嵌入式 - 数据结构：二叉树

Skylar_.2025-08-08 15:05

目录

一、二叉树的基础概念

[1. 从树形结构到二叉树](#1. 从树形结构到二叉树)

[2. 二叉树的核心术语](#2. 二叉树的核心术语)

二、二叉树的常见类型

[1. 按节点结构分类](#1. 按节点结构分类)

[2. 满二叉树](#2. 满二叉树)

[3. 完全二叉树](#3. 完全二叉树)

三、二叉树的核心操作

[1. 节点定义](#1. 节点定义)

[2. 二叉树的创建](#2. 二叉树的创建)

（1）完全二叉树的创建（递归）

（2）非完全二叉树的创建（用户输入）

[3. 二叉树的销毁](#3. 二叉树的销毁)

[4. 二叉树的高度计算](#4. 二叉树的高度计算)

四、二叉树的遍历方式

[1. 深度优先遍历（DFS）](#1. 深度优先遍历（DFS）)

（1）前序遍历（根左右）

（2）中序遍历（左根右）

（3）后序遍历（左右根）

（4）非递归遍历（借助栈）

[2. 广度优先遍历（BFS）：层序遍历](#2. 广度优先遍历（BFS）：层序遍历)

五、二叉树的应用场景

总结

在数据结构的世界里，二叉树是一种经典的非线性结构，它以灵活的层次化存储方式，在算法设计、数据检索等领域发挥着不可替代的作用。本文将从基础概念出发，深入解析二叉树的核心特性、常见类型、遍历方式及核心操作，并结合实践代码探讨其应用场景。

一、二叉树的基础概念

1. 从树形结构到二叉树

树形结构是一类重要的非线性结构，它通过 "前驱 - 后继" 关系描述数据间的一对多关联，而二叉树是树形结构中最常用的一种 ------所有节点的度数（后继节点个数）最大为 2。

2. 二叉树的核心术语

  • 节点：组成二叉树的基本单元，包含数据及指向子节点的指针。
  • 根节点：没有前驱的节点，是树的起点。
  • 分支节点：既有前驱又有后继的节点（至少有一个子节点）。
  • 叶子节点：没有后继的节点（左右子节点均为空）。
  • 层：根节点为第 1 层，其子节点为第 2 层，以此类推。
  • 高度：节点高度是由该节点到最远的叶子节点的距离表示该节点高度
  • 深度：节点深度是由该节点到根节点的距离表示节点深度
  • 树的高度 / 深度：树的高度（或深度）等于层数最多的节点的层数，即从根到最远叶子的距离。
  • 树的高度 == 树的深度 == 树的层数
  • 度：节点的后继个数（二叉树中节点的度只能是 0、1 或 2）。

二、二叉树的常见类型

1. 按节点结构分类

二叉树的节点可分为四种类型：

  • 叶子节点（度为 0）；
  • 只有左孩子的节点（度为 1）；
  • 只有右孩子的节点（度为 1）；
  • 左右孩子都有的节点（度为 2）。

2. 满二叉树

定义 ：所有叶子节点均在同一层，且每层节点个数达到最大值（第 k 层有 2^(k-1) 个节点）。
特性：

  • 第 k 层节点数：2^(k-1)；
  • 前 k 层总节点数：2^k - 1。

3. 完全二叉树

定义 ：节点按 "左孩子编号 = 2n、右孩子编号 = 2n+1" 规则编号后，编号序列是连续的 （即除最后一层外，每层节点均满，且最后一层节点靠左排列）。
特性：

  • 对于编号为 i 的节点，若 i>1，则父节点编号为 i//2（向下取整）；
  • 若 2i ≤ 总节点数，则左孩子存在；若 2i+1 ≤ 总节点数，则右孩子存在；
  • 适合用数组存储（无需存储指针，通过编号计算父子关系）。

完全二叉树的遍历形式：

深度优先遍历（DFS）

前序遍历（先序遍历）：根左右

中序遍历：左根右

后序遍历：左右根

广度优先遍历（BFS）

层序遍历：逐层从左到右依次遍历

三、二叉树的核心操作

1. 节点定义

二叉树节点包含数据域和指向左右子节点的指针：

复制代码 
typedef struct node {
    int no;  // 节点编号（数据域）
    struct node *pleftchild;  // 左子节点指针
    struct node *prightchild;  // 右子节点指针
} treenode;

2. 二叉树的创建

（1）完全二叉树的创建（递归）

根据完全二叉树的编号规则（左孩子 2n，右孩子 2n+1）递归创建：

  1. 申请节点空间
  2. 存放数据编号
  3. 如果存在左子树递归创建左子树
  4. 如果存在右子树递归创建右子树
cpp 复制代码 
/* 创建完全二叉树 */
treenode *create_complete_btree(int startno, int endno)
{
    treenode *ptmpnode = NULL;

    ptmpnode = malloc(sizeof(treenode));
    if(NULL == ptmpnode)
    {
        perror("fail to malloc");
        return NULL;
    }

    ptmpnode->no = startno;
    ptmpnode->pleftchild = ptmpnode->prightchild = NULL;
    if (2*startno <= endno)
    {
        ptmpnode->pleftchild = create_complete_btree(2*startno, endno);
    }
    if (2*startno + 1 <= endno)
    {
        ptmpnode->prightchild = create_complete_btree(2*startno+1, endno);
    }

    return ptmpnode;
}
（2）非完全二叉树的创建（用户输入）

通过用户输入决定节点是否存在（'#' 表示空节点）：

非完全二叉树，每个结构不一定相同，所以需要从终端接收用户输入决定二叉树的创

cpp 复制代码 
/* 创建非完全二叉树 */
treenode *create_btree(void)
{
    char ch = 0;
    treenode *ptmpnode = NULL;

    scanf(" %c", &ch);
    if ('#' == ch)
    {
        return NULL;
    }

    ptmpnode = malloc(sizeof(treenode));
    if (NULL == ptmpnode)
    {
        perror("fail to malloc");
        return NULL;
    }

    ptmpnode->data = ch;
    ptmpnode->pleftchild = create_btree();
    ptmpnode->prightchild = create_btree();

    return ptmpnode;
}

3. 二叉树的销毁

采用后序遍历逻辑（先销毁子树，再销毁自身）：

cpp 复制代码 
int destroy_btree(treenode *proot) {
    if (proot->pleftchild) {
        destroy_btree(proot->pleftchild);  // 销毁左子树
    }
    if (proot->prightchild) {
        destroy_btree(proot->prightchild);  // 销毁右子树
    }
    free(proot);  // 销毁当前节点
    return 0;
}

4. 二叉树的高度计算

树的高度为左右子树高度的最大值加 1（空树高度为 0）：

获得树的高度、深度、层数

cpp 复制代码 
/* 获得树的高度、深度、层数 */
int get_bintree_height(treenode *proot)
{
    int leftheight = 0;
    int rightheight = 0;

    if (NULL == proot)
    {
        return 0;
    }

    leftheight = get_bintree_height(proot->pleftchild);
    rightheight = get_bintree_height(proot->prightchild);
    
    return (leftheight > rightheight ? leftheight : rightheight)+1;
}

四、二叉树的遍历方式

遍历是二叉树最核心的操作，通过遍历可按特定顺序访问树中所有节点。常见遍历方式分为深度优先遍历（DFS） 和广度优先遍历（BFS）。

1. 深度优先遍历（DFS）

以 "深入" 为优先，沿着一条路径走到叶子节点后再回溯，包括前序、中序、后序三种方式。

（1）前序遍历（根左右）

顺序 ：先访问根节点，再遍历左子树，最后遍历右子树。
递归实现：

复制代码 
int preorder_btree(treenode *proot) {
    printf("%d ", proot->no);  // 访问根
    if (proot->pleftchild != NULL) {
        preorder_btree(proot->pleftchild);  // 遍历左子树
    }
    if (proot->prightchild != NULL) {
        preorder_btree(proot->prightchild);  // 遍历右子树
    }
    return 0;
}
（2）中序遍历（左根右）

顺序 ：先遍历左子树，再访问根节点，最后遍历右子树。
递归实现：

复制代码 
int inorder_btree(treenode *proot) {
    if (proot->pleftchild != NULL) {
        inorder_btree(proot->pleftchild);  // 遍历左子树
    }
    printf("%d ", proot->no);  // 访问根
    if (proot->prightchild != NULL) {
        inorder_btree(proot->prightchild);  // 遍历右子树
    }
    return 0;
}
（3）后序遍历（左右根）

顺序 ：先遍历左子树，再遍历右子树，最后访问根节点。
递归实现：

复制代码 
int postorder_btree(treenode *proot) {
    if (proot->pleftchild != NULL) {
        postorder_btree(proot->pleftchild);  // 遍历左子树
    }
    if (proot->prightchild != NULL) {
        postorder_btree(proot->prightchild);  // 遍历右子树
    }
    printf("%d ", proot->no);  // 访问根
    return 0;
}
（4）非递归遍历（借助栈）

递归遍历的本质是利用系统栈，非递归实现则需手动维护栈结构：

  • 前序：入栈前访问根节点，优先将左子树入栈，左子树为空时弹出节点并处理右子树；
cpp 复制代码 
/* 非递归前序遍历 */
int preorder_btree_bystack(treenode *proot)
{
    linknode *ptmpstack = NULL;
    treenode *ptmpnode = NULL;

    ptmpstack = create_empty_linkstack();
    
    ptmpnode = proot;
    while (1)
    {
        while (ptmpnode != NULL)
        {
            printf("%c ", ptmpnode->data);
            push_linkstack(ptmpstack, ptmpnode);
            ptmpnode = ptmpnode->pleftchild;
        }   

        if (is_empty_linkstack(ptmpstack))
        {
            break;
        }

        ptmpnode = pop_linkstack(ptmpstack);
        ptmpnode = ptmpnode->prightchild;
    }
    
    return 0;
}
  • 中序：左子树入栈到底后，弹出节点并访问，再处理右子树；
cpp 复制代码 
/* 非递归中序遍历 */
int inorder_btree_bystack(treenode *proot)
{
    linknode *ptmpstack = NULL;
    treenode *ptmpnode = NULL;

    ptmpstack = create_empty_linkstack();
    
    ptmpnode = proot;
    while (1)
    {
        while (ptmpnode != NULL)
        {
            push_linkstack(ptmpstack, ptmpnode);
            ptmpnode = ptmpnode->pleftchild;
        }   

        if (is_empty_linkstack(ptmpstack))
        {
            break;
        }

        ptmpnode = pop_linkstack(ptmpstack);
        printf("%c ", ptmpnode->data);
        ptmpnode = ptmpnode->prightchild;
    }
    
    return 0;
}
  • 后序：需给节点标记（1 次入栈找右子树，2 次入栈才访问），避免漏访。
  1. 因为最后打印根节点，所以根节点需要2次入栈
  2. 第一次入栈，是为了出栈时找到该节点的右孩子，找到右孩子后，继续将节点入栈
  3. 第二次入栈，是为了打印该节点
cpp 复制代码 
/* 非递归后序遍历 */
int postorder_btree_bystack(treenode *proot)
{
    linknode *ptmpstack = NULL;
    treenode *ptmpnode = NULL;

    ptmpstack = create_empty_linkstack();
    
    ptmpnode = proot;
    while (1)
    {
        while (ptmpnode != NULL)
        {
            ptmpnode->flag = 1;
            push_linkstack(ptmpstack, ptmpnode);
            ptmpnode = ptmpnode->pleftchild;
        }   

        if (is_empty_linkstack(ptmpstack))
        {
            break;
        }

        ptmpnode = pop_linkstack(ptmpstack);
        if (1 == ptmpnode->flag)
        {
            ptmpnode->flag = 0;
            push_linkstack(ptmpstack, ptmpnode);
            ptmpnode = ptmpnode->prightchild;
        }
        else if (0 == ptmpnode->flag)
        {
            printf("%c ", ptmpnode->data);
            ptmpnode = NULL;
        }
    }
    
    return 0;
}

2. 广度优先遍历（BFS）：层序遍历

顺序：从根节点开始，逐层从左到右访问所有节点（借助队列实现）。


实现代码：

复制代码 
int layoutorder_btree(treenode *proot) {
    linknode *ptmpqueue = create_empty_linkqueue();  // 创建队列
    treenode *ptmpnode = NULL;
    enter_linkqueue(ptmpqueue, proot);  // 根节点入队
    while (!is_empty_linkqueue(ptmpqueue)) {
        ptmpnode = quit_linkqueue(ptmpqueue);  // 出队并访问
        printf("%d ", ptmpnode->no);
        if (ptmpnode->pleftchild != NULL) {
            enter_linkqueue(ptmpqueue, ptmpnode->pleftchild);  // 左孩子入队
        }
        if (ptmpnode->prightchild != NULL) {
            enter_linkqueue(ptmpqueue, ptmpnode->prightchild);  // 右孩子入队
        }
    }
    destroy_linkqueue(&ptmpqueue);
    return 0;
}

五、二叉树的应用场景

  1. 二叉搜索树（BST）：左子树节点值均小于根，右子树节点值均大于根，支持高效的插入、删除和查找（平均时间复杂度 O (logn)）。
  2. 堆（Heap）：基于完全二叉树实现，分为大根堆（根节点最大）和小根堆（根节点最小），常用于优先队列和排序（堆排序）。
  3. 哈夫曼树：带权路径长度最短的二叉树，用于数据压缩（哈夫曼编码）。
  4. 表达式树 ：用于解析数学表达式（如 "(3+4)5" 可表示为根为''，左子树为 '+'，右子树为 5）。

总结

二叉树作为一种灵活的非线性结构，通过层次化的存储方式平衡了数据的访问效率和扩展性。从基础概念到遍历操作，再到实际应用，二叉树的每一个特性都为解决复杂问题提供了思路。掌握二叉树不仅是数据结构学习的关键，更是深入理解算法设计的基础 ------ 无论是递归思想的运用，还是栈、队列等辅助结构的配合，都为后续学习更复杂的树结构（如红黑树、B 树）奠定了坚实的基础。

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