图论与最短路学习笔记

图论与最短路在数学建模中的应用

一、图论模型

图 G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)
- VVV：顶点集合
- EEE：边集合
每条边 (u,v)(u,v)(u,v) 赋予权值 w(u,v)w(u,v)w(u,v)，可用 邻接矩阵 或 邻接表 表示。

二、最短路问题的数学形式

目标：寻找从源点 sss 到目标点 ttt 的路径 PPP，使得路径权值和最小。

d(s,t)=min⁡P∈P(s,t)∑(u,v)∈Pw(u,v) d(s,t) = \min_{P \in \mathcal{P}(s,t)} \sum_{(u,v)\in P} w(u,v) d(s,t)=P∈P(s,t)min(u,v)∈P∑w(u,v)

其中：

P(s,t)\mathcal{P}(s,t)P(s,t)：所有从 sss 到 ttt 的可行路径集合
w(u,v)w(u,v)w(u,v)：边的权值

三、最短路算法

Dijkstra 算法
- 适用于 非负权图
- 贪心策略：逐步扩展源点集合，选取最近节点
Bellman-Ford 算法
- 允许 负权边
- 动态规划思想：
  
  dk(v)=min⁡{dk−1(v),min⁡(u,v)∈E(dk−1(u)+w(u,v))} d_k(v) = \min\{ d_{k-1}(v), \min_{(u,v)\in E} (d_{k-1}(u)+w(u,v)) \} dk(v)=min{dk−1(v),(u,v)∈Emin(dk−1(u)+w(u,v))}
- 可检测负环
Floyd-Warshall 算法
- 适合 全源最短路
- 递推公式：
  
  d(k)(i,j)=min⁡(d(k−1)(i,j), d(k−1)(i,k)+d(k−1)(k,j)) d^{(k)}(i,j) = \min\big( d^{(k-1)}(i,j),\ d^{(k-1)}(i,k)+d^{(k-1)}(k,j) \big) d(k)(i,j)=min(d(k−1)(i,j), d(k−1)(i,k)+d(k−1)(k,j))

四、MATLAB 实现

1. Dijkstra 算法

matlab 复制代码

INF = 1e9;
G = [0 4 2 INF INF;
     4 0 1 5 INF;
     2 1 0 8 10;
     INF 5 8 0 2;
     INF INF 10 2 0];

n = size(G,1);
start = 1;
dist = ones(1,n)*INF;
visited = zeros(1,n);
dist(start) = 0;

for i = 1:n
    [~, u] = min(dist + visited*INF);
    visited(u) = 1;
    for v = 1:n
        if ~visited(v) && dist(u)+G(u,v) < dist(v)
            dist(v) = dist(u)+G(u,v);
        end
    end
end

disp('Dijkstra: 起点到各点的最短距离：');
disp(dist);

2. Bellman-Ford 算法

matlab 复制代码

INF = 1e9;
edges = [1 2 4;
         1 3 2;
         2 3 1;
         2 4 5;
         3 2 1;
         3 4 8;
         3 5 10;
         4 5 2];

n = 5;   % 节点数
m = size(edges,1);
start = 1;
dist = ones(1,n)*INF;
dist(start) = 0;

% 松弛操作 n-1 次
for k = 1:n-1
    for i = 1:m
        u = edges(i,1);
        v = edges(i,2);
        w = edges(i,3);
        if dist(u) + w < dist(v)
            dist(v) = dist(u) + w;
        end
    end
end

% 检测负环
hasNegativeCycle = false;
for i = 1:m
    u = edges(i,1);
    v = edges(i,2);
    w = edges(i,3);
    if dist(u) + w < dist(v)
        hasNegativeCycle = true;
    end
end

disp('Bellman-Ford: 起点到各点的最短距离：');
disp(dist);
if hasNegativeCycle
    disp('图中存在负权回路！');
end

3. Floyd-Warshall 算法

matlab 复制代码

INF = 1e9;
G = [0 4 2 INF INF;
     4 0 1 5 INF;
     2 1 0 8 10;
     INF 5 8 0 2;
     INF INF 10 2 0];

n = size(G,1);

for k = 1:n
    for i = 1:n
        for j = 1:n
            if G(i,k)+G(k,j) < G(i,j)
                G(i,j) = G(i,k)+G(k,j);
            end
        end
    end
end

disp('Floyd-Warshall: 所有点对最短路径矩阵：');
disp(G);

五、总结

建模方法：用图表示系统，用边权表示代价
最短路问题目标：找到权和最小路径
算法选择：
- 单源非负权：Dijkstra
- 单源含负权：Bellman-Ford
- 全源最短路：Floyd-Warshall