归并排序：分治思想的完美演绎
基本思想
归并排序（Merge Sort）是**分治法（Divide and Conquer）**的经典应用，由计算机科学先驱约翰·冯·诺依曼于1945年提出。其核心思想是：将大问题分解为小问题，解决小问题后合并结果。
算法流程分为两个核心阶段：
- 分（Divide）：递归地将当前数组分割成两个子数组，直到每个子数组只包含一个元素（天然有序）
- 治（Conquer）：将两个有序子数组合并成一个新的有序数组
归并排序的核心操作是合并两个有序数组 ：每次比较两个数组的首元素，将较小者放入新数组 ，直到所有元素合并完成。
c
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void _MergeSort(int* a, int* tmp, int begin, int end)
{
// 递归终止条件：当子数组只有一个元素时
if (begin == end)
{
return;
}
// 计算中间点
int mid = (begin+end)/2;
//如果[begin,mid]和[mid+1,end]有序就可以进行归并了 这里区间不能分为[begin,mid-1][mid,end] 这是个坑 比如2 3 6 7
_MergeSort(a,tmp, begin,mid);//把一组分成左右两个区间
_MergeSort(a, tmp, mid+1, end);
//归并
int begin1 = begin, end1 = mid ;
int begin2 = mid+1, end2 = end;
int i = begin;
while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)//有一个结束了就把没结束的那个全部尾插到后边
{
if (a[begin1] < a[begin2])
{
tmp[i++] = a[begin1++];//让小的那个++
}
else
{
tmp[i++] = a[begin2++];
}
}
//有一个结束了，就把另一个依次插入
//两个循环只会进一个
while (begin1 <= end1)
{
tmp[i++] = a[begin1++];
}
while (begin2 <= end2)
{
tmp[i++] = a[begin2++];
}
// 将合并结果复制回原数组
memcpy(a + begin, tmp + begin, (end - begin + 1) * sizeof(int));//begin和end在变化不是一直从0开始 看动图
}
// 归并排序入口函数
void MergeSort(int* a, int n)
{
// 分配临时数组空间
int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
if (tmp == NULL) {
perror("malloc fail");
return;
}
// 调用递归函数
_MergeSort(a, tmp, 0, n - 1);
// 释放临时数组
free(tmp);
tmp = NULL;
}
//测试案例
int main()
{
int a[] = { 2,3,5,4,7,1 };
MergeSort(a, 6);
for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); i++)
{
printf("%d", a[i]);
}
return 0;
}解释一下为什么区间不能用[end.mid-1]和[mid,end]
假设10个数据 下标从0到9 如果是[begin,mid-1] 和[mid,end]
此时mid-1=3
所以就分成[0,3]和[4,9]两个区间
在[0,3]这个区间里 mid-1=0
所以分成[0,0]和[1,3]
0,0\]此时就跳出循环 \[1,3\]的mid-1=1 所以分成\[1,1\]和\[2,3
此时[2,3]的mid-1=1
分成[2,1]和[1,3] 这显然是不对的
| 操作 | 时间复杂度 | 说明 |
|---|---|---|
| 分解数组 | O(log n) | 递归深度 |
| 合并子数组 | O(n) | 每层需要遍历所有元素 |
| 总复杂度 | O(n log n) | 稳定的高效率排序 |
空间复杂度
归并排序需要 O(n) 的额外空间：
- 用于存储合并过程中的临时数组
- 递归调用栈空间 O(log n)，但通常临时数组占主导
非递归归并
11归并可以理解为两组数据中的个数分别为1
11归并完进行22归并 以此类推
c
void MergeSortNonR(int* a, int n)
{
int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
if (tmp == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
//gap是魅族归并数据的数据个数
int gap = 1;
for (int i = 0; i < n; i+=2*gap)//一整组归并是gap+gap个 i代表每组归并的起始位置
{
int begin1 = i, end1 = i+gap-1;
int begin2 = gap + 1, end2 = i+2*gap-1;//begin2是begin1跳过一组数据，也就是跳过gap个 所以是gap+i;end2要跳过两组.
//第二组越界不存在.这一组就不需要归并了
if (begin2 >= n)
{
break;
}
//第二组的begin2没越界,end2越界了，需要修正一下，继续 归并
if (end2 >= n)
{
end2 = n - 1;
}
int j=i;
while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)//有一个结束了就把没结束的那个全部尾插到后边
{
if (a[begin1] < a[begin2])
{
tmp[j++] = a[begin1++];//让小的那个++
}
else
{
tmp[j++] = a[begin2++];
}
}
//两个循环只会进一个
while (begin1 <= end1)
{
tmp[j++] = a[begin1++];
}
while (begin2 <= end2)
{
tmp[j++] = a[begin2++];
}
memcpy(a + i, tmp + i, (end2 - i + 1) * sizeof(int));//要归并一下拷贝一下，不然会拷贝到越界的
}
free(tmp);
tmp = NULL;
}
如果10个数就会出现溢出
把归并区间打印出来分析一下 就上图者三种情况
但也可以分为两种 第一种是begin2溢出 第二种是begin2不溢出,end2溢出
时间复杂度
不能看循环层数
每一层都是n 一共logn层
所以时间复杂度是nlongn
空间复杂度是O(n) 因为要再开一块空间
非递归实现要点
- gap参数：控制当前归并的子数组大小，从1开始，每次迭代翻倍
- 边界处理 ：关键步骤，处理数组大小不是2的幂的情况：
- 当第二个子数组完全越界（begin2 ≥ n），跳过本次合并
- 当第二个子数组部分越界（end2 ≥ n），修正其边界为n-1
- 迭代过程 ：
- 第1轮：11归并 → 每个子数组大小为1
- 第2轮：22归并 → 子数组大小为2
- 第k轮：2ᵏ归并 → 子数组大小为2ᵏ
归并排序特性总结
-
稳定排序：
- 当两个元素相等时，归并排序优先选择左子数组的元素
- 保持相等元素的原始相对位置不变
- 适用于需要稳定性的场景（如多关键字排序）
-
时间复杂度：
- 最优：O(n log n)
- 平均：O(n log n)
- 最差：O(n log n)
- 不受输入数据影响，性能稳定
-
空间复杂度：
- O(n) 额外空间
- 递归实现还有 O(log n) 的栈空间
-
外排序优势：
-
归并排序是少数能高效处理外部存储（如硬盘）数据的排序算法
-
特别适合处理超过内存容量的海量数据
-
工作流程：
-
将大文件分割为能放入内存的小块
-
在内存中排序每个小块
-
合并已排序的小块
-
-
结语
归并排序是分治思想的完美体现，通过"分而治之"的策略达到O(n log n)的高效排序。其核心优势在于：
- 稳定可靠：不受输入数据影响，始终保证O(n log n)性能
- 外排序能力：唯一能高效处理海量磁盘数据的通用排序算法
- 稳定排序：保持相等元素的原始顺序
- 并行潜力：天然适合并行化实现
尽管需要O(n)额外空间，但在现代计算机系统中，空间换时间的策略往往是值得的。归并排序在数据库系统、大数据处理、外部排序等场景中发挥着不可替代的作用，是每个程序员必须掌握的经典算法之一。