接下来我们将学习经典的算法思想：二分查找
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二分查找是一种在有序数组中快速查找特定元素的高效算法，其时间复杂度为O(log n)，远比线性查找的O(n)要快得多。这种算法思想最早可以追溯到1946年由约翰·莫奇利提出的概念。
目录
基本原理
- 前提条件：数组必须是有序的（升序或降序）
- 查找过程：
- 首先确定数组的中间位置 mid = (left + right)/2
- 将要查找的值与中间元素比较
- 如果相等则返回索引
- 如果查找值较小，则在左半区继续查找
- 如果查找值较大，则在右半区继续查找
- 终止条件：找到目标值或搜索区间为空
注意事项
- 边界条件处理要小心，避免无限循环
- 对于重复元素，标准二分查找不能保证返回第一个或最后一个匹配项
- 可以通过变种实现查找第一个/最后一个出现的位置
二分查找的特点
细节多且容易忽略，边界条件多，容易写出死循环。但是当我们掌握后二分查找便会很简单。
二分查找的模板
朴素二分查找模板
cpp
while (left <= right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;//防止溢出
if (。。。。。。)
{
right = mid - 1;
}
else if (。。。。。。)
{
left = mid + 1;
}
else if (。。。。。。)
{
return。。。。。。;
}省略部分根据二段性填充
普通二分查找模板
左边界
cpp
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (。。。。。。) left = mid + 1;
else right = mid;
}右边界
cpp
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left + 1) / 2;
if (。。。。。。) left = mid;
else right = mid - 1;
}下面出现-1的时候，上面+1即可
实际应用场景
- 在电话簿中查找联系人
- 在字典中查找单词
- 在游戏排行榜中查找玩家分数
- 在大型数据库中进行快速检索
1、二分查找
算法思路;这道题就是朴素的二分查找算法
定义left为左区间，right为右区间，mid为中间点。
当x< target时，left=mid+1，在[left,right]
当x >target时，right=mid-1，在[left,right]
当x= target时，返回mid
细节问题：
1、循环结束条件
left和right不能缩小为一个点
2、二分查找的正确性
利用数组有序性，进行比较后舍弃了一半数据
3、为什么二分查找时间复杂度很快？
复杂度与循环次数有关，循环与x有关
进行1次循环后数据剩余n/2， 进行1次循环后数据剩余n/4；进行x次后剩余一个。剩余n/2^x，即x=logN
cpp
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target)
{
int left=0,right=nums.size()-1;
while(left<=right)
{ int mid=left+(right-left)/2; //防止溢出
if(nums[mid]>target)
{
right=mid-1;
}
else if(nums[mid]<target)
{
left=mid+1;
}
else if(nums[mid]==target)
{
return mid;
}
}
return -1;
}
};2、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
算法思路：利用二段性
1、先查找区间左端点
x<t时，left=mid+1，[left,right]
x>=t时，right=mid，[left,right]
细节处理：
（1）循环条件
left<right，原因如下：
left=right的时候就是结果，不需要判断，判断就会陷入死循环
（2）求重点的操作
两种求法：
left+(right-left)/2
left+(right-left+1)/2
区别：数组为偶数的时候第一种为靠左的位置，第二种为靠右的位置
极端情况下（如下）第二种方法就会死循环
2、查找区间右端点
x<=t时，left=mid，[left,right]
x>t时，right=mid-1，[left,right]
循环条件同上；求中点方式用left+(right-left+1)/2，因为用left+(right-left)/2会死循环
cpp
class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target)
{
//数组为空的特殊情况,处理边界情况
if(nums.size()==0) return {-1,-1};
int begin=0;
//查找左端点
int left=0,right=nums.size()-1;
while(left<right)
{
int mid=left+(right-left)/2;
if(nums[mid]<target) left=mid+1;
else right=mid;
}
//判断是否有结果
if(nums[left]!=target) return {-1,-1};
else begin=left;//标记左端点
//查找右端点
left=0,right=nums.size()-1;
while(left<right)
{
int mid=left+(right-left+1)/2;
if(nums[mid]<=target) left=mid;
else right=mid-1;
}
return {begin,right};
}
};3、x的平方根
算法思路：
cpp
class Solution {
public:
int mySqrt(int x)
{
//处理边界条件
if(x<1) return 0;
int left=1,right=x;
while(left<right)
{
long long mid=left+(right-left+1)/2;//用long long而不用int来防止溢出
if(mid*mid<=x) left=mid;
else right =mid-1;
}
return left;
}
};4、搜索插入位置
算法思路：
cpp
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target)
{
int left=0,right=nums.size()-1;
while(left<right)
{
int mid=left+(right-left)/2;
if(nums[mid]<target) left=mid+1;
else right=mid;
}
return nums[left]<target?left+1:left;
}
};5、山脉数组的峰顶索引
算法思路：
cpp
class Solution {
public:
int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr)
{
int left=1,right=arr.size()-2;//减少判断次数，因为边缘的点不可能是最值
while(left<right)
{
int mid=left+(right-left+1)/2;
if(arr[mid]>arr[mid-1]) left=mid;
else right=mid-1;
}
return left;
}
};6、寻找峰值
算法思路：
cpp
class Solution {
public:
int findPeakElement(vector<int>& nums)
{
int left=0,right=nums.size()-1;
while(left<right)
{
int mid=left+(right-left)/2;
if(nums[mid]>nums[mid+1]) right=mid;
else left=mid+1;
}
return left;
}
};7、寻找旋转排序数组的最小值
算法思路：
cpp
class Solution {
public:
int findMin(vector<int>& nums)
{
int left=0,right=nums.size()-1;
int x=nums[right];//最后一点的值
while(left<right)
{
int mid=left+(right-left)/2;
if(nums[mid]>x) left=mid+1;
else right=mid;
}
return nums[left];
}
};8、0~n-1中缺失的数字
算法原理：
cpp
class Solution {
public:
int missingNumber(vector<int>& nums)
{
//算法五：二分查找
int left=0,right=nums.size()-1;
while (left<right)
{
int mid=left+(right-left)/2;
if(nums[mid]==mid) left=mid+1;
else right=mid;
}
//处理细节问题
return nums[left]==left?left+1:left;
}
};本期关于二分查找算法的内容到这里就结束了，喜欢请点个赞，谢谢