量子图灵机（Quantum Turing Machine, QTM）是经典图灵机（Turing Machine, TM）在量子计算框架下的推广，它利用量子力学原理（如叠加态、纠缠和幺正演化）扩展了计算能力。下面对量子图灵机进行解析。
1. 定义与基本结构
定义
量子图灵机由以下几个核心组件构成，
量子态空间（Hilbert Space）：
经典图灵机的配置（状态、磁带内容、读写头位置）被推广为量子态，允许叠加形式：
其中 为复数概率幅，满足
。
有限状态集 ：
包含初始状态 和接受/拒绝状态（测量时坍缩到这些状态）。
字母表 ：
磁带符号（含空白符号 ），支持量子叠加的符号写入。
量子转移函数 ：
对每个 ，输出一组可能的
及其概率幅，需满足幺正性（即整体演化算符
是幺正的：
。
在量子图灵机（QTM）的转移函数定义中，符号 的数学含义和物理意义接下来分开说明。
1.1. 
的含义
复数域： 表示复数集合。量子计算中，概率幅（probability amplitudes）是复数，而非经典概率中的实数。
概率幅的作用：
量子态的演化由复数系数（如 ）描述，其模平方
表示测量时坍缩到该状态的概率。
1.2. 转移函数的完整解释
转移函数的形式为：
输入：当前状态 和读到的磁带符号
。
输出：一个复数赋值的映射，覆盖所有可能的：新状态 ，写入的符号
，读写头移动方向
（左/右）。
具体表现，
对每个 ，
输出一组形如
其中 是转移到配置
的概率幅。
1.3. 为什么需要复数
量子叠加与干涉：
复数相位（如 ）允许量子态之间发生相长/相消干涉，这是量子并行性的核心（例如Deutsch-Jozsa算法中的相位反转）。经典概率（实数）无法描述干涉现象。
幺正性（Unitarity）：
量子演化必须保持概率守恒 （即幺正性 ），复数系数是满足此性质的数学必需。
例如，Hadamard门的变换矩阵包含 ，其平方和为1。
全局相位与相对相位：
复数的相位差（如 ）是量子纠缠和隐形传态的关键资源。
1.4. 示例说明
假设某QTM的转移函数对 的定义：
含义：
以概率幅 转移到状态
，写入 0 并右移；
以概率幅 转移到状态
，保持 1 并左移。
测量概率：两种结果的概率均为 。
1.5. 与经典图灵机的对比
经典确定性TM：
输出唯一的下一个配置（如
），无复数系数。
经典概率TM：
输出是概率分布（实数且非负，如 ），但无复数相位。
量子TM：
复数概率幅允许干涉和纠缠，这是量子加速（如Shor算法）的根源。
1.6. 数学验证：幺正性条件
为确保量子演化的合法性， 必须满足：
.
即每个输入的转移概率幅模平方和为1（类比经典概率的归一化）。
1.7 分析总结
表示，量子图灵机的每一步演化由复数概率幅控制，支持叠加态和干涉。复数
是量子计算超越经典计算的关键数学结构，使得量子并行性和相位操作成为可能。这一形式化定义是量子计算理论的基础，与物理实现（如量子门操作）直接对应。
2. 核心性质
2.1. 量子并行性
QTM 可同时处理多个计算路径（叠加态），例如：
输入 比特时，QTM 可同时计算
个状态（指数级并行性）。
2.2. 幺正演化
每一步操作必须保持概率守恒，即转移矩阵 是幺正矩阵。
经典TM的不可逆操作（如删除信息）在QTM中需通过辅助比特实现可逆性。【注，从非相对论独立量子系统的角度，没有什么是会消失的】
2.3. 测量与概率输出
计算结束时，对量子态进行测量，得到接受/拒绝结果的概率由 和
决定。
输出是概率性的（类似BQP复杂度类）。
2.4. 与经典TM的关系
经典TM是QTM的特例：当所有概率幅为0或1时，QTM退化为确定性TM。
严格更强未确定：目前已知QTM可高效解决某些经典难解问题（如Shor算法），但尚未证明 。
3. 示例：Deutsch-Jozsa问题的QTM实现
问题：判断函数 是常函数（全0或全1）还是平衡函数（一半0、一半1）。
QTM步骤：
初始化磁带为 ，应用Hadamard 门生成叠加态：
通过量子转移函数 实现 Oracle 查询（相位反转）：
再次应用 Hadamard 门并测量：若结果为，则
为常函数；否则为平衡函数。
优势：QTM仅需1次查询，经典TM最坏需 次。
4. 与量子线路模型的等价性
量子图灵机（QTM）与量子线路模型（Quantum Circuit Model）在计算能力上是等价的：
QTM → 量子线路：QTM的每一步幺正操作可分解为量子门序列。
量子线路 → QTM：量子线路可通过QTM模拟，磁带存储量子门操作的历史。
但量子线路更实用，因其直接对应现代量子计算机的物理实现（如超导量子比特）。
5. 复杂度与开放问题
复杂度类
BQP（Bounded-Error Quantum Polynomial Time）：
QTM在多项式时间内以高概率（≥2/3）解决的问题类（如整数分解、离散对数）。
已知关系： 。
未解决问题： 是否成立？
开放问题
量子优势的极限：是否存在 BQP-complete 问题（类似NP-complete）？
物理实现：如何构建可扩展、容错的QTM硬件？
与经典计算的关系：是否所有P问题都可被QTM高效解决（即 P = BQP）？
6. 量子图灵机小结
量子图灵机是理论模型，结合了图灵机的框架与量子叠加/纠缠特性。
优势：潜在指数级加速（如Shor算法）、并行性、解决经典难解问题。
挑战：物理实现困难（退相干、纠错）、数学基础未完全明确（如BQP与NP的关系）。
意义：为理解量子计算的极限提供了理论基础，推动算法设计（如Grover搜索、HHL线性方程求解）。
量子图灵机不仅是抽象工具，更是探索"计算本质"的桥梁------它揭示了一个可能性：在某些问题上，宇宙允许我们比经典计算机走得更快，但可能依然不是最快的可能方式。
7.附录：量子力学和量子计算的酉正变换
从非相对论独立量子系统的角度出发，量子演化遵循幺正性（unitarity），这意味着信息不会消失，量子态始终以确定性的方式演化。这一观点与经典物理中的信息守恒和量子力学的基本原理密切相关。
7.1. 幺正演化的核心思想
在量子力学中，一个封闭（孤立）量子系统的演化由幺正算符 描述：
其中 满足
，即：可逆性：任何量子操作均可通过
逆转。
信息守恒：量子态的内积（即概率幅）在演化中保持不变。
推论：量子信息不会被销毁，只会被转移或重新编码。
7.2. 量子图灵机中的幺正性
量子图灵机（QTM）的转移函数 必须生成幺正演化，每个配置的转移概率幅需满足归一化条件：
（全局确定性）即使单个路径的概率幅可能干涉相消，但所有可能的演化路径总概率保持守恒。
示例 ：
若QTM在某步将状态 分裂为
，则未来可通过逆操作重新组合为原状态（假设无测量）。
7.3. "没有什么是会消失"的物理表现
（1）量子态的非定域性
量子信息可能分散到多个自由度（如纠缠态），但绝不会完全消失。
例如：一个量子比特 被编码到多个辅助比特中，信息仍存在于联合系统中。
（2）量子纠错与相干性
即使环境导致退相干（decoherence），信息实际上转移到了环境自由度中（整体系统仍幺正演化）。
量子纠错码通过主动修复，将"丢失"的信息从环境中重新提取。
（3）No-Cloning定理的互补性
量子不可克隆定理（No-Cloning）禁止完美复制未知量子态，但同时也意味着量子信息不能被完全擦除（否则可逆性被破坏）。
7.4. 与经典计算的对比
| 性质 | 经典图灵机 | 量子图灵机 |
|---|---|---|
| 信息处理 | 可擦除信息（如覆盖磁带符号） | 信息必须守恒（幺正演化） |
| 操作 | 允许不可逆操作（如AND门） | 所有操作必须可逆（如Toffoli门） |
| "消失"的含义 | 信息可被删除（热力学熵增） | 信息仅被隐藏或分散（整体系统保持幺正） |
7.5. 哲学与物理意义
量子版本的"拉普拉斯妖"， 若知道整个宇宙的量子态（作为封闭系统），理论上可逆推所有历史状态------这与经典热力学中的信息丢失形成鲜明对比。
黑洞信息悖论，霍金辐射是否破坏量子信息？现代研究（如全息原理）倾向于信息仍被保留，支持幺正性普适性。
7.6. 实际限制
尽管理论要求信息不消失，但实际量子系统面临挑战：
退相干，环境相互作用导致有效信息"丢失"（实际是与环境纠缠）。
测量坍缩，投影测量破坏叠加态，但可视为与测量设备的幺正相互作用。
误差积累，物理噪声使得完美逆操作难以实现。
7.7总结
量子力学本质：非相对论独立量子系统的幺正性确保了"无物消失"，信息始终以某种形式存在。
量子计算的启示：QTM的设计必须严格遵循幺正性，这是量子算法（如Shor、Grover）高效性的数学基础。
物理现实：虽然开放系统中的"表观信息丢失"不可避免，但理论上可通过全局视角恢复一致性。
这一原理深刻体现了量子世界与经典直观的差异，也为量子纠错和拓扑量子计算提供了理论基础。