LeetCode 45.跳跃游戏II：贪心策略下的最少跳跃次数求解

一、问题定义与核心挑战

1.1 问题描述

给定一个非负整数数组 nums，你最初位于数组的第一个下标。数组中的每个元素 nums[i] 表示你在该位置可以跳跃的最大长度。你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个下标。假设你总能到达数组的最后一个下标。

1.2 核心特征与难点

• 最优性要求：不仅要判断可达性，还要找到最少跳跃次数
• 跳跃规则 ：从位置 i 可跳到 i+1 至 i+nums[i] 之间的任意位置
• 贪心选择：如何在每一步选择最优的跳跃点以最小化总次数

示例：

• 输入：nums = [2,3,1,1,4]
• 输出：2（最优路径：0→1→4，两次跳跃）

二、解题思路：基于覆盖范围的贪心策略

2.1 核心思想

通过跟踪当前覆盖范围 和下一步最大覆盖范围，在每次到达当前覆盖范围的边界时进行跳跃，从而保证每次跳跃都是最优的：

• 当前覆盖范围（cover）：当前跳跃所能到达的最远位置
• 下一步最大覆盖范围（maxCover）：在当前覆盖范围内，所有位置能到达的最远位置
• 跳跃时机：当遍历到当前覆盖范围的边界时，必须进行一次跳跃，此时将当前覆盖范围更新为下一步最大覆盖范围

2.2 直观理解

把跳跃过程想象成多阶段冲刺：

1. 第一阶段：从起点出发，能到达的范围是 [0, cover]，在这个范围内寻找能跳得最远的点，确定下一阶段的最大范围 maxCover
2. 当到达第一阶段的边界（i = cover）时，必须跳一次，进入第二阶段，此时 cover 更新为 maxCover
3. 重复上述过程，直到覆盖范围包含终点

三、代码逐行解析

3.1 边界条件处理

if (nums.length == 1) {
    return 0;  // 只有一个元素时，无需跳跃
}

3.2 核心变量定义

int cover = 0;       // 当前覆盖范围的边界
int maxCover = 0;    // 下一步能到达的最大覆盖范围
int cnt = 0;         // 跳跃次数

3.3 遍历与跳跃逻辑

for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
    // 持续更新下一步能到达的最大覆盖范围
    maxCover = Math.max(i + nums[i], maxCover);
    
    // 当到达当前覆盖范围的边界，且能跳得更远时
    if (i == cover && maxCover > cover) {
        cover = maxCover;  // 更新覆盖范围
        cnt++;             // 跳跃次数加1
        
        // 若已覆盖终点，提前返回
        if (cover >= nums.length - 1) {
            return cnt;
        }
    }
}

3.4 返回结果

return cnt;

四、算法执行过程演示

以 nums = [2,3,1,1,4] 为例：

索引 i	当前元素 nums[i]	maxCover 计算	关键操作	cover	cnt
0	2	max(0+2=2, 0) = 2	-	0	0
1	3	max(1+3=4, 2) = 4	-	0	0
2	1	max(2+1=3, 4) = 4	i=2 == cover=0？不	0	0
3	1	max(3+1=4, 4) = 4	i=3 == cover=0？不	0	0
4	4	max(4+4=8, 4) = 8	i=4 == cover=0？是 maxCover>cover → 更新 cover=4，cnt=1 cover≥4（终点）→ 返回 1？	4	1

注意：实际执行中，当 i=2 时已经满足 i==cover（0），此时会触发跳跃：

• 在 i=2 时，i==cover（0）且 maxCover=4>0 → cover=4，cnt=1
• 此时 cover=4 已包含终点（4），直接返回 cnt=1？

修正演示：

• i=0 时，maxCover=2
• i=1 时，maxCover=4
• i=2 时，i==cover（0）→ 触发跳跃，cover=4，cnt=1，此时 cover≥4 → 返回 1

最终结果为 2？不，正确结果应为 2，这里需要更精确的步骤分析：

正确步骤：

1. 初始状态：cover=0，maxCover=0，cnt=0
2. i=0：
   • maxCover = max(0+2, 0) = 2
   • i != cover（0==0），但需判断是否更新
   • 此时 i==cover 且 maxCover>cover → cover=2，cnt=1
3. i=1：
   • maxCover = max(1+3=4, 2) =4
4. i=2：
   • icover（22）
   • maxCover=4>2 → cover=4，cnt=2
   • 此时 cover≥4（终点）→ 返回 2

五、核心逻辑深度解析

5.1 为什么在 i == cover 时跳跃？

i == cover 表示已到达当前跳跃能覆盖的最远距离，此时必须进行下一次跳跃才能继续前进。选择此时跳跃能保证每次跳跃都是必要的，且跳跃范围是当前能达到的最大可能，从而最小化跳跃次数。

5.2 为什么 maxCover 能保证最优性？

maxCover 记录了当前覆盖范围内所有位置能到达的最远距离，选择这个范围作为下一次跳跃的覆盖范围，确保了每次跳跃都能到达最远的位置，从而减少总跳跃次数。

5.3 为什么无需考虑具体跳跃到哪个位置？

贪心算法的核心是"只关注范围不关注具体点"。只要知道下一次能覆盖的最大范围，就能确定最少跳跃次数，无需记录具体跳到哪个位置。

六、算法复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，只需遍历数组一次
• 空间复杂度：O(1)，仅使用常数个变量

七、常见误区与优化说明

7.1 误区1：在每次循环中都尝试跳跃

错误地在每个位置都进行跳跃判断，会导致跳跃次数过多。正确做法是只在到达当前覆盖范围边界时才跳跃。

7.2 误区2：忽略 maxCover > cover 的判断

如果没有这个判断，当无法跳得更远时（如 nums = [0,0,0]），会错误地增加跳跃次数。

7.3 优化点：提前终止循环

当 cover 已覆盖终点时，可立即返回结果，无需遍历剩余元素。

八、总结：贪心策略的跳跃优化

本题的贪心解法通过跟踪覆盖范围实现了最少跳跃次数的求解，核心在于：

1. 区分当前覆盖范围和下一步最大覆盖范围
2. 在适当的时机（到达当前范围边界）进行跳跃
3. 每次跳跃都选择能到达的最远范围

这种策略确保了每一步都是最优的，从而在整体上得到最少的跳跃次数。掌握这种基于范围的贪心思想，可有效解决类似的优化路径问题。

代码的关键在于通过两个变量 cover 和 maxCover 分别跟踪当前覆盖范围和下一步能到达的最大范围，在到达当前范围边界时进行跳跃并更新范围，从而保证每次跳跃都是最优的，最终得到最少的跳跃次数。