线性代数小述（三）
by Amamiya Fuko
此去经年返，安知胡不归？
前言
FU⭐️KO
首先需要对上一篇的线性组合的概念做一个更正，然后是考虑行列式相关的内容。
目录
1.线性组合
2.行列式
线性组合
线性组合 是对一个向量的分解。考虑一个二维空间，若某一向量与两个向量在同在该空间中，且这两个向量是线性无关的（不平行的），则必然有这个向量对于后两个向量的线性组合表示，如
A v 1 ˇ + B v 2 ˇ = b ˇ A\v{v_1} + B\v{v_2} = \v{b} Av1ˇ+Bv2ˇ=bˇ
行列式
行列式最开始只是种简便记法，如对于以下以下线性组合有
a 1 b 1 a 2 b 2 \] \[ x 1 x 2 \] = \[ c 1 c 2 \] D = ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ , D 1 = ∣ c 1 b 1 c 2 b 2 ∣ , D 2 = ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ \[ D 0 0 D \] \[ x 1 x 2 \] = \[ D 1 D 2 \] x 1 = D 1 D − 1 ， x 2 = D 2 D − 1 \\begin{array}{l} \\begin{bmatrix} a_1 \& b_1 \\\\ a_2 \& b_2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} c_1 \\\\ c_2 \\end{bmatrix} \\\\ \\\\ D = \\begin{vmatrix} a_1 \& b_1 \\\\ a_2 \& b_2 \\end{vmatrix}, D_1 = \\begin{vmatrix} c_1 \& b_1 \\\\ c_2 \& b_2 \\end{vmatrix}, D_2 = \\begin{vmatrix} a_1 \& c_1 \\\\ a_2 \& c_2 \\end{vmatrix} \\\\ \\\\ \\begin{bmatrix} D \& 0 \\\\ 0 \& D \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} D_1 \\\\ D_2 \\end{bmatrix} \\\\ \\\\ x_1 = D_{1}D\^{-1}，x_2= D_{2}D\^{-1} \\end{array} \[a1a2b1b2\]\[x1x2\]=\[c1c2\]D= a1a2b1b2 ,D1= c1c2b1b2 ,D2= a1a2c1c2 \[D00D\]\[x1x2\]=\[D1D2\]x1=D1D−1，x2=D2D−1 ### 行列式运算的定义 设 A i × j A_{i\\times j} Ai×j为n阶方阵 A = \[ a 11 ⋯ a 1 j ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 ⋯ a i j \] A = \\begin{bmatrix} a_{11} \& \\cdots \& a_{1j} \\\\ \\vdots \& \\ddots \& \\vdots \\\\ a_{i1} \& \\cdots \& a_{ij} \\end{bmatrix} A= a11⋮ai1⋯⋱⋯a1j⋮aij det A = ∣ A ∣ = ∑ ( − 1 ) τ ( i 1 ⋯ i n ) + τ ( j 1 ⋯ j n ) a i 1 j 1 ⋯ a i n j n \\det{A} =\|A\| = \\sum (-1)\^{\\tau (i_1 \\cdots i_n) + \\tau (j_1 \\cdots j_n)}a_{i_1 j_1}\\cdots a_{i_n j_n} detA=∣A∣=∑(−1)τ(i1⋯in)+τ(j1⋯jn)ai1j1⋯ainjn 其中 τ ( N ) \\tau (N) τ(N)为排列 N 的**逆序数** ，如 τ ( 132 ) = 1 \\tau (132) = 1 τ(132)=1， τ ( 123 ) = 0 \\tau (123) = 0 τ(123)=0 ### 拉普拉斯展开 子式与余子式，设子式为A，余子式为M，则它们有下列关系 \[ A M \] \\left\[\\begin{array}{c\|ccc} A \& \& \& \\\\ \\hline \\\\ \& \& M \& \\\\ \& \& \& \\end{array}\\right\] AM **拉普拉斯展开** 有 det A = ∑ ( − 1 ) i + j A i j M i j \\det{A} = \\sum (-1)\^{i+j}A_{ij}M_{ij} detA=∑(−1)i+jAijMij