1.作用
树状数组是一种高效 而简单的数据结构，用于*大部分区间修改 和查询问题 ，形如\(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+...+a[n]\)（其不支持的可以由线段树替代）
2.选择原因
优点：树状数组的码量 明显比线段树短 ，时间复杂度 比朴素算法与线段树更优 ，空间复杂度 则吊打线段树
缺点：部分线段树能解决的问题树状数组解决不了
3.基本原理&实现方法
如图(from OIWiki)
在求解\(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+...+a[n]\)这类问题时，根据上图这种数据结构，我们可以高效的进行查询
3.0.lowbit
3.0.1.思路
干什么的 ：求一个非负整数\(n\)在二进制下的最低为1的位的个数（1）及其后面的0的位数构成的数（1+后面0的个数）
怎么干 :return x&(-x)
原理（不会可以跳过，但要背结论）:
我们得到lowbit的值，只需要得到最后一个1的位置，并且把除了这个位置之外的所有位置全部置成零。然后输出就可以。思路有了，如何操作？
根据计算机补码的性质，补码就是原码的反码加一
如：
\((110)_{2}\)
反码：
\((001)_{2}\)
加一：
\((010)_{2}\)
可以发现变为反码后 \(x\) 与反码数字位每一位都不同， 所以当反码加\(1\)后会逢\(1\)一直进位直到遇到\(0\)，这个\(0\)变成了\(1\)，操作停止。
进位的部分相当于再一次取反，也就还原原著。而最后变为1的部分又停在最后一个为0的位置，也就是取反前1的位置了，正好完成操作
又有人要问了：主播主播，我也没得到最终结果啊，如果停止进位后前面还有0呢？操作前二进制后的数我们默认它不存在前导零，也就是最高位不可能是0，也就必定是1，取反后为0，得到的一定是一最高位为0的数，而0又可以舍去，因此合理
举个例子，110000~001111 形如0001000可以转化为1000，也就是说最高位不可能是0
3.0.2.代码
cpp
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}3.1.如何修改单点？
3.1.1.思路
更新一个点也要更新其祖上十八代，祖上十八代怎么推？
我们发现每向上一层\(lowbit\)值都增加\(1\),因此得到增加单点代码：
3.1.2 代码
修改单点：
cpp
void build(int x,int k)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
{
c[i]+=k;
}
}修改单点的扩大既是建树（只进行浅谈篇的操作）：
cpp
void build(int x,int k)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
{
c[i]+=k;
}
}
//...
int main()
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
add(i, c[i]);
}
}3.2.如何查询1~x的和？
3.2.1.思路
举例计算\(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]\)的和
从\(a[7]\)开始跳，跳到\(c[7]\)上，发现\(c[7]\)只管辖\(a[7]\),再跳到\(c[6]\)上，发现其管辖\(a[5]+a[6]\),再跳到\(a[4]\)上，发现其管辖\(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]\),发现我们得到最终答案。
完整推导:
\(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]=c[7]+c[6]+c[4]\)
关注等式右侧三个数在树上的关系
再关注等式右侧本身的关系，先推导出\(4,6,7\)的二进制表示
\(4=11_{2},6=110_{2},7=111_{2}\)
研究其关系，发现\(6=7-lowbit(7),4=6-lowbit(6)\)
所以\(code\):
3.2.2.代码
cpp
int ask(int x)
{
int ans=0;
for(int i=1;i<=x;i-=lowbit(x))
{
ans+=c[i];
}
return ans;
}3.3.如何查询任意数~x的和？
3.3.1.思路
前缀和相减（听着很抽象）
公式：\(a[1,r]-a[1,l-1]=a[l,r]\)
3.3.2.代码
cpp
int ask(int x)
{
int ans=0;
for(int i=L-1;i;i-=lowbit(i))
{
ans-=c[i];
}
for(int i=R;i;i-=lowbit(i))
{
ans+=c[i];
}
return ans;
}4.总结&练习&展望
4.1.总结
在浅谈篇中，注意到我们使用树状数组进行了查询区间和 与修改单点 的操作。这是最基本的使用。回忆一下，该二操作关键点在于\(lowbit\)。
4.2.练习
建议同学们完成:
4.3.展望
在下一篇再谈篇中，我们将学习使用前缀和与差分实现区间修改与单点查询，~~~然后就可以开YNOI毒瘤了~
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