一、SVM 核心基础
- 基本需求 ：在样本空间中找到一个划分超平面 ，实现不同类别样本的分离。超平面是 n 维空间映射到 n-1 维的子空间，由 n 维向量和实数定义，如三维空间中超平面是二维平面，二维空间中超平面是一维直线，其方程为wᵀx + b = 0（w 为法向量，b 为位移项）。
- 理想超平面标准 ：对训练样本局部扰动的 "容忍性" 最佳，即能在样本发生微小变化时，仍保持良好的分类效果，核心是最大化margin（间隔）------ 超平面到两类样本中最近点的距离之和（margin = 2d，d 为超平面到最近样本点的距离）。
- 支持向量：距离超平面最近的样本点，是决定超平面位置的关键，SVM 的模型复杂度仅与支持向量数量相关，而非样本总数。
- 点到超平面距离：基于二维空间点 (x,y) 到直线 Ax+By+C=0 的距离公式（|Ax+By+C|/√(A²+B²)），拓展到 n 维空间，点到超平面 wᵀx + b = 0 的距离为 **|wᵀx + b|/√(wᵀw)**。
二、SVM 优化目标与转化
- 初始目标
- 样本标签定义：正例 Y=+1，负例 Y=-1；决策方程为y(x) = w·Φ(x) + b（Φ(x) 是对数据的变换，用于后续处理非线性问题）。
- 核心目标：找到 w 和 b，使离超平面最近的样本点（支持向量）距离最远，即满足Yᵢ·(w·Φ(xᵢ)+b) ≥ 1 （通过放缩 w 和 b，让支持向量满足等号），最终转化为最大化 d = 1/√(wᵀw)。
- 目标转化：将 "最大化 d" 的极大值问题，等价转化为 "最小化 (1/2) wᵀw" 的极小值问题（因 wᵀw 最小化时，1/√(wᵀw) 最大化），约束条件仍为 Yᵢ・(w・Φ(xᵢ)+b) ≥ 1。
三、SVM 求解：拉格朗日乘子法
- 构建拉格朗日函数 ：针对带约束的极小值问题，引入拉格朗日乘子 αᵢ（αᵢ ≥ 0），函数为：
L(w,b,α) = (1/2)wᵀw - Σαᵢ[Yᵢ·(w·Φ(xᵢ)+b) - 1] - 对偶问题转化 ：利用对偶性，将 "min (w,b) max (α) L (w,b,α)" 转化为 "max (α) min (w,b) L (w,b,α)"，通过对 w 和 b 求偏导并令其为 0，得到关键条件：
- 对 w 求偏导：w = ΣαᵢYᵢΦ(xᵢ)（w 由支持向量的 αᵢ、Yᵢ和 Φ(xᵢ) 决定）。
- 对 b 求偏导：ΣαᵢYᵢ = 0（α 与样本标签 Y 的加权和为 0）。
- 最终对偶问题 ：将上述条件代入拉格朗日函数，最终求解目标变为：
max(α) [Σαᵢ - (1/2)ΣΣαᵢαⱼYᵢYⱼΦ(xᵢ)·Φ(xⱼ)] ，约束条件为ΣαᵢYᵢ = 0 且αᵢ ≥ 0。
四、SVM 求解实例
通过具体数据计算，代入对偶问题目标函数后，对 α₁、α₂等变量求偏导并令其为 0，筛选满足 αᵢ ≥ 0 约束的解（若偏导为 0 的解不满足约束，则在边界上找最优解，如 α₁=0.25、α₃=0.25、α₂=0），再代入 w 和 b 的计算公式：
- 求解 w：w = ΣαᵢYᵢΦ(xᵢ)（实例中得到 w=(0.5,0.5)）。
- 求解 b：b = Yᵢ - ΣαⱼYⱼΦ(xⱼ)·Φ(xᵢ)（实例中得到 b=-2）。
- 最终超平面方程：0.5x₁ + 0.5x₂ - 2 = 0。
五、特殊场景处理
- 软间隔：应对噪音数据
- 问题：当数据含噪音时，硬间隔（要求完全分类正确）会导致超平面效果差，需引入松弛因子 ξᵢ ≥ 0 ，将约束条件放宽为Yᵢ·(w·xᵢ + b) ≥ 1 - ξᵢ。
- 目标函数：变为min(w,b,ξ) [(1/2)wᵀw + CΣξᵢ]（C 为惩罚参数），C 越大，对分类错误的惩罚越重（接近硬间隔）；C 越小，对错误的容忍度越高。
- 求解调整：拉格朗日乘子约束变为0 ≤ αᵢ ≤ C，其他步骤与硬间隔类似。
- 低维不可分：核变换
- 问题：低维空间中样本线性不可分，需映射到高维空间（如 3 维数据映射到 9 维），但高维空间内积计算复杂（复杂度 O (n²)）。
- 核函数解决方案：引入核函数 K (xᵢ,xⱼ) = Φ(xᵢ)・Φ(xⱼ) ，无需显式计算高维映射 Φ(x)，直接通过低维样本计算内积，常用核函数包括：
- 线性核函数：K (xᵢ,xⱼ) = xᵢ・xⱼ（适用于低维可分数据）。
- 高斯核函数（RBF）：K (xᵢ,xⱼ) = exp (-||xᵢ - xⱼ||²/(2σ²))（适用于非线性数据，通过调节 σ 控制映射范围）。