题目
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
示例 1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]示例 2：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]示例 3：
输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]解析
问：如何理解 end = lowerBound(nums, target + 1) - 1 这段代码？
答：要想找到 ≤target 的最后一个数，无需单独再写一个二分。我们可以先找到这个数的右边相邻数字，也就是 >target 的第一个数。在所有数都是整数的前提下，>target 等价于 ≥target+1，这样就可以复用我们已经写好的二分函数了，即 lowerBound(nums, target + 1)，算出这个数的下标后，将其减一，就得到 ≤target 的最后一个数的下标。
问：如果 ≥target+1 的第一个数不存在怎么办？
答：这说明数组中的数都 ≤target。如果数组中有 target，那么数组的最后一个数（下标 n−1）就是 target（因为数组是递增的）。同时，lowerBound(nums, target + 1) 在这种情况下会返回 n，减一得到 n−1，这正是我们要计算的下标。
问：为什么要写 left + (right - left) / 2？
答：在面试或者实际场景中，你不一定知道输入的数组有多长，万一数组长度达到 int 最大值，left + right 可能会发生加法溢出。当然，如果只看本题的数据范围，写 (left + right) / 2 也可以。对于 Python 来说，由于没有溢出这个概念，所以可以直接相加。
问：怎么判断我写的是哪一种二分？
答：看 while 循环的条件，如果是 left <= right，就是闭区间；如果是 left < right，就是半闭半开区间；如果是 left + 1 < right，就是开区间。
问：对于闭区间写法，为什么 nums[mid] >= target 的时候要写 right = mid - 1？此时的 mid 不是有可能是答案吗？这样写不会错过答案吗？
答：答案在区间外面，不在区间里面。如果觉得答案在区间里面的话，请思考这个问题：闭区间循环结束后 left>right，区间 [left,right] 是空的，什么也没有，难道答案在空区间里面吗？
问：我看到一种二分的写法，在二分的过程中，额外记录答案的值，你对此怎么看？
答：喜欢这种写法的同学，推荐写开区间二分，因为开区间二分 if 条件成立时更新的是哪个变量，最后返回的也就是哪个变量。这和记录答案的做法如出一辙。
问：关于开区间二分，如何理解 −1 和 n 这两个下标？
答：可以假设 nums[−1]=−∞ 以及 nums[n]=∞，此时 nums 仍然是有序的。在这种情况下，nums[−1]<target，所以 −1 是红色；nums[n]≥target，所以 n 是蓝色。
作者：灵茶山艾府
来源：力扣（LeetCode）
答案
python
class Solution:
# lower_bound 返回最小的满足 nums[i] >= target 的下标 i
# 如果数组为空，或者所有数都 < target，则返回 len(nums)
# 要求 nums 是非递减的，即 nums[i] <= nums[i + 1]
def lower_bound(self, nums: List[int], target: int) -> int:
left, right = -1, len(nums) # 开区间 (left, right)
while left + 1 < right: # 区间不为空
mid = (left + right) // 2
# 循环不变量：
# nums[left] < target
# nums[right] >= target
if nums[mid] >= target:
right = mid # 范围缩小到 (left, mid)
else:
left = mid # 范围缩小到 (mid, right)
# 循环结束后 left+1 = right
# 此时 nums[left] < target 而 nums[right] >= target
# 所以 right 就是第一个 >= target 的元素下标
return right
def searchRange(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
start = self.lower_bound(nums, target) # 选择其中一种写法即可
if start == len(nums) or nums[start] != target:
return [-1, -1] # nums 中没有 target
# 如果 start 存在，那么 end 必定存在
end = self.lower_bound(nums, target + 1) - 1
return [start, end]
# 作者：灵茶山艾府
# 链接：https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/solutions/1980196/er-fen-cha-zhao-zong-shi-xie-bu-dui-yi-g-t9l9/
# 来源：力扣（LeetCode）复杂度分析
时间复杂度：O(logn)，其中 n 为 nums 的长度。
空间复杂度：O(1)，仅用到若干额外变量。