学习笔记二

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数

以下是使用 JavaScript 实现的编辑距离（Levenshtein 距离）动态规划解法，用于计算将 word1 转换成 word2 的最少操作数（插入、删除、替换）：

function minDistance(word1, word2) {
    const m = word1.length, n = word2.length;
    // 创建 (m+1) x (n+1) 的 DP 矩阵
    const dp = Array.from({ length: m + 1 }, () => Array(n + 1).fill(0));
    
    // 初始化边界条件 
    for (let i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = i;  // 删除所有字符
    for (let j = 0; j <= n; j++) dp[0][j] = j;  // 插入所有字符

    // 填充 DP 表 
    for (let i = 1; i <= m; i++) {
        for (let j = 1; j <= n; j++) {
            if (word1[i - 1] === word2[j - 1]) {
                // 字符相同，无需操作 
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 取三种操作的最小值 +1 
                dp[i][j] = 1 + Math.min(
                    dp[i][j - 1],     // 插入操作
                    dp[i - 1][j],     // 删除操作
                    dp[i - 1][j - 1] // 替换操作
                );
            }
        }
    }
    return dp[m][n]; // 返回最终结果
}

// 测试用例
console.log(minDistance("horse", "ros"));      // 输出 3 
console.log(minDistance("intention", "execution")); // 输出 5 

关键点解析：

1. 动态规划定义
   dp[i][j] 表示将 word1 的前 i 个字符转换为 word2 的前 j 个字符所需的最少操作数 。

2. 边界条件：

   • dp[i][0] = i：将 word1 的前 i 个字符全部删除。
   • dp[0][j] = j：向空字符串插入 word2 的前 j 个字符 。

3. 状态转移：

   • 字符相同 ：直接继承左上角的值（dp[i][j] = dp[i-1][j-1]）。
   • 字符不同 ：取以下三种操作的最小值加 1：
     • 插入 ：dp[i][j-1] + 1（在 word1 中插入 word2[j]）。
     • 删除 ：dp[i-1][j] + 1（删除 word1[i]）。
     • 替换 ：dp[i-1][j-1] + 1（将 word1[i] 替换为 word2[j]）。

4. 复杂度：

   • 时间复杂度：O(mn)，需遍历整个 DP 表。
   • 空间复杂度：O(mn)，需存储二维数组 。

优化建议：

• 空间优化：可使用滚动数组（两个一维数组）将空间复杂度降至 O(min(m,n)) 。
• 实际应用：此算法广泛用于拼写纠错、生物信息学（DNA序列比对）等场景 。

以下我将从动态规划的本质、核心要素、设计步骤到经典案例，结合逻辑推演与可视化分析，围绕状态定义→边界条件→状态转移→初始值设计的主线展开，辅以编辑距离（Levenshtein距离）的全程推演。

---

🧠 一、动态规划的本质与核心思想

1. 定义与核心思想

动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种通过将复杂问题分解为重叠子问题 ，并存储子问题的解以避免重复计算，从而高效求解最优解的方法。其核心是 "记录并复用"子问题的解，本质是空间换时间。

类比：登山者记录每个休息站的最佳路径，避免重复探索（无后效性）。

2. 适用问题的三大特征

• 最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解（如最短路径的子路径必最短）。
• 重叠子问题 ：子问题被重复计算（如斐波那契数列中F(3)被多次调用）。
• 无后效性：当前状态一旦确定，后续决策不受之前状态影响（如背包问题中当前容量下的选择与之前物品选择无关）。

3. 与分治法的关键区别

• 分治法：子问题独立（如归并排序）。
• 动态规划：子问题重叠且依赖（如斐波那契数列）。

---

⚙️ 二、动态规划的四大基石

1. 状态定义：问题的数学建模

状态是子问题的抽象表示，需满足两个条件：

• 完整描述 ：涵盖子问题的所有关键变量（如编辑距离中的dp[i][j]表示字符串A前i个字符转成B前j个字符的最小操作数）。
• 无后效性 ：状态仅由当前决策决定，与历史路径无关（如背包问题中dp[i][j]只依赖前一行状态）。

设计技巧：从问题的最后一步逆向思考（如编辑距离的最后一次操作是插入、删除或替换）。

2. 边界条件：递推的起点

边界是状态转移的初始值，通常对应最小子问题的解：

• 空字符串处理 ：若A为空，转成B需插入所有字符（dp[0][j] = j）。
• 零值初始化 ：dp[0][0] = 0（空字符串转空字符串无需操作）。

常见边界：

• 序列问题：空序列长度为0。
• 路径问题：起点到起点距离为0。

3. 状态转移方程：决策逻辑的数学化

方程描述状态间的递推关系，需覆盖所有决策可能：

dp[i][j] = 
\begin{cases} 
dp[i-1][j-1] & \text{if } A[i] = B[j] \\
\min \begin{cases}
dp[i-1][j] + 1 & \text{(删除A[i])} \\
dp[i][j-1] + 1 & \text{(插入B[j])} \\
dp[i-1][j-1] + 1 & \text{(替换字符)}
\end{cases} & \text{otherwise}
\end{cases}

逻辑解析：

• 字符匹配：无需操作，继承左上状态。
• 字符不匹配 ：取三种操作的最小代价：
  • 删除A[i] → 状态回退到(i-1, j)。
  • 插入B[j] → 状态推进到(i, j-1)。
  • 替换字符 → 状态回退到(i-1, j-1)。

4. 计算顺序：确保子问题已求解

必须按依赖顺序计算（如编辑距离中需先计算dp[i-1][j-1]再算dp[i][j]），通常使用自底向上填表法 （从i=0,j=0逐步迭代）。

---

📊 三、案例全程推演：编辑距离算法（Levenshtein距离）

以A="horse"转B="ros"为例，展示动态规划的全过程：

1. 初始化边界条件

	0	r	o	s
0	0	1	2	3
h	1
o	2
r	3
s	4
e	5

2. 状态转移推演（关键步骤）

• i=1, j=1（h→r） ：字符不匹配，取左、上、左上最小值min(1+1, 1+1, 0+1)=1（替换操作）。
• i=2, j=1（o→r） ：不匹配，min(2, 1+1, 1+1)=2（删除'o'）。
• i=2, j=2（o→o） ：匹配，继承左上值dp[1][1]=1。

3. 最终DP表

	0	r	o	s
0	0	1	2	3
h	1	1	2	3
o	2	2	1	2
r	3	2	2	2
s	4	3	3	2
e	5	4	4	3

结果 ：dp[5][3]=3（删除'h'、删除'o'、替换'e'为's'）。

---

⚡️ 四、优化技巧：降低空间复杂度

1. 滚动数组法

若状态仅依赖上一行（如编辑距离），可将二维DP压缩为两个一维数组：

prev = [0, 1, 2, 3]  # 上一行
curr = [1, 0, 0, 0]   # 当前行
for i in range(1, m+1):
    curr[0] = i  # 每行首元素初始化
    for j in range(1, n+1):
        curr[j] = prev[j-1] if A[i-1]==B[j-1] else min(prev[j], curr[j-1], prev[j-1]) + 1
    prev = curr.copy()  # 滚动更新

空间复杂度 ：从O(mn)降至O(n)。

2. 状态压缩的适用场景

• 背包问题：仅依赖前一行的dp[j]和dp[j-w[i]]。
• 斐波那契数列：仅需存储前两个状态。

---

🧩 五、动态规划的通用解题框架

按四步法系统化求解：

1. 状态定义 ：明确dp[i][j]或dp[i]的含义。
2. 边界条件 ：初始化最小子问题的解（如dp[0]=0）。
3. 状态转移：用数学公式覆盖所有决策。
4. 计算顺序：按依赖顺序填表（自底向上）或递归+记忆化（自顶向下）。

自顶向下 vs 自底向上：

方式	优点	缺点
自顶向下（记忆化）	代码直观，按需计算子问题	递归栈溢出风险
自底向上（迭代）	无递归开销，空间优化更灵活	可能计算无用子问题

---

💎 六、总结：吃透动态规划的关键点

1. 本质理解：动态规划是"聪明地穷举"，核心是复用子问题解。
2. 状态设计：从问题的最后一步逆向定义状态，确保无后效性。
3. 转移方程 ：分情况讨论（匹配/不匹配），用min/max覆盖决策。
4. 边界驱动：边界是递推的锚点，需特殊处理（空串、零值等）。
5. 优化方向：滚动数组、状态压缩是高频优化手段。

终极检验：尝试手推背包问题（0-1背包）的状态转移表，并写出空间优化版代码。