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摩尔投票法：高效寻找数组中的多数元素
问题描述
给定一个大小为 n 的数组 nums，返回其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数大于 ⌊n/2⌋ 的元素。你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。
示例：
java
输入：[2,2,1,1,1,2,2]
输出：2摩尔投票法解析
算法思想
摩尔投票法(Boyer-Moore Voting Algorithm)是一种用于在序列中查找出现次数超过一半的元素的高效算法。其核心思想是**"正负抵消"**：
- 维护一个候选元素
x和一个计数器votes - 遍历数组，当
votes为0时，选择当前数字作为候选 - 遇到相同的数字，
votes加1；遇到不同的数字，votes减1 - 最终剩下的候选
x就是多数元素
代码实现
java
class Solution {
public int majorityElement(int[] nums) {
int x = 0, votes = 0;
for (int num : nums) {
if (votes == 0) x = num; // 当票数为0时，选择当前数字为候选
votes += (num == x) ? 1 : -1; // 相同则加1，不同则减1
}
return x;
}
}执行过程示例
以输入[2,2,1,1,1,2,2]为例：
| 当前数字 | 候选x | votes变化 | 解释 |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 0→1 | 初始化候选为2，votes+1 |
| 2 | 2 | 1→2 | 相同数字，votes+1 |
| 1 | 2 | 2→1 | 不同数字，votes-1 |
| 1 | 2 | 1→0 | 不同数字，votes-1 |
| 1 | 1 | 0→1 | votes=0，更新候选为1 |
| 2 | 1 | 1→0 | 不同数字，votes-1 |
| 2 | 2 | 0→1 | votes=0，更新候选为2 |
最终返回候选x=2
算法正确性证明
摩尔投票法的正确性基于以下数学原理：
- 多数元素存在性：题目保证存在出现次数>n/2的元素
- 抵消原理 ：
- 多数元素与其他元素一一抵消后，必定还有剩余
- 因为多数元素数量 > n/2，其他元素总数 < n/2
- 最终候选不变性 ：
- 即使中间过程候选变化，最终正确的多数元素会"胜出"
复杂度分析
- 时间复杂度 ：O(n)
- 只需一次线性扫描数组
- 空间复杂度 ：O(1)
- 只使用了常数级别的额外空间（x和votes变量）
与其他方法的对比
| 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 哈希表统计法 | O(n) | O(n) | 直观但需要额外空间 |
| 排序法 | O(nlogn) | O(1)或O(n) | 排序后取中间元素 |
| 摩尔投票法 | O(n) | O(1) | 最优解，空间效率最高 |
算法变种与应用
1. 扩展版摩尔投票（求出现次数>n/k的元素）
可以扩展摩尔投票法来查找所有出现次数超过n/k的元素，需要维护k-1个候选和计数器
2. 实际应用场景
- 大数据处理中的频繁项挖掘
- 选举系统快速统计
- 数据流中的主要元素检测
- 系统日志分析中的高频错误识别
边界情况处理
虽然题目保证多数元素存在，但在实际应用中可能需要考虑：
-
无多数元素情况：
java// 可添加验证步骤 int count = 0; for (int num : nums) if (num == x) count++; return count > nums.length / 2 ? x : -1; // -1表示无多数元素 -
空数组处理：
javaif (nums.length == 0) throw new IllegalArgumentException();
代码优化技巧
-
减少比较操作：
javavotes += (num == x) ? 1 : -1; // 可以改为 if (num == x) votes++; else votes--;性能差异不大，取决于JVM优化
-
并行化处理 ：
对于超大数组，可以考虑分块并行计算，最后合并结果
总结
摩尔投票法是一种优雅且高效的算法，用于解决多数元素问题。其主要优势在于：
- 线性时间复杂度：只需遍历数组一次
- 常数空间复杂度：不需要额外存储空间
- 算法简单：实现简洁，易于理解和记忆
理解并掌握这一算法不仅有助于解决类似的编程面试题，也能培养对高效算法的敏感度，为解决更复杂的计算问题奠定基础。