
假设有两个状态 S1,S2S_1, S_2，一个观测序列 O={o1,o2}O = \{o_1, o_2\}，我们就能通过上面的步骤，用表格或代码，快速算出 P(O∣λ)P(O|\lambda)。
🧠 为什么用前向算法而不是枚举路径？
因为枚举所有隐藏状态路径的组合是 指数级别 O(NT)O(N^T) 的计算复杂度。
而前向算法的动态规划方式将复杂度降为 O(N2T)O(N^2 T)，效率高得多。
📌 总结公式
| 步骤 | 公式 | 含义 |
|---|---|---|
| 初始化 | α1(i)=πibi(o1)\alpha_1(i) = \pi_i b_i(o_1) | 初始时刻 |
| 递推 | αt(j)=∑iαt−1(i)aijbj(ot)\alpha_t(j) = \sum_i \alpha_{t-1}(i) a_{ij} b_j(o_t) | 当前步依赖前一步 |
| 终止 | P(O)=∑iαT(i)P(O) = \sum_i \alpha_T(i) | 最终概率和 |
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